角平分线的性质与判定综合应用典型练习题分类汇编

角平分线的性质与判定综合应用典型练习题分类汇编一、利用角平分线的性质求线段长度或角度大小解题要点：角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边的距离相等）是解决此类问题的核心依据。解题时，应首先明确角平分线，然后过角平分线上的已知点向角的两边作垂线，构造出相等的垂线段，进而通过已知条件建立等式求解。对于角度计算，则需结合三角形内角和、外角性质等知识综合运用。典型例题：例题1已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=8cm，BD=5cm，求点D到AB的距离。(解题要点提示：点D到AB的距离即为D到AC的距离，因为AD是角平分线。注意到DC=BC-BD，而DC就是D到AC的距离。)解答：过点D作DE⊥AB于E。∵∠C=90°，∴DC⊥AC。又∵AD是∠BAC的平分线，且DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC。（角平分线性质定理）∵BC=8cm，BD=5cm，∴DC=BC-BD=8-5=3cm。∴DE=3cm，即点D到AB的距离为3cm。例题2已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=2，求BC的长。(解题要点提示：由角平分线性质可得DE=DF。在Rt△BDE和Rt△CDF中，利用特殊角的三角函数值或边的关系可求出BD和DC的长度，进而求出BC。)解答：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF=2。在Rt△BDE中，∠B=60°，∠BED=90°，∴∠BDE=30°。设BE=x，则BD=2x。由勾股定理得：BE²+DE²=BD²，即x²+2²=(2x)²，解得x=2√3/3(负值舍去)，∴BD=2x=4√3/3。在Rt△CDF中，∠C=45°，∠CFD=90°，∴∠CDF=45°，∴CF=DF=2，∴DC=√(DF²+CF²)=√(2²+2²)=2√2。∴BC=BD+DC=4√3/3+2√2。二、利用角平分线的判定证明角相等或线段相等解题要点：角平分线的判定定理（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）是证明某条射线是角平分线的主要依据。应用时，需确保在角的内部存在一个点，它到角的两边距离相等。证明线段相等时，有时也可通过角平分线的性质得到等长的垂线段，再结合其他全等或等腰三角形等知识进行转化。典型例题：例题3已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF交于点D，且BD=CD。求证：AD平分∠BAC。(解题要点提示：要证AD平分∠BAC，根据判定定理，只需证明点D到AB、AC的距离相等，即DF=DE。可通过证明△BDF≌△CDE来实现。)解答：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD=∠CED=90°。在△BDF和△CDE中，∠BFD=∠CED，∠BDF=∠CDE(对顶角相等)，BD=CD，∴△BDF≌△CDE(AAS)。∴DF=DE。又∵DF⊥AB，DE⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC。例题4已知：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC，EF交AB于E，交AC于F。求证：EF=BE+CF。(解题要点提示：欲证EF=BE+CF，可尝试将EF分成两段，分别证明其与BE、CF相等。由EF∥BC及角平分线条件，易证△BED和△CFD为等腰三角形，从而得到ED=BE，FD=CF。)解答：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB。∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB。∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD。∴ED=BE，FD=CF。（等角对等边）∵EF=ED+DF，∴EF=BE+CF。三、角平分线的性质与判定的综合应用解题要点：在较复杂的几何问题中，往往需要交替使用角平分线的性质与判定定理。通常的思路是：先用性质定理由角平分线得到距离相等，再利用这些相等的距离或其他条件，通过判定定理证明新的角平分线，或者通过三角形全等、等腰三角形等知识解决问题。关键在于准确识别角平分线，灵活构造辅助线（如向两边作垂线）。典型例题：例题5已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F。求证：BD=2CE。(解题要点提示：观察图形，要证BD=2CE，可考虑证明CE=DE或CF=2CE，再证BD=CF。由BD平分∠ABC且BE⊥CF，易证△BEF≌△BEC，得到CE=EF=1/2CF。再证明△ABD≌△ACF即可得BD=CF。)解答：∵BE⊥CF，∴∠BEF=∠BEC=90°。∵BD平分∠ABC，∴∠FBE=∠CBE。在△BEF和△BEC中，∠FBE=∠CBE，BE=BE，∠BEF=∠BEC，∴△BEF≌△BEC(ASA)。∴CE=EF，即CF=2CE。∵∠BAC=90°，∠BEC=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°，∴∠ABD=∠ACF。在△ABD和△ACF中，∠ABD=∠ACF，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴△ABD≌△ACF(ASA)。∴BD=CF。∵CF=2CE，∴BD=2CE。例题6已知：如图，P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D。求证：OP是CD的垂直平分线。(解题要点提示：要证OP是CD的垂直平分线，可证OP垂直于CD且OP平分CD，即证OC=OD且OP⊥CD。OC=OD可通过证明Rt△POC≌Rt△POD得到，OP⊥CD可利用等腰三角形“三线合一”的性质。)解答：∵P是∠AOB的平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，∠PCO=∠PDO=90°。在Rt△POC和Rt△POD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)。∴OC=OD。∴△OCD是等腰三角形。又∵OP是∠AOB的平分线，即OP平分∠COD，∴OP⊥CD(等腰三角形顶角的平分线也是底边上的高)。∴OP垂直平分CD。四、角平分线的性质与判定在动态几何或探究性问题中的应用解题要点：动态几何问题或探究性问题更能考查学生综合运用知识的能力。解决此类问题时，要善于抓住运动变化过程中的不变量或不变关系，灵活运用角平分线的性质与判定，并结合分类讨论、数形结合等思想方法。典型例题：例题7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为2cm/s。设运动时间为t秒（0<t<4）。过点Q作QE⊥BC，交AB于点E。(1)用含t的代数式表示线段QE的长度；(2)在P、Q运动过程中，线段PC上是否存在一点M，使得四边形PQEM为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)在P、Q运动过程中，△PEC能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由。（注：本例题第(2)、(3)问可能涉及角平分线的判定思想，例如证明某个点在角平分线上从而得到边相等关系。此处仅作方向引导，具体解答需结合动态过程细致分析。）(解题要点提示：对于(2)，若四边形PQEM为菱形，则PQ=QE且PQ∥EM。可表示出PQ和QE的长度，令其相等求出t，再验证EM是否平行且等于PQ。对于(3)，△PEC为等腰三角形需分PE=PC、PE=EC、PC=EC三种情况讨论，结合相似三角形或勾股定理求解。)总结与反思角平分线的性质与判定定理是平面几何中相互关联的重要工具。性质定理侧重于“由角平分线得到距离相等”，是从“角平分线”到“线段相等”的转化；判定定理则侧重于“由距离相等得到角平分线”，是从“线段相等”到“角平分线”的转化。在解决综合问题时，要善于根据题设条件和求证目