条件概率与全概率公式（人教A版选择性必修第二册）原卷版+解析

条件概率与全概率公式

知识点详释

1条件概率

①定义

一般地，设A,B为两个事件，且PG4)>0,称P(BIA)=耀为在事件A发生的条件下，事

件8发生的条件概率.

解释

(1)求“事件4已发生，事件B发生的概率“，可理解：如图，事件4已发生，贝^为样本空间，

此时事件8发生的概率是48包含的样本点数与力包含的样本点数的比值，即

n(AB)

p(8|一逊=应=逊

(1)九⑷nG4)P⑷

几(C)

(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，P(BI①就是以4为样本空间计算AB的概率)

Eg:某地7月份吹南风(事件少的概率是右下雨(事件8)的概率是:，即吹南风又下雨的概率

是；，那在吹南风的条件下下雨的概率是P(B|4)=黯=]="在下雨的条件下吹南风的

5P(A)—5

的概率是P(*8)=需=3=：.

产⑺-5

(2)当尸(4)>0时，当且仅当事件4与8相互独立时，有尸(8|4)=P(B).

②概率的乘法公式

对任意两个事件力与8,若P(A)>0,则

P(4B)=P(A)P(B|A)

设。(4)>0,则

(1)P(。⑷=1;

(2)如果B和C互斥，那么P[(8UC)|A]=P(B|4)+P(C|A)；

(3)设月和B互为对立事件，则P(8|A)=1-P(8|4).

2全概率公式

一般地，设力1，4，…，4是一组两两互斥的事件，4u42u...u/1n=。，且P(4)>o,

1=1,2....n,则对任意的事件有

P(B)=P(4)P(B国)

我们称它为全概率公式.

解释

⑴如下图，外圈是样本空间C,分成4,力2，…，4互斥事件：内圈是样本空间B,对应分

成,A2B互斥事件：

则P(8)=P(48)+PC/B)+P(A3B)+…+P(AnB)=P(4)P(B4).

(2)它表示求样本空间Cl人.任意•事件B的概率的方法.

3贝叶斯公式

设4,力2，…，力n是一组两两互斥的事件，力1U/12U...Ui4n=C,且P(4)>0。=1,

2，…，n),则对任意的事件BGC,P⑻>0,有

皿-PGM)P(4)P(814)

(

d)—"7WF=iP(4)P(B14)i=1,2'…9n.

解释

贝叶斯公式告诉我们两个条件概率之间的关系.

本方法册块化学灯，吧里解我.钱力

【题型1]对条件概率概念和性质的理解

【典题1】设48为两个事件，己知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(BIA)=0.3,则

PSIB)=()

A.0.24B.0.375C.0.4D.0.5

【典题2】事件小B、C有P(A)=P(B)=P(C),且两两独立，若P(A)=]P(ABQ=0,

则P(CI力U3)为:

【巩固练习】

1.(★)设集合4GB,且P(A)=0.2,P(B)=0.7,则下列说法正确的是()

A.P(BIA)=-B.P(AIB)=-C.P(BIA)=-D.P(AB)=—

73810

2.(**)(多选)已知4,B,C为随机事件，则下列表述中不正确的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)

B.0(BUC14)=P(BIA)+P(CIA)

C.P(A1/)=1

D.P(A|B)>P(AB)

3.(***)E,知事件力，B满足0VP(A)V1,0<P(B)<1,则不能说明事件4,B相互

独立的是()

A.P(AIB)=P(AIB)B.P(AIB)=P(A)

C.P(B|力)=P(B)D.P(B|A)=P(B|A)

4.(★★★)(多选)设48为同一随机试验的两个随机事件，若P(8)=0.5,P(AIB)二

0.2,P(AIB)=0.4,则()

A.P(AB)=0.1B.P(A)=0.4C.P(BM)=1D.P(BM)=|

J/

【题型2】求条件概率

【典题1】在某电路上有C、。两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件

的概率为0.2,需要更换D元件的概率为0.1,则在某次通电后C、。有且只有一个

需要更换的条件下，C需要更换的概率是()

【典题2](多选)2023年旅游市场强劲复苏，7,8月的暑期是旅游高峰期.甲、乙、

内、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一

个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京“，事件N为“乙选择上

海”，则下列结论正确的是()

A.事件M与N互斥B.P(N|M)=P(M|N)

C.P(而)=D.P(MUN)=|

【巩固练习】

1.(★)抛郑一枚质地均匀的骰子两次，记4=｛两次的点数均为偶数｝,8=｛两次的

点数之和为8｝,则P(B14)=()

2.(曲某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽

取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地

取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概定是

()

A.-B.-C.-D.-

4343

3.(**)甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都

江堰、青城山这5个景点中随机选一个.事件力:甲利乙选择的景点不同，事件B:

甲和乙恰好有一人选择九寨沟.则条件概率P(8|71)=()

A.-B.-C.-D.—

55525

4.(★★★)2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、

T4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育

馆工作，每座体育馆至少派1名志愿者，力表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；B

表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则

()

A.事件4与8相互独立B.事件力与C为互斥事件

C.P(CIA)=；D.P(B|A)=：

3o

5.(***)(多选)一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均

相同.现从容器中不放回地抽取两个小球.记事件4:“至少有1个红球”，事件8:“至

少有1个白球“，事件。=40氏贝U()

A.事件48不互斥B.事件力，8相互独立

C.P(4|B)=P(BI4)D.P(CIA)+P(CIB)>2尸(C)

【题型3】全概率公式的运用

【典题1】设4B为两个事件，己知P(B)=0.4,P{A)=0.5,P(B|4)=0.3,则

P(BIA)=()

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

【典题2】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子

中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.

游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由

获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外

三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱

子.

(I)计算主持人打开4号箱的概率；

(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2

号箱，还是改选1号或3号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)

【巩固练习】

!.(★)已知48为两个机事件,O<P(A)<1,P(A)=0.3,P(A|B)=0.9,P(A|

F)=0.2,则P(B)=()

A.0.1B.C.0.33D|

2.(★)某人周一至周五每天6:30至6:50出发去上班，其中在6:30至6:40出发

的概率为0.4,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6:40至6:50出发的概

率为().6,在该时间段出发上班迟到的概率为().2,则小王某天在6:30至6:50出

发上班迟到的概率为()

A.0.3B.0.17C.0.16D.0.13

3.N4)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1,货车和客车中途停车修理的

概率分别为0.03和0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为()

A.1B.C.D.

504030

4.(★★巧某卡车为乡村小学运送书籍，共装运10箱，其中5箱英语书、2箱数学

书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失了哪一箱.现从剩下的9箱

中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为()

A.IB.IC.尚D.J

98128

5.(**巧甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球

和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分

别以4,A2和小表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随

机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是()

⑴事件必与必相互独立；⑵①，42,43是两两互斥的事件；

(3)P(B|A2)=(4)P(B)=(5)PQ4]⑶=g

A.5B.4C.3D.2

&(★★★)甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的

球。甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白

球，3个黑球.

(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；

(2)已知(I)中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.

7.(★★★★)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问

卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中•家

公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评

价，得到如下统计结果：

①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68；

②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为().62,选择乙公司的用户对等待时间满

意的频率为0.78；

③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适

度满意的频率为0.61；

④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满

意的频率为0.32.

将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.

(1)分别求出网约车用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘车费用满意的概率，并

比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.

(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？

并说明理由。

【题型4】贝叶斯公式的运用

【典题1】已知12件产品中有4件次品，在先取1件的情况下，任取2件产品皆

为正品，则先取1件为次品的概率为L

【典题2】设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区的总人数比为2:5:3,

而三个地区感染此病的比例分别为6%,4%,3%.现从这三个地区任意抽取一个人.

求：

(1)此人感染此病的概率；

(2)若此人感染此病，此人选自甲地区的概率为多少.

【巩固练习】

1.(★★)甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲

口袋中随机取出I球放入乙口袋，分别以41，&表示从甲口袋取出的球是红球、白球

的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以8表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则

P(%I8)=()

6

A.B.CD.

2323-408

2.(**)设5支枪中有2支未经过试射校正，3支已经过试射校正.一射手用校正过

的枪射击中靶的概率是0.9,用未经过校正的枪射击中靶概率是0.4.今任取1支枪

射靶，结果未中靶，则此枪为未经校正过的概率为()

A.0.5B.0.6C.0.8D.0.4

3.小玄切现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%,

第2台车床加工的零件次品率为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1台车床

加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2:3,从这些零件中任取一个.

⑴求这个零件是次品的概率；

(2)已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.

4.(★★巧现有甲、乙两个袋子，其中甲袋中有6个红球和2个白球，乙袋中有3个

红球和5个白球，两袋子中小球形状和大小完全相同.从这两个袋子中选择一个袋

子，再从该袋子中一次摸出两个球，称为一次试验.已知选择甲袋子的概率为j选择

乙袋子的概率为未拟进行多次重复试验，直到摸出的两个球均为红球，不再试验.

(1)求第一次试验摸出两个红球的概率；

(2)已知需进行第二次试验，计算第一次试验摸出的两个球来自甲袋的概率.

后练习

1.(★★)已知4B为某随矶试验的两个事件，3为事件.4的对立事件.若P(4)=

|,P(8)=|,尸(48)=(则P(8|m=()

2.(★★「狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信

了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没

有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这

一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1;小孩是不

诚实的，则他说谎的概率是05最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目

中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是

()

A.-B.-C.—D.—

571014

3.(★★)某批麦种中，•等麦种占80%,二等麦种占20%等麦种种植后所结麦含有

50粒以上麦粒的概率分别为0.6,0.2,则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦

粒的概率为()

A.0.48B.0.52C.0.56D.0.65

4.(★★★)已知甲袋中有6只红球，4只白球，乙袋中有8只红球，6只白球，随机取

一只袋，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为()

甲罐中有5个红球，2个3球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球

和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分

别以A2和公表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随

机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是()

⑴事件必与&相互独立⑵P(BI&)=2

⑶P(B)=士(4)P(4|B)=g

A.4B.3C.2D.1

Gd*)伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学

生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务

队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件”抽到的2名队长都是男

生"，贝"(BM)=,

7.什巧设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产14nm规格的芯片，现有20

块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、

乙、丙生产该芯片的次品率依次为高，专，会现从这20块芯片中任取I块芯片，

若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.一

8.(★★巧甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.曰每次射击命中的概率是右乙命

中的概率是|,两人每次射击是否命中都互不影响，则甲乙二人全部命中的概率

为;在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为.

%★★★)第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然

交流的新纪

元.ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于

ChatGPT中.某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大

小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.

(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概

率；

(2)郑一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4,从甲箱子随机抽出1个球；如果

点数大于等于5,从乙箱子中随机抽出1个球.若抽到的是红球，求它是来自乙箱的

概率.

1().(★★★★或I」图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1,2,3,其中1号箱装芍1

个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些

球除颜色外完全相同.小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意携出一球，

记事件4(i=l,2,3)表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”.

⑴求P(B)的值；

(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由.

条件概率与全概率公式

础知识

亦宗氐修.建立允兴知正体东

1条件概率

①定义

一般地，设力，B为两个事件，且P(4)>0,称P(8|A)=筮^为在事件力发生的条件下，事

件B发生的条件概率.

解释

(I)求“事件4己发生，事件B发生的概率”，可理解：如图，事件力已发生，则力为样本空间，

此时事件B发生的概率是4B包含的样本点数与力包含的样本点数的比值，即

n(AB)

P”)=生竺2=诞:=生竺2

(।-九⑷一nC4)一P⑷

九(。)

(通俗些理解，条件概率只是缩小了样本空间，P(B|4)就是以A为样本空间计算力8的概率)

Eg:某地7月份吹南风(事件4)的概率是3下雨(事件B)的概率是%即吹南风又下雨的概率

是占那在吹南风的条件下下雨的概率是P(8|4)=赞在下雨的条件下吹南风的

3r(AJ-3

的概率是P(川B)=需累屋.

尸⑺T5

(2)当P(4)>0时，当且仅当事件4与8相互独立时，有P(B|A)=P(F).

②概率的乘法公式

对任意两个事件A与8,若PQ4)>0,则

P(48)=PG4)P(B|4)

设P(4)>0,则

(1)P(。⑷=1;

(2)如果B和C互斥，那么P[(BUC)|A]=P(B|4)+P(C|4)；

⑶设8和B互为对立事件，则P(8\A)=1-P(B\A).

2全概率公式

一般地，设公,%，…，4是一组两两互斥的事件，A1UA2U...UAn=il,且P(4)>0,

i=1,2,九，则对任意的事件BGQ,有

n

p⑻=2P(4)P(B|4)

i=i

我们称它为全概率公式.

解释

⑴如下图，外圈是样本空间C,分成&，/2，…，4互斥事件；内圈是样本空间反对应分

成,A2B,・“，4心互斥事件;

则P(B)=PG/)+P(/B)+P(&8)+…+P(41B)=邓=1P(4)P(B

(2)它表示求样本空间。内任意一事件8的概率的方法.

3贝叶斯公式

设41,力2，…，4是一组两两互斥的事件，&UAzU...UA”=Q,且PG4D>0(i=l,

2，…，n),则对任意的事件8GC,P(B)>0,有

口乙山、-。04/)—P(4)P(8Ia)一

尸⑷⑻一——(4)P(8时'-1'2'…'几

解释

贝叶斯公式告诉我们两个条件概率之间的关系.

本方法横块化学女造解力

【题型1】对条件概率概念和性质的理解

【典题1】设48为两个事件，已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(8IA)=0.3,则

P(AI8)=()

A.0.24B.0.375

解析设4,8为两个事件，由己知PG4)=0.5,P(8M)=0.3,

得P(4B)=P(B|4)♦P(A)=0.15,

所以PQ4|B)=磊=詈=0.375,

故选：B.

【典题2】事件4、B、C有P(A)=P(B)=P(C),且两两独立，若P(A)=]P(ABQ=0,

则P(C|4U5)为:

解析根据题意，可得P(A)=P(B)=P(C)=I，

由两两独立，可.知P(4B)=P(BC)=P(AC)=1x1=

所以P(4U8)=P(A)+P(B)-PHAS')=；+；—；="

224+

由PG48C)=0,

可得尸(C♦(4UB))=PQ4CUBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=：+1-0=点

【巩固练习】

1.(★)设集合且P(A)=0.2,P(B)=0.7,则下列说法正确的是()

A.P(B\A)=-B.P(AI5)=-C.P(BIA)=-D.P(AB)=—

73810

答案c

解析因为AG3,所以P(4B)=P(A)=0.2,

所以P(B|4)==1,P(AIB)=耀=1,P(4B)=0.7-0.2=0.5.

尸(4)P(B)7

因为P(4)=l-P(4)=0.8,

所以P(B|Z)=需/

故选:C.

2.(**)(多选)已知4,B,C为随机事件，则下列表述中不正确的是()

A.P(AB)=P(A)P(B)

B.P(BUCIA)=P(B|4)+P(C|A)

C.P(4I4)=1

D.P(A|B)>P(AB)

答案AB

解析对选项4当事件48为独立事件，则P(A8)=P(A)P(B),故力错误；

对选项B,当事件B,C为互斥事件时，P(BUCIA)=P(BIA)+P(CIA),

故B错误；

对选项C,2(4|4)=粽=1,故C正确；

对选项0,P(A|B)=4黑>P(AB),故。正确.

p\B)

故答案为：AB.

3.(***)已知事件48满足OVP(A)V1,OVP(B)V1,则不能说明事件48相互

独立的是()

A.P(4IB)=P(3IB)B.P(4|B)=P(A)

C.P(B|A)=P(3)D.P(B|A)=P(BIA)

答案A

解析对于4掷一枚质地均匀的股子，事件人为向上的点数不超过4,事件B为向上的

点数为4或5,即4={1,2,3,4),8={4,5),A={5,6},

满足PQ4|B)=P(NI8)=5但P(AB)=i,P(A)P(B)=gxgj

所以事件48不相互独立，故A错误；

对于8,因为P(A|8)=?^=P(A),所以P(AB)=P(A)P(B),

所以事件4B相互独立，故8正确；

对于C，因为P(B|4)=^=P(B),所以P(A8)=P(A)P(B),

所以事件A,B相互独立，故C正确；

对于D,因为以所以鬻=咎黑，

整理得P(4B)=P(A)[尸Q4B)+P(AB)]=P(A)P(B),

所以事件48相互独立，故。正确.

故选：A.

4.(★★★)(多选)设4,8为同一随机试验的两个随机事件，若P(8)=0.5,P(AIB)=

0.2,P(4|B)=0.4,则()

A.P{AB)=0.1B.P(A)=0.4C.P(8|A)=：D.P(BIA)=-

37

答案ACD

解析由题意，P(B)=0.5,P(4IB)0.2,P(AB)=0.1,4正确；

P(4|5)==0.4,P(疝)=0.2,P(A)=P(AB)+P(4月)=0.1+0.2=

0.3,

0错误；

P(4£?)_0.1_1正确;

P(B|A)=P(A)-0.3—3C

P(4UB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0.1=0.7,

P(而)_1-P(AU8)_1-0.7_3

P(BA)0正确.

IP(4)-1-P⑷-1-0.3-7

故选：ACD.

【题型2】求条件概率

【典题1】在某电路上有C、。两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件

的概率为0.2,需要更换0元件的概率为0.1,则在某次通电后C、D有且只有一个

需要更换的条件下，C需要更换的概率是()

A.-B.-C.-D.-

1050134

解析设事件C表示“需要更换C元件”，事件。表示“需要更换D元件”，

事件力表示“在某次通电后C、0有且只有一个需要更换”，

则P(C)=0.2,P(D)=0.1,P(A)=0.2x0.9+0.8x0.1=0.26,

PQ4C)=0.2x0.9=0.18,

・••在某次通电后C、0有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是:

PIC0.18__9_

P(cIA)=P⑷0.26—13

故选:c.

【典题2](多选)2023年旅游市场强劲复苏，7,8月的屠期是旅游高峰期.甲、乙、

丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一

个去旅游，每个城市至少有一人选择.事件M为“甲选择北京”，事件N为“乙选择上

海”，则下列结论正确的是()

A.事件M与N互斥B.P(N|M)=P(MIN)

C.P(而)=|^D.P(MIIN)=|

解析选项4,甲选择北京和乙选择上海可能同时发生，不互斥，错误;

2-

选项8,由题意，事件总数为鬣心=36种，事件M,N的个数均为“212

种，

则P(M)=P(N)=荽=gP(MN)=笔空=.，

P(NIM)==*,P(MIN)==A即P(NIM)=P(MIN),正确；

选项C,P(MN)=1-P(MN)=1-正确；

3636

选项D,P(MUN)=P(M)+P(N)-P(M/V)=4+：-2=9，错误.

333636

故选：BC.

【巩固练习】

IC)抛郑一枚质地均匀的骰子两次，记4=｛两次的点数均为偶数),B=｛两次的

点数之和为8),则P(B14)=()

A.—B.-C.-D.-

12933

答案C

解析由题意事件记4={两次的点数均为偶数},包含的基本事件数是(2,2),

(2,4),(2,6),(4,2i,(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)共9个基本事

件，

在人发生的条件下，B={两次的点数之和为8},

包含的基本事件数是{2,6},{4,4},{6,2}共3个基本事件，

.•.P(FM)=|=1

故选：C.

2.(巧某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽

取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地

取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是

()

答案C

解析设事件力="第一次取得次品“，事件B="第二次取得次品”,

则P(A)=9P(AB)=：x==V，

故P(8M)=需=■=*

故选：C.

3.(**)甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都

江堰、青城山这5个景点中随机选一个.事件4:甲和乙选择的景点不同，事件B:

甲和乙恰好有一人选择九寨沟.则条件概率P(BIA)=()

A-lB.1C.1*

答案A

解析由题知，P(4)=^=/P(A8)=爵=£,

所以P(B|A)=g^=^=a

故选：A.

4.(★★★)2023杭州亚运会于9月23日至10月8日举办，组委会将甲、乙、丙、

丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育

馆工作，母座体育馆至少派1名志愿者，A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心二B

表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则

()

A.事件4与8相互独立B.事件4与。为互斥事件

C.P(CI4)=；D.P(B|4)=；

3o

答案D

解析将4名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派1名志愿者，

共有爷“？=36种安排方案，

志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中

心，

各有底心+a=12种方案，

・•.P(4)=P(8)=P(C)=蔡=?

志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有属=2种方案，

21

•••P(AB)=京=2；

OO1O

志愿者甲派往黄龙体育中心目乙派往杭州奥体中心，有1+废废=5种方案,

••・P('C)=看

对于4••,PG48)二P(A)P(B),事件A与8不相互独立，故A错误；

对于8,•.•P(47)=5HO,事件4与C不是互斥事件，故B错误；

36

对于C,P(C|4)=鬻=窣=得，故C错误；

3

1

对于D,P(8|力)=翳=早=；,故。正确.

故选:D.

§.(★★★)(多选)一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均

相同.现从容器中不放回地抽取两个小球.记事件4:“至少有1个红球“，事件8:“至

少有1个白球“，事件。=力0氏贝")

A.事件48不互斥B.事件48相互独立

C.P(A|B)=尸(。|A)D.F(C|A)+P(C|B)>2P(C)

答案AD

解析根据题意，事件力：“至少有1个红球”，事件B:“至少有1个白球”,

事件C=408，则事件。为“一个红球和一个白球”，

P(A)=『途，P(B)=修建，。©=善建

c61AL61Ac61A

依次分析选项：

对于4事件C:“一个红球和一个白球“，事件A、8可能同时发生,

故事件4、8不是互斥事件，4正确：

对于B,P(A)=孩，P(B)=fP(A8)=P(C)=：,

由于P(A)P(B)HP(4B),事件4B不相互独立,B错误；

对于C,P(8|A)=^=*P(A|8)=鬻=/C错误；

对于。,I力)=源〉P(C)，同理：P(C\R)>P(C).

故有P(CIA)+P(CI8)>2P(C),0正确.

故选：AD.

【题型3】全概率公式的运用

【典题1】设4，8为两个事件，已知P(B)=0.4,P(A)=0.5,P(8|A)=0.3,则

P(8IA)-()

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

解析由P(A)=0.5,得P(Z)=0.5,

由P(B)=P(A)P(BIA)+P(J)P(8IA),即0.4=0.5x0.3+0.5P(8|A),

•••P(BIA)=0.5.

故选:C.

【典题2】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子

中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.

游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由

获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外

三个箱子中的•个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的•个空箱

子.

(1)计算主持人打开4号箱的概率；

(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2

号箱，还是改选1号或3号箱？(以获得奖品的概率最大为决策依据)

解析设41，42,43,分别表示1，2,3,4号箱子里有奖品，

设当，B.2,%,以分别表示主持人打开1，2,3,4号箱子,

则。=A1U42UA3U44，且42，力3，44两两互斥，

由题意可知，事件PQ41)=P(A2)=P(&)=P(4)=%

。(反14)=\P(B4M2)=aP(&IA3)=1。帆414)=0,

4J/

(1)由全概率公式，得主持人打开4号箱的概率

尸(&)=P(4)P(&14)=：G+1+m=a

(2)由题意得，

(114)_p(%)-p(/?4)一£

P(^|/?4)=£M=£(d^±^)=l,

I24，P(B4)P(84)4

p(4I&)=%©=3里但=3,

47

'3P(B4)P(F4)8

通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.

【巩固练习】

!.(★)已知4B为两个随机事件，0<P(A)<1,P(A)=0.3,P(AIB)=0.9,P(4I

后)=0.2,则P(B)=()

A.0.1B.-C.0.33D.-

77

答案B

解析由全概率公式得，P(A)=P(B)P(4|8)+P(豆)PQ4|力,

P(B)x0.9+[1-P(B)]x0.2=0.3,

・・・P(B)=

故选：B.

2.(*)某人周一至周五每天6:30至6:50出发去上班，其中在6:30至6:40出发

的概率为0.4,在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6:40至6:50出发的概

率为0.6,在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6:30至6:50出

发上班迟到的概率为()

A.().3B.0.17C.().16D.().13

答案C

解析由题意可知：小工某天在6:30至6:50出发上班迟到的概率为：

P=0.4x0.1+0.6x0.2=0.16,

故选：C.

3.(**)已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为3:1,货车和客车中途停车修理的

概率分别为0.03和0.01,则一辆汽车中途停车修理的概率为()

答案C

解析事件A表示一辆汽空中途停车修理，事件8表示该汽车是货车，事件C表示该汽车

是客车，

则P(8)=q,P(AIB)=0.03,P(C)=；，P(AIC)=0.01,

则P(A)=P(AB+AC)=PG48)+P(AC)

=P(B)P(AIB)+P(C)P(A|C)=x0.03+(x0.01=点.

故选:C.

4.(★★★)某卡车为乡村小学运送书籍，共装运10箱，其中5箱英语书、2箱数学

书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失了哪一箱.现从剩下的9箱

中任意打开2箱，结果都是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率为()

答案B

解析用4表示丢失一箱后现从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书,

用片表示丢失的一箱为i,i=l,2,3分别表示英语书，数学书，语文书，

由全概率公式得从剩下的9箱中任意打开2箱，结果都是英语书的概率为:

P=2"PB)P(Al^)=-x^+-x^+-x^|=-,

\\1/2Cl5Cl10Cl9

.•.丢失的一箱也是英语书的概率为：

。(/4)=吗普二军4

故选：B.

5.(***)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球

和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同).先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分

别以&,A2和小表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随

机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是()

⑴事件必与必相互独立；Q)4,4，①是两两互斥的事件：

(3)P(BIA2)=~(4)P(B)=~(5)PQ4i|8)=g

A.5B.4C.3D.2

答案C

解析显然，A2,人是两两互斥的事件，

且P("i)=2P^2)==p

而P(A1A2)=OHP(A1)•「(4)，⑴错误，(2)正确;

P(i4)=---=-»P(/45)=-x—=—,

,235+2+35'N2/51155

所以P(8|%)=2，(3)正确；

P⑻=P(BI&)•PC。)+P(B|A2)-P(A2)+P(B|4).P(43)

=-X-4--X-4--X—=—,(4)正确；

211115101122v7

P(418)=嚅2=势=]⑸错误，综上：结论正确个数为3.

P⑻五9

故选：C.

6.(★★巧甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的

球。甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白

球，3个黑球.

(1)随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出I个球，求摸出的球是黑球的概率；

(2)已知(1)中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.

答案⑴|；⑵*

解析(1)记取到甲盒子为事件取到乙盒子为事件为必，取到丙盒子为事件&，取

到黑球为事件B,

由全概率公式得摸出黑球的概率为：

P(B)=P(4)P(B㈤+PQ42)P(BI4)+P(&)P(BI公)

=！x2+1x三+工x2=2

31236363

(2)摸出的球是黑球，则由条件概率得此球属于乙箱子的概率为：

P\(A2IB)=p(B)=V1-=—12>

].(★★★★)某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务，通过问

卷调查的方式，统计当地网约车用户(后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家

公司的网约车出行)对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评

价，得到如下统计结果：

①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68；

②选择甲公司的用户对等待时间满意的频率为0.62,选择乙公司的用户对等待时间满

意的频率为0.78；

③选择甲公司的用户对乘车舒适度满意的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适

度满意的频率为。61；

④选择甲公司的用户对乘车费用满意的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满

意的频率为().32.

将上述随机事件发生的频率视为其发生的概率.

(1)分别求出网约乍用户对等待时间满意、乘车舒适度满意、乘不费用满意的概率，并

比较用户对哪个因素满意的概率最大，对哪个因素满意的概率最小.

(2)若已知某位用户对乘车舒适度满意，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？

并说明理由。

答案(1)用户对等待时间满意的概率最大，对乘车费用满意的概率最小；

(2)该用户选择乙公司出行的概率更大.

解析(1)解：设事件M：用户选择甲公司的网约车出行，事件力：用户对等待时间满

意，事件8：用户对乘车舒适度满意，事件C：用户对乘车费用满意.

则PQ4)=P(M)P(AIM)+P(M)P(AIM)=0.32x