人教版九年级数学下册 相似三角形的判定（第三课时）教案

27.2.1.3相似三角形的判定第三课时

教案

【教学目标】

1.掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和“如果一个直角三角形的斜边和一条直角

边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.”判

定定理的证明过程，能运用这两个判定定理证明两个三免形相似，

2.通过对相似三角形两个判定定理的学习，能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.

【重难点】

重点：运用两角判定法和直角三角形相似的特殊情况判定三角形相似.

难点：会用」知条件证明三角形相似并解决一些简单的问题.

【教学过程】

（一）复习巩固

1.相似三角形的概念

符号表示

如图,在△庆13（2和4ABC'中,

AB：A'B'==.那么4ABCsAA'B'C'.

注意：在书写两个三角形相似时，一定要把对应顶点写在对应位置.

2.如何判断两个三角形是否相似？

师生活动:教师提出问题，学生通过之前所学知识回答问题.

【设计意图】通过回颐之前所学内容，为接下来探究相似三角形的判定打好基础.

（二）探究新知

【小组讨论】分别画aABC,AAZB'C',使得/A和NA'都等于给定的/a,Z

B和NB'都等于给定的NB.比较画的两个二角形，NC和NC'相等吗？对应边的比AB：

A'B'、BC：B'C'、AC：A'C'相等吗？这样的两个三角形相似吗？

师生活动:学生按要求画出图形，通过测量计算，小组交流讨论后回答问题.

【设计意图】在教师的指导卜，学生通过自己动手，探索新知，体验探索过程，机累活

动经验

【问题一】改变Na,的大小，再试试.以上结论还成立吗？

师生活动：教师通过多媒体展示改变Na,NB后的对应三角形变化过程，学生认真观

察，归I答问题.此环节鼓脱学生积极回答问题，师生共同探索相似三角形判定方法.

【证明一】如图，在A'B'C'中，如果NA=NA',ZB=NB',求

证：4ABCs*NB'C'.

师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过

程的学生，教师适当给出提示:通过上节课的学习可知，平行于三角形一边的直线和其他两

边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相以，那么我们是否可以在大的三角形

（△ABC）内部构造一个小的三角形gADE）,使ZUQEs/A8C,

再通过已知条件证明A4OEg/A'B'C',从而AABCB'C'.

具体证明过程如下：

证明：在AABC的边AB（或延长线）上截取AD=A'B',过点D作BC的平行线，

交AC于点E,则NADE二NB,ZAED=ZC,AD/AB=AE/AC.

过点D作DF〃AC,交BC丁点F,则40/43=CF/CB,

:.AE/AC=CF/CB,

•・,DE〃BC,DF//AC,:.四边形DFCE是平行四边形.

ADE=CF,:.AE/AC=DE/CB,^AD/AB=AE/AC=DE/CB,

・•・AADES/\ABC,

•；ZA=ZAr,ZADE=ZBZ,AD=A'B',

AADEg△A'B'C':.AABCSZ\A'B'C'.

思路梳理:在△ABC上通过平行线构造相似三角形，同时使新构造的4ADEg△A'

B'C',△ADE发挥了中介的作用.

利用两组角判定两个三角形相似的定理：

两角分别相等的两个三角形相似.

儿何语言：

在A'B'C'中，

■:NA=NA',ZB=NB',

・•・AABC^AA'B'C'.

【设计意图】通过完成证明过程，掌握利用两角相等判定三角形相似的方法.

核心总结：利用两角分别相等判定两个三角形相似，关键在于找准对应角，一般的，如

公共角、对顶角、同角(或等角)的余角或补角、同弧所对的圆周角等都是对应角.解题要注

意挖掘题中的隐含条件.

典例解析

例如图，已知4B〃8,AD、8c相交于点E,点尸为EC上一点，

KZEAF=zC.求证：AF2=FE*FB.

证明：vAB//CD,••zB=4C

XVZEAF=zC,

:•乙EAF=^B.

又•・•

•■•SAFEs

：.EF：AF=AF：BF,

:.AF2=FE・FB.

方法提炼

等积与相似证明题总结

(1)利用相似三角形证明等积式或比例式时，把等积式或比例式中的四条线段分别看成

两个二角形的对应边，然后证明这两个二角形相似，从而得到所要证明的结果.

(2)当两个三角形已经具备一个角对应相等的条件时，往往先找是否有另一个角相等，找

角相等时应当注意挖据隐含的角，如公共角、对顶角、同角的余角(或补角).

巩固练习

1.如图，将矩形纸片人8€7)(人。＞。。沿着过点。的直线折叠，使点人落在边上，

落点为F,折痕交边于点£

\EFB-\DECt

(2)若4。=10,CD=6,求五户的长.

2.如图，在/ABC中，N48C=80。，乙4二40。，4B的垂直平分线分别与AC,AB交于点

D,E,连接80.求证：AABC-ABDC.

新知探究

【问题二】探究：判定两个直角三角形相似.

例2如图，RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一点，AE=5,EDI

AB,垂足为D.求AD的长.

C

E

AFB

解：•・•ED1AB,ZEDA=90°,

又NC=90°,ZA=ZA.

；・△AEDsAABC.

：.AD/AC=AE/AB,AAD=(AC•=(8X5)/10=4.

师小结：由三角形相似的条件可知，判定直角三角形相似：

•一个锐角相等.那么这两个百角三角形相似.

•两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似.

思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直

角边成比例的两个直角三角形相似吗？

师生活动:师生共同探索两个直角三角形相似特殊判定方法.

如图，在RtAABC和Rt^A'B'C'中，ZC=90°,ZC=90°,ABIA'B'

f

-AC/A'C,求证RtAABCsRtAAB'C'.

Af

师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针对不能写出证明过

程的学生，教师适当给出提示:利用勾股定理，用代数式表示直角三角形斜边长，利用三边

成比例判定两个三角形相似.具体证明过程如下：

分析:要证RSBCsR”，8，L,可设法证券=焉=先，若设篇=篇

=k,则只需黑=人.

DC，

证明：设婚=益=k,贝I」AB=A4'B',AC=A.A'C'.

AfBfArCf

由勾股定理，得BC=y/AB2-AC2,BV=ylA'B'2-A'C2.

._BC__心82-"2_y/k2A，B，2-k2A，C，2_k®C，_,

・■S70-Fc/_Fc>B'Ct，

._BC__AB__AC_

,'B'Cf-48，-ArCi

ARtAABCsRtzAA'B'C'.

直角三角形相似判定定理：

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相似.

几何语言：

在RtAABC和Rt。中，

若/8=*=90°且黑=煞，

48，A'C>

则RtAABC-Rt△AEC.

【设计意图】：通过完成证明过程，掌握直角三角形特殊判定方法.

巩固练习

1.在RlAABC和RtADEF中，ZC=乙尸=90。，依据下列各组条件判定这两个三角形是

否相似，并说明理由.

A

CB

⑴乙4=55°,"=35°；

(2)AC=9,BC=12,DF=6,EF=8；

(3)AB=10,AC=8,DE=15,EF=9.

【设计怠图】：考查学生对于利用斜边直角边成比例判定直角二角形相似方法的掌握.

2.如图，在正方形A8C。中，M为8C上点，户是AM的中点，EFJ.AM,垂足为点F,

交A。的延长线于点E,交。C于点N.

（1）求证：AABM-AEFA,

⑵若48=12,BM=5,求OE的长.

课堂练习（教材P36练习）

1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结

2.如图，RtAABC中，4c=90。，CD是斜边AB上的高，求证：

(1)AACD〜AABCi(2)ACBD〜AABC.

c

3.如果RlAABC的两条直角边分别为3和4,那么以3k和4k（k是正整数）为直角边的

直角三角形一定与RtAABC相似吗？为什么？

（三）课堂检测

1.已知一个三角形的两个内角分别是40。，60。，另一个三角形的两个内角分别是40。，

8（尸，则这两个二角形（）

A.一定不相似B.不一定相似

C.一定相似D.不能确定

2.下列说法中正确的是（）

A,两个直角三角形相似B.两个等腰三角形相似

C.两个等边三角形相似D.两个锐角三角形相似

3.如图，在ZUBC中，点。，石分别在边48,AC上.若DEUBC,AO=3,AB=5,

求短氏BC的值.

4.如图，在ZUBC中，AB=AC,BD=CD,CE工AB于E.

求证：△ABD〜ZiCBE.

5.如图，0A_LAB于A,EBLABB,。是川上的动点，若/OCE=90。.

求证：AACD-ABEC.

E

阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题.

角平分线分线段成比例定理：如图①，^.AABCADMAB:AC=BD:CD.

下面是这个定理的部分证明过程.

证明：如图②，过点C作CE〃