微专题　球的切、接问题

微专题球的切、接问题

球的切、接问题是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一

般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利

用等体积法求内切球半径等.几种常见的球的切、接模型

3.

正棱锥与球（1）外接球：外接球球心在其高上，底面正多边形的外接圆圆心为E，半

径为r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱锥外接球半径为R，高为h）；

6.

直棱柱（圆柱）的外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱

的上下底面可以是任意三角形）.（1）确定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圆圆心连线段

O1O2的中点处；

几何体的外接球角度1

定义法

（1）如图，在四面体ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝2，

则四面体ABCD外接球的体积为（

B

）B

A.1D.2C

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，可以借助这一性质确定

某些特殊几何体的球心；而对于一般多面体的外接球问题，也可以建立空

间直角坐标系，设球心为O（x，y，z），利用球心到各顶点的距离相等

建立方程（组）从而得到半径长.角度2

补形法

（1）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形，且有一条

侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.若四棱锥P-ABCD为“阳马”，

PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝4，PA＝3，则此“阳马”外接球的表面积

为

（

D

）DD.41π

A.1

BD.2

1.

若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图

1所示.2.

若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.3.

若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图3所示.角度3

截面法

（1）（2021·全国甲卷11题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面

上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为

（

A

）A

（2）（2026·黑龙江哈尔滨模拟）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱

组合而成，且圆柱的两个底面圆和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，

若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（

C

）C

与球截面有关的解题策略（1）定球心：外接球的球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的.角度4

垂面法

A.100πB.128πC.144πD.192πA

（2）已知三棱锥D-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若AB＝AC＝

BC＝DB＝DC＝1.当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积

为（

D

）D

先过棱锥某个面（一般选取直角三角形、正三角形、矩形等）的外接

圆圆心作该面的垂线，则球心一定在该垂线上，再根据球心到棱锥各个顶

点的距离相等，结合勾股定理构建等式，确定球心及半径，这是解决此类

问题的常规思路.

几何体的内切球

（1）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的

球的体积为（

A

）A

（2）在正四棱锥P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，则该四棱锥内切球的表面

积为（

C

）C

1.

解决空间几何体的内切球问题主要有两个方法：一是找球心，球心到切

点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体

积法直接求内切球的半径.2.

多面体内切球的球心与半径的确定（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶

点的距离均相等；

特殊的切、接问题

B.4πD.3πB

（2）如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝

90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大

小相同的健身手球，则加工所得的一个健身手球的最大体积及此时加工成

的健身手球的个数分别为（

D

）DC.6π，4

（3）（2025·全国Ⅱ卷14题）一个底面半径为4

cm，高为9

cm的封闭圆柱形

容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最

大值为

cm.

2.5

1.

解决棱切球问题的方法（1）转化为内切球求解；（2）找切点⇒定球心⇒构造直角三角形求解.2.

解决多球相切问题的方法（1）抓住多球的堆垒放置规律；（2）抓住各球心位置，转化为多面体问题；（3）适当选择截面，转化为平面几何问题.

1.

（2026·江苏南京模拟）所有棱长均为2的正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点

均在球O的表面上，则球O的表面积为（

）B.4πC.8π√

A.4πC.8πD.16π√

3.

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的

球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）√

4.

在三棱锥P-ABC中，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝BC＝2，则三棱

锥P-ABC外接球的表面积为（

）B.2πC.5π

√

C.1√

6.

在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，

BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为（

）D.π√

A.9πC.27π√