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文档简介

7.3.2等比数列前n项和公式

一学生沉迷于网络游戏，需要花钱买游戏道具，自己没有

钱，又不敢向家长问，就想通过一些不当渠道借钱（高利贷），

高利贷的老板很爽快一口就答应了：“行！我每天借你1000元，

连续一个月（30天），但是有一个条件：从借钱的第一天起你

必须还一部分钱，第一天还1元，第二天还2元，第三天还4元，

第四天还8元，……，即后一天还钱数为前一天的2倍，还够30

天就就算结清借款了。”这名学生听了觉得还不错，不算还太

多：“第一天：支出1元，收入1000元；第二天：支出2元，

收入1000元；第三天：支出4元，收入1000元；……哇，还有

很多钱可以买游戏道具……”

1.请问：1，2，22，23，…，229构成什

么数列？等比数列，首项为1，公比为2.

2.到第30天总共要还多少钱？

1+2+22+23+…+229=

3.结合等差数列的前n项和，思考上式应归结为

什么数学问题呢？等比数列求和

2329

S30=1+2+2+2+···+2①

探讨：观察相邻两项的特征，有何联系？

如果我们把每一项都乘以2，

比较①、②两式，你有什么发现？

22829

S30=1+2+2+···+2+2

2329

2S30=2+2+2+···+2

+230

30

②-①得：S30=2-1

反思：纵观全过程，①式两边为什么要乘以2？

乘以3会达到一样的效果吗？

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q（q不等于1），

前n项和为Sn，如何求Sn？所得结果如何？

（错位相减法）

设等比数列的前n项和为：

+01

0+2

1-2得，

思考：当q＝1时，如何求Sn？

所以，等比数列通项公式Sn可归纳为：

例5在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求

该数列前5项的和．

解由等比数列的前n项和公式，得

(1−5)2×(1−35)

S=1==242．

51−1−3

��

所以该数列前5�项的和为242．

例6在等比数列{an}中，a1=2，q=3，an=162，

求该数列前n项的和．

解由等比数列的前n项和公式，得

−2−162×3

S=1==242．

n1−1−3

����

所以该数列前�5项的和为242．

例7已知等比数列1，2，4，8，…，求该数列第5项至第10项的和．

分析第5项至第10项的和为a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数列前

10项的和减去其前4项的和．

2

解根据已知条件a=1，q==2．因此

11

(1−4)1×(1−24)

S=1==15，

41−1−2

��

(1−�10)1×(1−210)

S=1==1023．

101−1−2

��

�

于是，该数列第5项至第10项的和为S10-S4=1023-15=1008．

1

练1．在等比数列{a}中，a=，q=2，求该数列前5项的和．

n12

11

2．在等比数列{a}中，a=8，q=，a=，求该数列前n项的和．

习n12n4

3

3．求等比数列，3，6，12，…前6项的和．

2

3

4．求等比数列，3，6，12，…第7项至第10项的和．

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