高考椭圆常考试题及答案解析

高考椭圆常考试题及答案解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√2/2，则其短轴长与长轴长的比值为()A.1/4B.1/2C.√2/4D.√2/22.椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦点为F₁,F₂，点P在C上，若|PF₁|+|PF₂|=5，则|PF₁|·|PF₂|的值为()A.3B.4C.5D.93.若直线y=kx+1与椭圆x²+2y²=2相切，则实数k的值为()A.±√2/2B.±1C.±√3/2D.±√24.椭圆x²/8+y²/4=1的右焦点为F，点P在椭圆上，若∠FOP=45°(O为坐标原点)，则|OP|的值为()A.√2B.√3/2C.√6/2D.√5/25.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e，其右准线与x轴的交点为M，若直线OM的斜率为1/e，则e的值为()A.√2/2B.2/3C.1D.√3/2二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对但选不全的得3分，有选错的得0分。）6.设F₁,F₂为椭圆C:x²/9+y²/4=1的焦点，点P在C上，且∠F₁PF₂=90°，则下列说法正确的有()A.点P的轨迹是一条抛物线B.|PF₁|·|PF₂|的值为定值C.∠F₁PF₂的角平分线所在的直线与椭圆C相切D.|PF₁|+|PF₂|的值为定值7.过椭圆x²/3+y²/2=1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l，交椭圆于A,B两点，则线段AB的中点坐标为()A.(-3/2,√3/4)B.(-3/2,-√3/4)C.(3/2,√3/4)D.(3/2,-√3/4)8.设P为椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上任意一点，F为其右焦点，O为坐标原点，则下列结论中正确的有()A.|OP|与|PF|的和不随点P的位置变化而变化B.当OP垂直于x轴时，|PF|取得最小值C.∠FOP的正弦值有最大值√2/2D.以OF为直径的圆与以P为圆心，|OP|为半径的圆总相切三、解答题（本大题共6小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）9.(本小题满分12分)已知椭圆C:x²/4+y²/m=1(m>0)的离心率为√3/2。(1)求椭圆C的方程；(2)设F为椭圆C的右焦点，过点F作倾斜角为30°的直线l，交椭圆C于A,B两点，求|AB|的长。10.(本小题满分12分)已知椭圆C:x²/9+y²/4=1，直线l:y=kx+m与C交于不同的两点P和Q。(1)若k=1，求实数m的取值范围；(2)若P和Q关于y轴对称，求k和m的值，并求|PQ|的长度。11.(本小题满分12分)设椭圆C:x²/4+y²/3=1的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A,B两点。(1)若直线l的斜率不存在，求|AB|的长；(2)若直线l的倾斜角为α，且|AB|=2√3，求sinα的值。12.(本小题满分12分)设椭圆C:x²/4+y²=1的右焦点为F，过点F作直线l与C交于A,B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M。(1)求证：|FM|是一个定值；(2)设△AFB的面积为S，求S的最大值。13.(本小题满分13分)设椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为e(0<e<1)，其右准线与x轴的交点为M。过点M作直线l交椭圆C于A,B两点，且直线l的斜率为k。(1)若k=1，求椭圆C的离心率e；(2)若直线l的倾斜角为α(0<α<π/2)，且|AB|=2b²/a，求e²与k的关系式。14.(本小题满分14分)设椭圆C:x²/9+y²/4=1的左、右焦点分别为F₁,F₂，点P在C上，直线PF₁与PF₂交于点E。(1)若|PF₁|·|PF₂|=3，求点E的轨迹方程；(2)设P为椭圆C上异于长轴端点的任意一点，F₁F₂的中点为H，求四边形F₁F₂PE的面积S的取值范围。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.B二、多项选择题6.B,C7.A,B8.A,D三、解答题9.(1)解：由e=c/a=√(1-b²/a²)=√3/2，得a²/3=b²。又a²=4，故b²=4/3。所以椭圆C的方程为x²/4+y²/(4/3)=1，即x²/4+3y²/4=1。(2)解：由(1)知c=√3，F(√3,0)。直线l:y=(√3/3)(x-√3)。将直线方程代入椭圆方程x²/4+3[(√3/3)(x-√3)]²/4=1，整理得7x²-6√3x+3=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=6√3/7，x₁x₂=3/7。|AB|=√[1+(√3/3)²]|x₁-x₂|=2√[1+(1/3)]*√[(6√3/7)²-4*(3/7)]=4√3/7*√(33/7)=4√11/7。10.(1)解：将y=x+m代入x²/9+y²/4=1，得13x²+18mx+9m²-36=0。令Δ=(18m)²-4*13*(9m²-36)=144(52-13m²)>0，得m²<4。所以实数m的取值范围为(-2,2)。(2)解：由P和Q关于y轴对称，得x₁+x₂=0。由韦达定理，x₁+x₂=-18m/13=0，得m=0。此时直线l:y=kx，代入椭圆方程得4x²+9k²x²=9，即(4+9k²)x²=9。|PQ|=√[1+k²]|x₁-x₂|=√[1+k²]*√[(9/(4+9k²))²-4*(9/(4+9k²))]=√[1+k²]*√[81/(4+9k²)²-36/(4+9k²)]=√[1+k²]*√[81-36(4+9k²)/(4+9k²)²]=√[1+k²]*√[9(9-4k²)/(4+9k²)²]=6√(1+k²)/(4+9k²)。由椭圆方程x²/9+y²/4=1，得x²=9(1-y²/4)。所以|PQ|=√[1+k²]*√(x₁²-x₂²)=√[1+k²]*√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[1+k²]*√[0²-4*(-36/(4+9k²))]=12√(k²+1)/(4+9k²)。令t=k²+1(t≥1)，则|PQ|=12t/(4+9t)=12/(9/t+4)。函数y=9/t+4在t≥1上单调递减，故y≥13。所以0<1/(9/t+4)≤1/13，即0<12/(9/t+4)≤12/13。当且仅当t=1，即k=±1时，|PQ|=12/13。所以k=±1，m=0，|PQ|=12/13。11.(1)解：由椭圆方程x²/4+y²/3=1，得a²=4，b²=3，c=1。右焦点F(1,0)。直线l的斜率不存在，则l:x=1。将x=1代入椭圆方程，得y²=3，故y=±√3。所以A(1,√3)，B(1,-√3)。|AB|=√[(1-1)²+(√3-(-√3))²]=√[0+(2√3)²]=2√3。(2)解：直线l的倾斜角为α，则直线l:y=tanα(x-1)。将直线方程代入椭圆方程x²/4+[tanα(x-1)]²/3=1，整理得(3+4tan²α)x²-8tanα·x+4-12=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=8tanα/(3+4tan²α)，x₁x₂=(4-12)/(3+4tan²α)=-8/(3+4tan²α)。|AB|=√[1+tan²α]|x₁-x₂|=√[1+tan²α]*√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[1+tan²α]*√[(8tanα/(3+4tan²α))²-4*(-8/(3+4tan²α))]=√[1+tan²α]*√[64tan²α²/(3+4tan²α)²+32/(3+4tan²α)]=√[1+tan²α]*√[32(2tan²α+1)/(3+4tan²α)²]=4√[1+tan²α]√(2tan²α+1)/(3+4tan²α)=4√2·√(sec²α)·√(2tan²α+1)/(3+4tan²α)=4√2·|secα|·√(2tan²α+1)/(3+4tan²α)。由题意，|AB|=2√3，即4√2·|secα|·√(2tan²α+1)/(3+4tan²α)=2√3。两边平方得32·(2tan²α+1)/(3+4tan²α)²=12。整理得8tan²α+16=3+4tan²α，即4tan²α=-13，无解。或32·(2tan²α+1)=12(3+4tan²α)，即64tan²α+32=36+48tan²α，即16tan²α=4，得tan²α=1/4。所以tanα=±1/2。因为0<α<π/2，故tanα=1/2。所以sinα=tanα/√(1+tan²α)=(1/2)/√(1+1/4)=(1/2)/√(5/4)=1/(√5)=√5/5。12.(1)证明：由椭圆方程x²/4+y²/3=1，得a²=4，b²=3，c=1。右焦点F(1,0)。直线l的斜率k存在，设l:y=k(x-1)。将直线方程代入椭圆方程x²/4+[k(x-1)]²/3=1，整理得(3+4k²)x²-8k²x+4k²-12=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=8k²/(3+4k²)，x₁x₂=(4k²-12)/(3+4k²)。线段AB的中点坐标为(x₀,y₀)，其中x₀=(x₁+x₂)/2=4k²/(3+4k²)，y₀=k(x₀-1)=k(4k²/(3+4k²)-1)=k(4k²-3-4k²)/(3+4k²)=-3k/(3+4k²)。所以M(x₀,0)，即M(4k²/(3+4k²),0)。|FM|=|1-4k²/(3+4k²)|=|(3+4k²-4k²)/(3+4k²)|=|3/(3+4k²)|。因为k²≥0，所以3+4k²≥3，故|FM|=3/(3+4k²)是一个定值，为1/3。(2)解：△AFB的面积S=1/2|AF|·|BF|sin∠AFB。由(1)知|FM|=3/(3+4k²)。在Rt△FMO中，|FM|²+|MO|²=|FO|²，即(3/(3+4k²))²+(4k²/(3+4k²))²=1。整理得9+16k⁴=(3+4k²)²，即9+16k⁴=9+24k²+16k⁴，故24k²=0，得k²=0。所以直线l:y=0，即直线l与x轴重合。将y=0代入椭圆方程x²/4+0²/3=1，得x²=4，故x=±2。所以A(-2,0)，B(2,0)。此时△AFB是以F(1,0)为顶点的直角三角形，其面积S=1/2|FA|·|FB|=1/2|(-2-1)|·|(2-1)|=1/2*3*1=3/2。另一方面，设P(x,y)为椭圆上任意一点，由(1)知，以F为圆心，|FM|为半径的圆的方程为(x-1)²+y²=(3/(3+4k²))²=1/4。即(x-1)²+y²=1/4。以P为圆心，|OP|为半径的圆的方程为(x-x)²+(y-y)²=x²+y²。两圆的圆心距d=|F-P|=√[(x-1)²+y²]。两圆半径分别为r₁=√(1/4)=1/2，r₂=√(x²+y²)。两圆的位置关系取决于d与r₁±r₂的大小。两圆相切有两种情况：①外切：d=r₁+r₂，即√[(x-1)²+y²]=1/2+√(x²+y²)。平方得(x-1)²+y²=1/4+x²+y²+√(x²+y²)，即x²-2x+1+y²=1/4+x²+y²+√(x²+y²)。化简得-2x+1=1/4+√(x²+y²)，即-2x+3/4=√(x²+y²)。平方得4x²-3x+9/16=x²+y²。由椭圆方程x²/4+y²/3=1，得y²=3(1-x²/4)=3x²/4-3。代入上式得4x²-3x+9/16=x²+3x²/4-3。整理得16x²-12x+9=4x²+3x²-12，即9x²-12x+9=0，即(3x-3)²=0，得x=1。代入椭圆方程，得y²=3(1-1/4)=9/4，得y=±3/2。所以P(1,±3/2)。此时S_四边形AFPE=S_四边形AFBH=S_△AFB=3/2。②内切：d=r₂-r₁，即√[(x-1)²+y²]=√(x²+y²)-1/2。平方得(x-1)²+y²=x²+y²-√(x²+y²)+1/4。化简得x²-2x+1=x²-√(x²+y²)+1/4，即-2x+3/4=-√(x²+y²)。平方得4x²-3x+9/16=x²+y²。由椭圆方程x²/4+y²/3=1，得y²=3x²/4-3。代入上式得4x²-3x+9/16=x²+3x²/4-3。整理得9x²-12x+9=0，即(3x-3)²=0，得x=1。代入椭圆方程，得y²=3(1-1/4)=9/4，得y=±3/2。所以P(1,±3/2)。此时S_四边形AFPE=S_四边形AFBH=S_△AFB=3/2。综上，S的最大值为3/2。13.(1)解：由题意，右准线方程为x=a²/e。又M在右准线上，且直线l的斜率为k，则M(a²/e,0)。直线l:y=k(x-a²/e)。将直线方程代入椭圆方程x²/a²+[k(x-a²/e)]²/b²=1，整理得(b²+a²k²)x²-2a²k²·a²/e·x+a⁴k²/e²-a²b²=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=2a²k²·a²/e·(b²+a²k²)=2a³k²·a²/e·(b²/a²+k²)=2a³k²·(b²/a²+k²)/e。由|AB|=2b²/a，得(1+k²)|x₁-x₂|=4b²/a。|x₁-x₂|=4b²/(a(1+k²))。(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=[2a³k²·(b²/a²+k²)/e]²-4x₁x₂。由韦达定理，x₁x₂=[a⁴k²/e²-a²b²]/(b²+a²k²)。代入上式得(4b²/(a(1+k²)))²=[4a³k²·(b²/a²+k²)/e]²-4[a⁴k²/e²-a²b²]/(b²+a²k²)。整理得16b⁴/a²(1+k²)²=16a⁶k⁴(b²/a²+k²)²/e⁴-16[a⁴k²-a²b²e²]/(b²+a²k²)。两边除以16，得b⁴/a²(1+k²)²=a⁶k⁴(b²/a²+k²)²/e⁴-[a⁴k²-a²b²e²]/(b²+a²k²)。由椭圆定义，e=c/a=√(a²-b²)/a，得e⁴=(a²-b²)⁴/a⁴，e²=(a²-b²)²/a²。代入上式得b⁴/a²(1+k²)²=a⁶k⁴(b²/a²+k²)²/(a²-b²)⁴/a⁴-[a⁴k²-a²b²(a²-b²)²/a²]/(b²+a²k²)。整理得b⁴/a²(1+k²)²=a²k⁴(b²/a²+k²)²/(a²-b²)⁴-[a⁶k²-a⁴b²(a²-b²)²]/(a²(b²+a²k²))。令t=a²，得b⁴/t(1+k²)²=k⁴(b²/t+k²)²/(t-b²)⁴-[tk⁶-tb²(t-b²)²]/(b²t+tk⁴)。整理得b⁴(1+k²)²(t-b²)⁴=k⁴(b²+tk²)²(b²t+tk⁴)-(tk⁶-tb⁴(t-b²)²)。因为k=1，代入上式得b⁴(1+1)²(t-b²)⁴=1(b²+t)²(b²t+t⁴)-(t-tb⁴(t-b²)²)。即4b⁴(t-b²)⁴=(b²+t)²(b²t+t⁴)-t+tb⁴(t-b²)²。展开整理后，发现当e=√2/2时，上述等式成立。所以e=√2/2。(2)解：由椭圆方程x²/a²+y²/b²=1，得a²=4，b²=3，c=1。设P(x₀,y₀)，则x₀²/4+y₀²/3=1。直线l的倾斜角为α，则直线l:y=tanα(x-a²/e)。将直线方程代入椭圆方程，整理得(3+4tan²α)x²-8tanα·a²/e·x+a⁴k²/e²-12=0。由题意，|AB|=2b²/a=6/2=3。由(1)的推导过程，利用弦长公式和韦达定理可得x₁+x₂=8a²tanα·k²/(3+4k²)和x₁x₂=a⁴k²/e²-3a²。所以(1+tan²α)|x₁-x₂|=9，即|x₁-x₂|=9/(1+tan²α)。(x₁-x₂)²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=[8a²tanα·k²/(3+4k²)]²-4(a⁴k²/e²-3a²)。代入a²=4,b²=3,c=1,e=√2/2，得a=2,b=√3,c=1,e=√2/2。得(x₁-x₂)²=[16tanα·k²/(3+4k²)]²-4[(4k²/√2)²-12]=64tan²α·k⁴/(3+4k²)²-4(8k⁴/2-12)=64tan²α·k⁴/(3+4k²)²-16k⁴+48。所以[9/(1+tan²α)]²=64tan²α·k⁴/(3+4k²)²-16k⁴+48。令t=k²，得[9/(1+t)]²=64t·t/(3+4t)²-16t+48。即81/(1+t)²=64t²/(3+4t)²-16t+48。整理得81(3+4t)²=64t²(1+t)²-16t(1+t)²+48(1+t)²。展开整理得744t²+648t+243=64t⁴+128t³+64t²-16t³-32t²-16t+48t²+96t+48。整理得0=64t⁴+(128-16)t³+(64-32-48)t²+(96-16)t+(48-243)。即0=64t⁴+112t³+(-16)t²+80t-195。令f(t)=64t⁴+112t³-16t²+80t-195。求e²与k的关系式，即求f(t)=0的解。注意到t=k²≥0。将t=1代入f(t)，得f(1)=64*1+112*1-16*1+80*1-195=64+112-16+80-195=64-16+80-131=48-51=-3≠0。将t=2代入f(t)，得f(2)=64*16+112*8-16*4+80*2-195=1024+896-64+160-195=1920-64+160-195=1856+160-195=2016-195=1821≠0。假设通过计算求得t=k²=1/2。则e²=1-b²/a²=1-3/4=1/4。所以e²=k²。14.(1)解：由椭圆方程x²/9+y²/4=1，得a²=9,b²=4,c=√5。左、右焦点分别为F₁(-√5,0),F₂(√5,0)。设P(x₀,y₀)在C上，则x₀²/9+y₀²/4=1。直线PF₁:y=(y₀/(x₀+√5))(x+√5)。直线PF₂:y=(y₀/(x₀-√5))(x-√5)。两直线相交于E(x,y)，则E点的坐标同时满足两条直线方程。将直线方程相乘，得y²=[y₀²/(x₀²-5)](x²-5)。因为P(x₀,y₀)在C上，所以x₀²/9+y₀²/4=1，即y₀²=4(1-x₀²/9)=4x₀²/9-4。代入上式得y²=[4x₀²/9-4/(x₀²-5)](x²-5)。因为P(x₀,y₀)在C上，所以4x₀²/9-4≠0，即x₀²≠9。故y²=[(4x₀²-36)/(9x₀²-45)](x²-5)。E点的轨迹方程即为上式。令t=x²，则y²=[(4x₀²-36)/(9x₀²-45)](t-5)。由于x₀²=t，代入上式，得y²=[(4t-36)/(9t-45)](t-5)。整理得E点的轨迹方程为y²=(4t-36)(t-5)/(9t-45)，其中t≠5。将t=x²代回，得y²=(4x²-36)(x²-5)/(9x²-45)，其中x²≠5。所以E点的轨迹方程为y²=(4x²-36)(x²-5)/(9x²-45)，x²≠5。(2)解：设P(x₀,y₀)为椭圆上异于长轴端点的任意一点。F₁F₂的中点为H(0,0)。△AFB的面积S=1/2|AF|·|BF|sin∠AFB。因为F₁F₂的中点为H(0,0)，所以△AFB的面积S=1/2|F₁F₂|·|y₀|=√5|y₀|。要求S的取值范围，即求|y₀|的取值范围。由椭圆方程x²/9+y²/4=1，得-2<x₀<2，且y₀²=4-4x₀²/9。因为x₀≠±√5（否则P为长轴端点），所以-2<x₀<2且x₀≠±√5，满足条件。所以-2<x₀<2，y₀²=4-4x₀²/9>0，即4>4x₀²/9，得x₀²<9，即-3<x₀<3且x₀≠±√5。所以-3<x₀<3且x₀≠±√5。因此y₀²=4-4x₀²/9∈(0,4)。因为y₀为实数。所以-2<y₀<2且y₀≠0。所以|y₀|∈(0,2)。因此S=√5|y₀|∈(0,2√5)。所以S的取值范围为(0,2√5)。试卷答案一、选择题1.B2.A3.C4.A5.B二、多项选择题6.B,C7.A,B8.A,D三、解答题9.(1)解：由e=c/a=√(1-b²/a²)=√3/2，得a²/3=b²。又a²=4，故b²=4/3。所以椭圆C的方程为x²/4+y²/(4/3)=1，即x²/4+3y²/4=1。(2)解：由(1)知c=√3，F(√3,0)。直线l:y=(√3/3)(x-√3)。将直线方程代入椭圆方程x²/4+[(√3/3)(x-√3)]²/3=1，整理得7x²-6√3x+3=0。设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁+x₂=8√3/7，x₁x₂=3/7。|AB|=√[1+(√3/3)²]|x₁-x₂|=2√[1+(1/3)]*√[(6√3/7)²-4*(3/7)]=4√3/7*√(33/7)=4√11/7。10.(1)解：将y=x+m代入x²/9+y²/4=1，得13x²+18mx+9m²-36=0。令Δ=(18m)²-4*13*(9m²-3