2027年高考数学一轮复习(创新设计)第4节　数列中的构造问题

第4节数列中的构造问题题型分析求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法，还有构造法，其总的思想是根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.题型一形如an＋1＝pan＋f(n)型角度1an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)例1已知数列{an}满足an＋1＝23an＋4，且a1＝1，则{an}的通项公式为.答案an＝12－11×2解析设an＋1＋x＝23(an＋x)即an＋1＝23an－13所以－13x＝4，解得x＝－12所以an＋1－12＝23(an－12)所以{an－12}是首项为a1－12＝－11，公比为23的等比数列所以an－12＝－11×23所以an＝12－11×23角度2an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)例2(2026·海南质检)设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式为.

答案an＝2·3n－n－1解析设an＋pn＋q＝3[an－1＋p(n－1)＋q]，化简后得an＝3an－1＋2pn＋(2q－3p)，与原递推式比较，对应项的系数相等，得2即an＋n＋1＝3(an－1＋n－1＋1)，令bn＝an＋n＋1，则bn＝3bn－1，又b1＝6，故bn＝6·3n－1＝2·3n，bn＝an＋n＋1，得an＝2·3n－n－1.角度3an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)例3(2026·宜春调研)已知正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×5n，则数列{an}的通项an＝()A.－3×2n－1 B.3×2n－1C.5n＋3×2n－1 D.5n－3×2n－1答案D解析法一在递推公式an＋1＝2an＋3×5n的两边同时除以5n＋1，得an＋15令bn＝an则①式变为bn＋1＝25bn＋3即bn＋1－1＝25(bn－1)所以数列{bn－1}是等比数列，其首项为b1－1＝a15－1＝－35，所以bn－1＝－35×2即bn＝1－35×2所以an5n＝1－35×25所以an＝5n－3×2n－1.法二设an＋1＋k×5n＋1＝2(an＋k×5n)，则an＋1＝2an－3k×5n，与an＋1＝2an＋3×5n比较可得k＝－1，所以an＋1－5n＋1＝2(an－5n)，所以数列{an－5n}是首项为a1－5＝－3，公比为2的等比数列，所以an－5n＝－3×2n－1，所以an＝5n－3×2n－1.感悟提升解决此类问题的思路如下形式构造方法an＋1＝pan＋q引入参数c，构造新的等比数列{an－c}an＋1＝pan＋qn＋c引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}an＋1＝pan＋qn两边同除以qn＋1，构造新的数列a训练1(多选)已知数列{an}，下列结论正确的有()A.若a1＝2，2(n＋1)an－nan＋1＝0，则an＝B.在数列{an}中，a1＝1，且an＝2an−1＋3(n≥2，且n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝2C.若a1＝2，an＝13an−1＋13nD.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋n－1，则数列{an}的通项公式为an＝2n－答案AB解析∵2(n＋1)an－nan＋1∴an∴ann是首项为a11＝∴ann＝2·2n−1，∴an＝n·2n，由an＝2an−1＋3(n≥得an＋3＝2(an−1＋即an＋3又a1＋3＝1＋3＝4，∴数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，∴an＋3＝4×2n−1，即an＝2n∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1－3，故根据题意，an＝13an−1＋13n⇔an13n∴an13n是首项为6，公差为1的等差数列，设an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋∴an＋1＝2an＋kn＋b由an＋1＝2an＋n得k∴an＋1即{an＋n}是首项为a1＋1＝2，公比为2的等比数列.∴an＋n＝2×2n−1＝2n，故an＝2n－n，故D题型二相邻三项的数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)型例4已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝.

答案3解析法一因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以bnbn又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列.所以bn＝an＋1＋an＝3×3n－1＝3n.从而an＋1不妨令cn＝an3n，即cn＋1＋13c故cn＋1－14＝－1即cn＋1又因为c1－14所以数列cn−14是首项为1故cn－14＝1从而an＝3n法二因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1)n－1＋c2·3n－1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝14，c2＝3所以an＝3n感悟提升可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}.训练2若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式an＝.

答案3n－1解析f'(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，∴f'(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n－1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n－2＋…＋2×30＋1＝2×(3n－2＋3n－3＋…＋31＋30)＋1＝2×1−3n＝3n－1－1＋1＝3n－1.题型三倒数为特殊数列(形如an＋1＝pan例5已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋3，则答案2解析由an＋1＝2anan设1an＋1＋即1a故p2＝12，所以1an＋1＋则数列1an＋1是以1以32为公比的等比数列所以1an＋1＝2·即an＝2n感悟提升两边同时取倒数转化为1an＋1＝sp·1an＋rp的形式，化归为bn＋1＝pbn训练3已知数列{an}的首项a1＝13，且满足an＋1＝an4an＋1(n∈NA.179 B.C.178 D.答案A解析因为a1＝13，an＋1＝an4an＋1(n∈N*)所以1an＋1＝4an＋1又a1＝13，所以1a1故1an是以3为首项，4则1an＝3＋4(n－1)＝4n－1，故an＝所以a20＝14一、单选题1.已知数列{an}满足a1＝4，且an＋1＝2an－3，则a211＝()A.2210－3 B.2211＋3C.2210＋3 D.2211＋1答案C解析因为an＋1＝2an－3，所以an＋1－3＝2(an－3).因为a1－3＝1，所以数列{an－3}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an－3＝2n－1，所以an＝2n－1＋3，故a211＝2210＋3.2.(2026·广州调研)已知数列{an}满足:a1＝1，an＋1＝2an＋2n，n∈N*，则a4等于()A.64 B.56C.32 D.24答案C解析法一由an＋1＝2an＋2n得an＋12∴数列an2n是首项为1∴an2n＝12＋(∴an＝n·2n－1，∴a4＝4×24－1＝32.法二由已知可得，a2＝2a1＋2＝2×1＋2＝4，a3＝2a2＋22＝2×4＋4＝12，a4＝2a3＋23＝2×12＋8＝32.3.(2026·湖州质检)已知数列{an}的各项均为正数，且an2－an－n2－n＝0，则a2026A.2025 B.2026C.2027 D.2028答案C解析由an2－an－n(n＋1)＝得[an－(n＋1)](an＋n)＝0.又an>0，所以数列{an}的通项公式an＝n＋1，故a2026＝2027.4.已知数列{an}满足:a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝()A.47 B.48C.49 D.410答案C解析由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即an＋an−1a又a1＋a2＝4，所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.5.(2026·长沙质检)已知数列{an}满足an＋1＝2an3an−1，且a1＝2A.512511 B.C.256257 D.答案A解析易知an≠0，从而由题意1an＋1＝32－12故数列1an−1是以1a1－1＝－从而1an－1＝－12所以1a9－1＝−129，解得6.已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝2，Tn2＝annA.16 B.32C.64 D.128答案B解析由Tn2＝a于是an则an两边取对数得nlgan＋1＝(n＋1)lgan，因此lgan＋1n则lgann＝lg即lgan＝nlg2＝lg2n，所以an＝2n，a5＝32.7.(2026·苏州质检)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋2an＋1＋1，则aA.80 B.100C.120 D.143答案C解析因为an＋1＝an＋2an＋1所以an＋1＋1＝(an＋1)2＋2a即an＋1＋1＝(an＋1＋等式两边开方可得an＋1即an＋1所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝所以an＋1＝2＋(n－1)×1＝n所以an＝n2＋2n，所以a10＝102＋20＝120.8.(2026·北京海淀区模拟)将一些数排成如图所示的倒三角形，其中第一行各数依次为1，2，3，…，2025，从第二行起，每一个数都等于它“肩上”的两个数之和，最后一行只有一个数M，则M等于()A.2025×22022 B.2026×22023C.2025×22023 D.2026×22024答案B解析记第n行的第一个数为an，则a1＝1，a2＝3＝2a1＋1，a3＝8＝2a2＋2，a4＝20＝2a3＋4，…，an＝2an－1＋2n－2，∴an2n−2＝an−12n−3∴an2n−2＝2＋(n－1)×1＝∴an＝(n＋1)×2n－2.又每行比上一行的数字少1个，∴最后一行为第2025行，∴M＝a2025＝2026×22023.二、多选题9.已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则()A.a2＝7 B.{Sn}是递增数列C.{an＋3n}是等差数列 D.a10＝220－310答案ABD解析因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n＋1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n－1＝4n，即an＝4n－3n.对于A，a2＝42－32＝7，故A正确;对于B，因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确;对于C，因为数列{an＋3n}是以首项为4，公比为4的等比数列，所以{an＋3n}不是等差数列，故C错误;对于D，a10＝410－310＝220－310，故D正确.10.(2026·武汉调研)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则()A.anB.anC.an＝3D.Sn＝3答案BCD解析对于AB，数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋12＝3an＋12，a1因此数列an＋12是以32为首项，3为公比的等比数列对于C，an＋12＝32×3n－则an＝3n2－1对于D，Sn＝3＝32(1−3n11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1＋3an(nA.1aB.{an}的通项公式为an＝1C.{an}为单调递减数列D.1an的前n项和Tn答案BCD解析因为1an＋所以1an是以1为首项，3为公差的等差数列，故A所以1an＝1＋3(n－1)＝3n－2，即an＝13n−2根据函数y＝3x－2在[1，＋∞)上单调递增，且3x－2>0，则函数y＝13x−2在[1，＋∞又因为an＝13n−2，n∈N*，则数列{an}为单调递减数列，故1an的前n项和Tn＝n(3n−1)三、填空题12.在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为.

答案an＝3n－2n＋2解析法一设an＋1＋p(n＋1)＋q＝3(an＋pn＋q)，即an＋1＝3an＋2pn＋2q－p，与原式相比较，对应项系数相等得2首项a1＋2－2＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，故an＋2n－2＝3×3n－1＝3n，故an＝3n－2n＋2.法二因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，所以an＋1＋2n＝3an＋4n－6＋2n＝3[an＋2(n－1)]，因为a1＝3，所以a1＋2×(1－1)＝3，所以{an＋2(n－1)}是首项为3，公比为3的等比数列，则an＋2(n－1)＝3·3n－1＝3n，所以an＝3n－2n＋2.13.已知