2027年高考数学一轮复习(创新设计)第4节　函数的奇偶性、周期性

第4节函数的奇偶性、周期性课标要求1.了解函数奇偶性的含义,了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x＋T∈D,且f(x＋T)＝f(x),那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.1.如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义,则一定有f(0)＝0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x:(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f(x),则T＝2(3)若f(x＋a)＝－1f(x),则T＝21.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在(0,＋∞)上是偶函数.()(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)＝0.()(3)若T是函数f(x)的一个周期,且f(x)的定义域为R,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数f(x)的周期.()(4)对于函数y＝f(x),若存在x,使f(－x)＝－f(x),则函数y＝f(x)一定是奇函数.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称,故y＝x2在(0,＋∞)上不具有奇偶性,(1)错误.(2)由奇函数定义可知,若f(x)为奇函数,且在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0,(2)错误.(4)反例:f(x)＝x3,x∈[－3,5],存在x＝1,使f(－1)＝－f(1),但f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,(4)错误.2.(苏教必修一P124例1改编)(多选)给出下列函数,其中是奇函数的有()A.f(x)＝x4 B.f(x)＝x5C.f(x)＝x＋1x D.f(x)＝答案BC解析对于f(x)＝x4,f(x)的定义域为R,由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x),可知f(x)＝x4是偶函数,同理可知f(x)＝x5,f(x)＝x＋1x是奇函数,f(x)＝1x3.(人教A必修一P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为.

答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,∴当－2<x<0时,f(x)<0,当－5≤x<－2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集为(－2,0)∪(2,5].4.已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,若f(1)＝1,则f(2027)＝.

答案－1解析因为函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数,所以f(2027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.考点一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)＝3−x(2)f(x)＝x(3)f(x)＝log2(x＋x2解(1)由3−得x2＝3,解得x＝±3,即函数f(x)的定义域为{－3,3},从而f(x)＝3−x因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(2)显然函数f(x)的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞),关于原点对称.因为当x<0时,－x>0,则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x);当x>0时,－x<0,则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(－x)＝－f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数.(3)显然函数f(x)的定义域为R,f(－x)＝log2[－x＋(−x＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x故f(x)为奇函数.感悟提升判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,否则为非奇非偶函数.(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.训练1(1)(2026·北京东城区模拟)已知f(x)＝g(x),xA.g(x)＝x B.g(x)＝x2C.g(x)＝ex D.g(x)＝ln|x|(2)(多选)已知f(x)是定义在R上的函数,下列结论正确的有()A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),则f(x)是奇函数B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,则y＝f(x)为奇函数C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),则f(x)为偶函数D.若恒有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),则f(x)是奇函数答案(1)B(2)AD解析(1)对于A选项,如图1,不符,图1图2对于B选项,如图2,符合,对于C选项,如图3,不符,图3图4对于D选项,如图4,不符,故选B.(2)对于A,若∀t∈R,当t>0时,令t＝x2,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t);当t＝0时,令t＝x2＝0,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0;当t<0时,令t＝－x2,因为f(x2)＝－f(－x2),所以f(－t)＝－f(t),综上,∀t∈R,f(－t)＝－f(t),所以f(x)是奇函数,故A正确;对于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y＝0,得2[f(0)]2＝2f(0),因为f(0)≠0,所以f(0)＝1,显然不符合f(－x)＝－f(x),故B错误;对于C,令x＝y＝0,则f(0)＋f(0)＝f(0),所以f(0)＝0,令y＝－x,则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0,所以f(－x)＝－f(x),即f(x)为奇函数,故C错误;对于D,对任意x,y∈R,总有f(xy)＝yf(x)＋xf(y),令x＝y＝0得f(0)＝0;令x＝y＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0;令x＝y＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0;令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函数,故D正确.考点二函数的奇偶性的应用角度1求解析式(参数或值)例2(1)(2026·河北部分学校联考)“k＝1”是“函数f(x)＝1−kexA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)＝4－x＋1,则函数f(x)的解析式为.

答案(1)A(2)f(x)＝4解析(1)若k＝1,则f(x)＝1−e所以f(－x)＝1−e−x1＋e−x＝e若函数f(x)＝1−kex1＋kex为奇函数,则f(－x)＝－f(x)所以ex−kex＋则必要性不成立.故“k＝1”是“函数f(x)＝1−kex1＋(2)当x>0时,－x<0,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4x＋1)＝－4x－1,因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(0)＝0,综上,函数f(x)的解析式为f(x)＝4角度2比较大小、解不等式例3(1)(2026·日照模拟)定义在R上的函数y＝f(x)满足以下条件:①f(－x)－f(x)＝0;②对任意x1,x2∈[0,＋∞),当x1≠x2时都有f(x1)−f(x2)x1−x2>0,A.f(π)>f(－3)>f(－5)B.f(π)>f(－5)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－5)D.f(π)<f(－5)<f(－3)(2)(2026·豫西北质检)若f(x)＝ln(x＋1＋x2),则f(x2－8)＋f(2x)≥0的解集为答案(1)A(2)(－∞,－4]∪[2,＋∞)解析(1)因为定义在R上的函数y＝f(x)满足条件f(－x)－f(x)＝0,所以函数f(x)是偶函数,对任意x1,x2∈[0,＋∞),当x1≠x2时都有f(x所以不妨设x1>x2,则有f(x1)－f(x2)>0⇒f(x1)>f(x2),因此x∈[0,＋∞)时,函数f(x)是增函数,因为函数f(x)是偶函数,所以f(－5)＝f(5),f(－3)＝f(3),因为x∈[0,＋∞)时,函数f(x)是增函数,所以f(π)>f(3)>f(5),即f(π)>f(－3)>f(－5),故选A.(2)由f(－x)＝ln[－x＋1＋(−x)2]＝ln(1＋x2－x)＝－ln(1＋x2＋且定义域为R,知f(x)为奇函数.由y＝x,y＝1＋x2在(0,＋∞)得t＝1＋x2＋x在(0,＋∞)又y＝lnt在(0,＋∞)上单调递增,所以f(x)＝ln(x＋1＋x2)在(0,＋∞)上单调递增,则f(x)在R由f(x2－8)＋f(2x)≥0⇒f(x2－8)≥－f(2x)＝f(－2x)⇒x2－8≥－2x,即x2＋2x－8＝(x＋4)(x－2)≥0,解得x≥2或x≤－4,故不等式的解集为(－∞,－4]∪[2,＋∞).角度3中值模型例4已知函数f(x)＝x＋ln(x2＋1－x)－5(x∈[－2026,2026])的最大值为M,最小值为m,则M＋m＝答案－10解析设g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(x2＋1－则g(x)的定义域为[－2026,2026],则g(x)＋g(－x)＝x＋ln(x2＋1－x)－x＋ln(x2＋1＋x)＝ln[(x2＋1－∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函数,因此g(x)min＋g(x)max＝0.又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5,g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5,∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0,即M＋m＝－10.感悟提升1.利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.2.比较大小,利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上,进而利用其单调性比较大小.3.解抽象函数不等式,先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)),利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组).4.设f(x)＝g(x)＋a,其中g(x)是奇函数,f(x)的最大值与最小值分别为M,N,则f(－x)＋f(x)＝2a,M＋N＝2a.训练2(1)(2026·成都模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)＝2x－3,则f(－2)＝()A.1 B.1C.－1 D.－11(2)(2026·唐山模拟)已知f(x)＝e|x|,则下列说法正确的是()A.f(5)>f(－3)>f(2)B.f(－3)>f(2)>f(5)C.f(5)>f(2)>f(－3)D.f(2)>f(5)>f(－3)(3)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sinxx2＋1的最大值为M,最小值为m,答案(1)C(2)A(3)2解析(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)＝2x－3,f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.(2)已知f(x)＝e|x|,其定义域为R,关于原点对称.且f(－x)＝e|－x|＝e|x|＝f(x),所以函数f(x)是偶函数,那么f(－3)＝f(3).当x≥0时,f(x)＝ex.因为e>1,所以f(x)＝ex在[0,＋∞)上单调递增.因为5>3>2,且f(x)在[0,＋∞)上单调递增,所以f(5)>f(3)>f(2).又因为f(－3)＝f(3),所以f(5)>f(－3)>f(2).(3)函数f(x)＝(x＋1)2易知g(x)＝2x＋sinxx2＋1是奇函数考点三函数的周期性及应用例5(2026·新余模拟)已知函数f(x)的定义域为N*,且f(3)＝－5,f(17)＝3,f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2),则f(2026)＝()A.5 B.－5C.2 D.－2答案D解析由题意得f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x),用x＋1代替x,得f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1).两式相加,得f(x＋3)＝－f(x),所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数.因为f(17)＝3,所以f(5)＝f(17)＝3,又因为f(5)＝－f(2),所以f(2)＝－3.又因为f(2)＝f(1)＋f(3),即－3＝f(1)－5,解得f(1)＝2,所以f(2026)＝f(337×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－2.感悟提升1.求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.2.利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.训练3(2025·青岛三模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x＋y)－f(x－y)＝2f(1－x)·f(y),f(1)＝1,则f(2025)＝()A.－1 B.0C.1 D.2答案C解析令x＝0,则f(y)－f(－y)＝2f(1)f(y)＝2f(y),∴f(y)＝－f(－y),∴f(x)为奇函数,令y＝1,则f(x＋1)－f(x－1)＝2f(1－x)f(1)＝2f(1－x),∵f(x)为奇函数,∴f(1－x)＝－f(x－1),∴f(x＋1)＝－f(x－1),∴f(x＋2)＝－f(x),∴f(x＋4)＝f(x),∴f(x)的周期为4,∴f(2025)＝f(1)＝1.抽象函数1.我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,解决抽象函数问题的两种常用方法有:函数性质法和特殊值法.2.常见的抽象函数模型:(1)f(x＋y)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝kx的抽象表达式;(2)f(x＋y)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝ax的抽象表达式(a>0,且a≠1);(3)f(xy)＝f(x)＋f(y)可看作f(x)＝logax的抽象表达式(a>0,且a≠1);(4)f(xy)＝f(x)f(y)可看作f(x)＝xα的抽象表达式.一、抽象函数求值例1已知函数f(x),对任意x,y∈R,满足f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y),且f(1)＝2,f(2)＝0,则f(1)＋f(2)＋…＋f(90)的值为()A.－2 B.0C.2 D.4答案C解析在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令x＝2,y＝1,得f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1),因为f(1)＝2,f(2)＝0,所以f(3)＝－2;令x＝3,y＝2,得f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)＝4,所以f(5)＝2;令x＝4,y＝1,得f(5)f(3)＝f2(4)－f2(1),所以f(4)＝0.在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令y＝2,得f(x＋2)f(x－2)＝f2(x),所以令x＝5,得f(7)＝－2,令x＝7,得f(9)＝2.在f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)中,令x＝6,y＝1,得f(7)f(5)＝f2(6)－f2(1),所以f(6)＝0;令x＝8,y＝1,得f(9)f(7)＝f2(8)－f2(1),所以f(8)＝0.依此类推,可得f(2k－1)＝(－1)k＋1·2,f(2k)＝0(k∈N*),且f(n)＋f(n＋1)＋f(n＋2)＋f(n＋3)＝0(k∈N*).所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(90)＝22×0＋f(89)＋f(90)＝0＋2＋0＝2.二、抽象函数的性质例2(多选)已知函数f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2,k∈Z},且f(x＋y)＝f(x)＋f(A.f(0)＝0B.f(x)为偶函数C.f(x)为周期函数,且4为f(x)的周期D.f(2027)＝－1答案ACD解析A中,令x＝y＝0,得f(0)＝0,故A正确;B中,令y＝－x,则f(0)＝f(x因此f(－x)＝－f(x),又f(x)的定义域为{x|x≠4k＋2,k∈Z},所以f(x)为奇函数,故B错误;C中,令y＝1,则f(x＋1)＝f(x)＋f(1)所以f(x＋2)＝－1＋21−f(x因此f(x＋4)＝－1f(x＋2)＝f所以f(x)为周期函数,且周期为4,故C正确;D中,f(2027)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1,故D正确.训练(1)f(x)满足对任意的实数a,b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b),且f(1)＝2,则f(2)f(1)＋fA.2026 B.2024 C.1013 D.1012答案A解析由f(a＋b)＝f(a)·f(b),f(1)＝2,令b＝1可得f(a＋1)＝f(a)·f(1)＝2f(a),所以f(2)f(1)＋＝2f(1)f(1)＝2×1013＝2026.(2)已知f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,且fxy＝f(x)－f(y),f(2)＝1,如果x满足f(x)－f1x−3≤2,则x的取值范围为答案(3,4]解析∵fxy＝f(x)－f(y)∴f(y)＋fxy＝f(x在上述等式中取x＝4,y＝2,则有f(2)＋f(2)＝f(4).又∵f(2)＝1,∴f(4)＝2,∴f(x)－f1x−3可变形为f(x(x－3))≤f(4).又∵f(x)是定义在区间(0,＋∞)上的增函数,∴x(x−3)≤4故x的取值范围是(3,4].一、单选题1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数其中是偶函数的有()A.f(x)＝(x－1)2 B.f(x)＝2xC.f(x)＝x4＋x2 D.f(x)＝|lnx|答案C解析A中,f(x)＝(x－1)2的定义域为R,且f(－x)≠f(x),f(－x)≠－f(x),故为非奇非偶函数;B中,f(x)＝2x的定义域为R,且f(－x)≠f(x),f(－x)≠－f(x),故为非奇非偶函数;C中,f(x)＝x4＋x2的定义域为R,且f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝f(x),所以f(x)为偶函数,D中,函数定义域为(0,＋∞),非奇非偶函数.2.若偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,则f(－7),f(π),f(－3)的大小关系是()A.f(π)>f(－3)>f(－7B.f(π)>f(－7)>f(－C.f(π)<f(－3)<f(－7D.f(π)<f(－7)<f(－答案A解析因为f(x)是偶函数,故f(－7)＝f(7),f(－3)＝f又因为当x∈[0,＋∞)时,f(x)单调递增,由7<3<π可得f(π)>f(3)>f(7即f(π)>f(－3)>f(－73.设f(x)为偶函数,当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x－1,则使f(x)>0的x的取值范围是()A.{x|x>1} B.{x|－1<x<0}C.{x|x<－1或x>1} D.{x|1<x<0或x>1}答案C解析∵当x∈(0,＋∞)时,f(x)＝x－1单调递增,又∵f(x)为偶函数,故可以作出f(x)的图象如图所示.由图象可知,若f(x)>0,则x<－1或x>1.4.已知函数f(x)满足:∀x∈R,f(x)·f(x＋6)＝2,且f(4)＝1,则f(2026)＝()A.1 B.2C.3 D.4答案B解析根据题意,f(x)·f(x＋6)＝2,显然f(x)≠0,所以f(x＋6)＝2f所以f(x＋12)＝2f(x＋6)＝2所以函数f(x)的一个周期为12,所以f(2026)＝f(12×168＋10)＝f(10)＝2f5.(2026·金华调研)已知函数f(x)＝(ex＋e－x)·sinx－2在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则M＋N＝()A.－4 B.0C.2 D.4答案A解析令g(x)＝f(x)＋2＝(ex＋e－x)sinx,其定义域为R,因为f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,所以g(x)在[－2,2]上的最大值和最小值分别为M＋2,N＋2.因为g(－x)＝(e－x＋ex)sin(－x)＝－(e－x＋ex)sinx＝－g(x),所以g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称,所以g(x)在[－2,2]上的最大值和最小值互为相反数,即M＋2＋N＋2＝0,所以M＋N＝－4,故选A.6.已知f(x＋1)＝1−f(x)a＋f(xA.2 B.1C.－1 D.－2答案B解析因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数,所以f(x＋2)＝1−f(x＋1)a＋所以a−1＝0,a7.(2026·泰安模拟)定义在R上的奇函数f(x)在(0,＋∞)上单调递增,且f13＝0,则不等式f(A.−∞,B.−13C.−∞,D.−13答案D解析由函数f(x)为奇函数,且在(0,＋∞)上单调递增,则函数f(x)在(－∞,0)上单调递增,且f−13＝－f13＝0,则函数f(x)的大致图象如图所示,由图可得,当x∈−∞,−13∪0,当x∈−13,0∪13,＋由当x∈(－∞,2)时,x－2<0;当x∈(2,＋∞)时,x－2>0,则不等式f(x)x−2≤0二、多选题8.(2025·辽宁名校联考)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,f(x＋1)是偶函数,则()A.f(0)＝1 B.f(x)是周期函数C.f(x＋3)为偶函数 D.f(x＋5)为奇函数答案BC解析法一对于A,B,因为f(x＋1)是偶函数,所以f(x＋1)＝f(－x＋1),即f(－x)＝f(2＋x),又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),f(0)＝0,于是f(2＋x)＝－f(x),即f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,故A错误,B正确;对于C,设g(x)＝f(x＋3),则g(x)的定义域为R,因为f(－x)＝f(2＋x),所以f(－x＋3)＝f(－1＋x),则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3),即g(x)＝g(－x),所以f(x＋3)为偶函数,故C正确;对于D,设h(x)＝f(x＋5),则h(x)的定义域为R,因为f(－x)＝f(2＋x),所以f(－x＋5)＝f(x－3),则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5),即h(x)＝h(－x),所以f(x＋5)为偶函数,故D错误.故选BC.法二对于A,f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)＝0,故A错误;对于B,因为f(x＋1)为偶函数,所以f(x)的图象关于直线x＝1对称,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,所以f(x)是以4为周期的周期函数,故B正确;对于C,由B知,f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1),由f(x＋1)为偶函数得,f(－x＋1)＝f(x＋1),又f(x)是奇函数,所以f(－x－1)＝－f(x＋1)＝－f(－x＋1)＝f(x－1),所以f(x－1)＝f(x＋3)为偶函数,故C正确;对于D,f(x＋5)＝f(x＋5－4)＝f(x＋1)为偶函数,故D错误.故选BC.9.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)满足()A.f(0)＝0B.y＝f(x)为奇函数C.f(x)在R上单调递增D.f(x－1)>0的解集为{x|<1}答案ABD解析由题意,定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),对于A,令x＝y＝0,则f(0)＝f(0)＋f(0),即f(0)＝0,故A正确;对于B,令y＝－x,则f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x),所以y＝f(x)为奇函数,故B正确;对于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2),因为x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在R上单调递减,故C错误;对于D,f(x－1)>0,即f(x－1)>f(0),由C知函数f(x)在R上单调递减,所以x－1<0,解得x<1,所以f(x－1)>0的解集为{x|x<1},故D正确.三、填空题10.函数f(x)＝ax＋bx2＋1是定义在R上的奇函数,则满足条件的一组a,b的值可以是a＝,答案1(答案不唯一)0解析因为函数f(x)＝ax＋bx2＋1是奇函数所以f(0)＝0,得b＝0,当a＝1时,f(x)＝xx2＋1,满足f(－x)＝−xx2＋1即f(x)为奇函数.11.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋1)＋f(x－1)＝3,且f(1)＝－1,则f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝.

答案2解析由f(x＋1)＋f(x－1)＝3,令x＋1代替x,可得f(x＋2)＝3－f(x),则f(x＋4)＝3－f(x＋2)＝f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,可得f(2025)＝f(1＋506×4)＝f(1)＝－1,由f(x＋1)＋f(x－1)＝3,令x＝2025,则f(2026)＋f(2024)＝3,所以f(2024)＋f(2025)＋f(2026)＝2.12.若函数f(x)＝log4(24x＋1)