平面向量数量积练习题

平面向量数量积练习题一、基础概念辨析与简单计算1.概念理解：判断下列说法是否正确，并简述理由。*（1）若向量a与b的数量积a·b=0，则a与b中至少有一个为零向量。*（2）对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c=a(b·c)。*（3）若a·b=a·c且a≠0，则b=c。2.直接计算：已知向量a和b的夹角为θ，|a|=m，|b|=n。根据下列条件求a·b。*（1）m=3，n=4，θ=60°；*（2）m=5，n=2，θ=120°；*（3）m=1，n=1，θ=0°；*（4）m=2，n=3，θ=90°。3.坐标运算：已知向量a，b的坐标，求a·b，|a|，|b|以及向量a与b夹角的余弦值cosθ。*（1）a=(1,2)，b=(3,4)；*（2）a=(-1,0)，b=(0,1)；*（3）a=(2,-1)，b=(1,2)。二、数量积的性质应用4.模长计算：已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为60°，求|a+b|和|a-b|。5.垂直与平行判定：*（1）已知a=(k,2)，b=(3,-1)，若a⊥b，求k的值。*（2）已知a=(m,1)，b=(2,m)，若a与b的夹角为锐角，求m的取值范围（注意排除共线情况）。6.夹角计算：已知A(1,2)，B(3,4)，C(5,0)，求向量AB与AC的夹角θ的大小。三、综合应用与几何意义7.几何应用：在△ABC中，已知向量AB=c，BC=a，CA=b，且|a|=3，|b|=4，|c|=5。*（1）求a·b+b·c+c·a的值；*（2）判断△ABC的形状，并说明理由。8.最值问题初探：已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，当x为何值时：*（1）a与b的夹角为锐角？*（2）|a+b|取得最小值？并求出最小值。参考答案与提示一、基础概念辨析与简单计算1.概念理解：*（1）错误。当a与b垂直时，数量积也为零，未必有零向量。*（2）错误。数量积是数量，左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，一般不相等。*（3）错误。a·b=a·c只能说明a与(b-c)垂直，b与c未必相等。2.直接计算：*（1）a·b=3×4×cos60°=3×4×0.5=6；*（2）a·b=5×2×cos120°=5×2×(-0.5)=-5；*（3）a·b=1×1×cos0°=1×1×1=1；*（4）a·b=2×3×cos90°=2×3×0=0。3.坐标运算：*（1）a·b=1×3+2×4=3+8=11；|a|=√(1²+2²)=√5；|b|=√(3²+4²)=5；cosθ=11/(√5×5)=11√5/25。*（2）a·b=(-1)×0+0×1=0；|a|=1；|b|=1；cosθ=0/(1×1)=0。*（3）a·b=2×1+(-1)×2=2-2=0；|a|=√(2²+(-1)²)=√5；|b|=√(1²+2²)=√5；cosθ=0/(√5×√5)=0。二、数量积的性质应用4.模长计算：*|a+b|²=(a+b)·(a+b)=|a|²+2a·b+|b|²=9+2×3×4×cos60°+16=25+12=37，故|a+b|=√37。*|a-b|²=(a-b)·(a-b)=|a|²-2a·b+|b|²=9-2×3×4×cos60°+16=25-12=13，故|a-b|=√13。5.垂直与平行判定：*（1）a⊥b⇨a·b=0⇨3k+2×(-1)=0⇨3k-2=0⇨k=2/3。*（2）a与b夹角为锐角⇨a·b>0且a与b不共线。a·b=2m+m=3m>0⇨m>0。若a与b共线，则m×m-1×2=0⇨m²=2⇨m=±√2。因夹角为锐角，故m≠√2。综上，m>0且m≠√2。6.夹角计算：*AB=(3-1,4-2)=(2,2)，AC=(5-1,0-2)=(4,-2)。*AB·AC=2×4+2×(-2)=8-4=4。*|AB|=√(2²+2²)=√8=2√2，|AC|=√(4²+(-2)²)=√20=2√5。*cosθ=AB·AC/(|AB||AC|)=4/(2√2×2√5)=4/(4√10)=1/√10=√10/10。*故θ=arccos(√10/10)。（若需具体角度，可表示为arccos(√10/10)，或根据计算器求得近似值）三、综合应用与几何意义7.几何应用：*（1）在△ABC中，a+b+c=0（注意向量方向），故(a+b+c)·(a+b+c)=0。展开得|a|²+|b|²+|c|²+2(a·b+b·c+c·a)=0。即9+16+25+2(a·b+b·c+c·a)=0⇒50+2S=0⇒S=-25。*（2）因为|a|=3，|b|=4，|c|=5，满足3²+4²=5²，故△ABC为直角三角形，且a与b的夹角为90°（注意：这里的a=BC，b=CA，故实际是边BC和CA垂直，即∠C为直角）。8.最值问题初探：*a=(1,2)，b=(x,1)。*（1）夹角为锐角⇨a·b>0且a与b不共线。a·b=x+2×1=x+2>0⇒x>-2。若共线，则1×1-2×x=0⇒x=1/2。故x>-2且x≠1/2。*（2）a+b=(1+x,3)，|a+b|²=(1+x)²+3²=(x