北师大版九年级数学上册《1.3矩形的性质与判定》同步练习题（带答案）

第页北师大版九年级数学上册《1.3矩形的性质与判定》同步练习题（带答案）（满分100分，时间60分钟）【本课知识要点】·矩形的四个角都是直角。·矩形的对角线相等且互相平分（对角线交点是矩形的对称中心）。·推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。·矩形既是轴对称图形（2条对称轴），又是中心对称图形。·矩形的两条对角线把矩形分成4个全等的等腰三角形，每个小三角形的面积都等于矩形面积的四分之一。·矩形中的常见计算：勾股定理；当对角线的夹角为60°或120°时，出现等边三角形。一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列关于矩形的说法：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对边相等；③矩形的对角线相等且互相平分；④矩形的对角线互相垂直。其中正确的有（）A．2个B．3个

C．4个D．1个2．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（）A．对边相等

B．对角相等

C．对角线相等

D．对角线互相平分3．在Rt△ABC中，∠C＝90°,CD是斜边AB上的中线。若AB＝10，则CD的长为（）A．5B．2.5

C．10D．204．矩形是轴对称图形，它的对称轴（直线）共有（）A．1条B．2条

C．4条D．无数条5．矩形ABCD中，AB＝5,BC＝12，则对角线BD的长为（）A．13B．11

C．10D．176．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等

B．对角线互相垂直

C．对角线互相平分

D．对角相等7．矩形ABCD中，AB＝6,BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，则△OAB的周长为（）A．15B．14

C．20D．168．矩形的对角线长为10，两条邻边之比为3:4，则矩形的周长为（）A．28B．24

C．14D．32二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC＝12，则OD的长为＿＿＿。10．在Rt△ABC中，∠C＝90°,AC＝5,BC＝12，则斜边AB上的中线长为＿＿＿。11．矩形的周长为16，面积为12，则它的对角线长为＿＿＿。12．矩形ABCD中，对角线AC与边AB的夹角为30°。若AC＝8，则矩形的周长为＿＿＿。13．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处。若AB＝6,BC＝10，则CE的长为＿＿＿。三、解答题（本大题共5小题，满分35分）14．（本题6分）已知：四边形ABCD是矩形。

求证：AC＝BD。15．（本题7分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠AOD＝120°,AB＝2.5，求这个矩形对角线的长。16．（本题7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,CD是斜边AB上的中线。延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE、BE。

(1)求证：四边形ACBE是矩形；

(2)利用(1)的结论证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。17．（本题7分）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点。

(1)求证：△ABE≌△DCE；

(2)若AB＝2,AD＝4，判断△BEC的形状，并求△BEC的面积。18．（本题8分）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD。过点P作EF∥AB，分别交AD、BC于点E、F；过点P作GH∥BC，分别交AB、CD于点G、H。

(1)求证：PA²＋PC²＝PB²＋PD²；

(2)若PA＝1,PB＝2,PC＝3，求PD的长。四、综合与实践（本大题共2小题，满分26分）19．（本题12分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O,AB＝6,OA＝4。

(1)求证：△OAB是等腰三角形；

(2)求对角线BD与边AD的长；

(3)求△OAB的面积。20．（本题14分）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6,BC＝8。将矩形沿EF折叠，使点B与点D重合，折痕EF分别交边AD、BC于点E、F，连接BE、DF。

(1)判断四边形BEDF的形状，并证明你的结论；

(2)求四边形BEDF的边长；

(3)求四边形BEDF的面积。参考答案与解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．B2．C3．A4．B5．A6．B7．D8．A二、填空题（每小题3分，共15分）9．610．6.511．212．8＋813．8三、解答题14．见详解（证△ABC≌△DCB，得AC＝BD）【分析】利用矩形的性质：四个角都是直角、对边相等，用SAS证明△ABC与△DCB全等，从而得到对角线相等。【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠DCB＝90°（矩形的四个角都是直角），AB＝DC（矩形是特殊的平行四边形，对边相等）。

在△ABC和△DCB中，AB＝DC,∠ABC＝∠DCB,BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB（SAS）。

∴AC＝BD，即矩形的对角线相等。【评分标准】利用矩形性质得条件得3分；全等依据正确得2分；得出结论得1分（共6分）。15．5【分析】矩形对角线相等且互相平分，得OA＝OB；由∠AOD＝120°得∠AOB＝60°，从而△AOB是等边三角形，OA＝AB。【详解】∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD（矩形的对角线相等），OA＝AC2,OB＝BD2（矩形的对角线互相平分）。

∴OA＝OB。

∵∠AOD＝120°,∴∠AOB＝180°−∠AOD＝60°。

∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝2.5。

∴AC＝2OA＝2×2.5＝5【评分标准】得出OA＝OB得3分；判断△AOB是等边三角形得2分；求出对角线长得2分（共7分）。16．(1)见详解；(2)CD＝AB【分析】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合直角用矩形定义判定；(2)利用矩形对角线相等。【详解】(1)∵CD是斜边AB上的中线，∴AD＝DB。又DE＝CD，

∴四边形ACBE的对角线AB、CE互相平分，

∴四边形ACBE是平行四边形。

又∠ACB＝90°,∴四边形ACBE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

(2)∵四边形ACBE是矩形，∴CE＝AB（矩形的对角线相等）。

∵CE＝CD＋DE＝2CD,∴AB＝2CD，即CD＝AB2【评分标准】第(1)问得4分（平行四边形2分，矩形2分）；第(2)问得3分（共7分）。17．(1)见详解；(2)等腰直角三角形，面积为4【分析】(1)用SAS证全等；(2)先用勾股定理求BE、CE，再用勾股定理的逆定理判断直角，等腰加直角得等腰直角三角形。【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°（矩形的四个角都是直角），AB＝CD（矩形的对边相等）。

∵E是AD的中点，∴AE＝DE。

在△ABE和△DCE中，AB＝CD,∠BAE＝∠CDE,AE＝DE，

∴△ABE≌△DCE（SAS）。

(2)∵AD＝4,E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD2＝2。

在Rt△ABE中，BE＝AB²＋AE²＝4＋4＝22；同理CE＝22。

∵BC＝AD＝4,BE²＋CE²＝8＋8＝16＝BC²，

∴∠BEC＝90°（勾股定理的逆定理）。

∴△BEC是等腰直角三角形，S△BEC＝BE×CE2＝【评分标准】第(1)问得3分；判断出形状得2分；求出面积得2分（共7分）。18．(1)见详解；(2)【分析】过点P的两条辅助线把矩形分成若干个小矩形，从而AG＝PE,BG＝PF,CF＝DE；在四个直角三角形中分别用勾股定理，再互相代换。【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，EF∥AB,GH∥BC,∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴四边形AEPG、四边形GBFP、四边形EDCF各有三个角是直角，都是矩形（先证对边平行，再用矩形定义），

∴AG＝PE,BG＝PF,CF＝DE。

在Rt△PAG中，PA²＝AG²＋PG²；在Rt△PBG中，PB²＝BG²＋PG²；

在Rt△PCF中，PC²＝PF²＋CF²；在Rt△PDE中，PD²＝PE²＋DE²。

∴PA²＋PC²＝AG²＋PG²＋PF²＋CF²＝PE²＋PG²＋BG²＋DE²＝PB²＋PD²。

(2)由(1)得PD²＝PA²＋PC²−PB²＝1＋9−4＝6，

∴PD＝6。【评分标准】第(1)问辅助线运用与勾股定理使用正确得5分；第(2)问代入求值得3分（共8分）。四、综合与实践19．(1)见详解；(2)BD＝8,AD＝27；【分析】(1)矩形对角线相等且互相平分，得OA＝OB；(2)BD＝2OA,AD用勾股定理求；(3)对角线把矩形分成4个全等三角形，每个小三角形面积是矩形面积的四分之一。【详解】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD（矩形的对角线相等），且OA＝AC2,OB＝BD2（矩形的对角线互相平分），

∴OA＝OB,△OAB是等腰三角形。

(2)BD＝2OA＝2×4＝8。

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°,AD＝BD²−AB²＝64−36＝28＝27。

(3)∵OA＝OB＝OC＝OD,AB＝BC＝CD＝DA，

∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△ODA（SSS），即两条对角线把矩形分成4个全等的小三角形。

∴S△OAB＝S矩形ABCD4＝AB×AD【评分标准】第(1)问得3分；第(2)问BD、AD各得2分（共4分）；第(3)问得5分（共12分）。20．(1)菱形；(2)254【分析】折叠的本质是轴反射，折痕EF是BD的垂直平分线：由垂直平分线的性质得两组邻边相等，再结合平行线产生的内错角证全等得第三组相等，四边相等即是菱形；计算用勾股定理列方程。【详解】(1)四边形BEDF是菱形。

证明：连接BD，设BD与EF相交于点O。

由折叠可知，EF垂直平分BD，

∴OB＝OD,∠BOE＝∠DOF＝90°。

∵AD∥BC,∴∠EDO＝∠FBO（两直线平行，内错角相等）。

在△DOE和△BOF中，∠DOE＝∠BOF,OD＝OB,∠EDO＝∠FBO，

∴△DOE≌△BOF（ASA），∴ED＝FB。

又∵E、F都在BD的垂直平分线上，∴EB＝ED,FB＝FD。

∴EB＝ED＝DF＝FB，四边形BEDF是菱形（四条边相等的四边形是菱形）。

(2)设ED＝EB＝x，则AE＝AD−x＝8−x（AD＝BC＝8）。

在Rt△ABE中，∠A＝90°,EB²＝AE²＋AB²，

即x²＝(8−x)2＋36，整理得16x＝100，解