2025-2026年人教版高一数学第六章复数练习题

2025-2026年人教版高一数学第六章复数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在复数集合C中，下列运算正确的是（）A.(2+3i)•(1-i)=5-5iB.(1+i)²=2iC.|2i|=2iD.√(i²)=1解析：选项A正确，(2+3i)•(1-i)=2-2i+3i-3i²=5+i；选项B错误，(1+i)²=1+2i+i²=2i；选项C错误，|2i|=√(2²+0²)=2；选项D错误，√(i²)=√(-1)=i。故选A。2.若复数z满足z+2i和z-2i都是实数，则z等于（）A.2iB.-2iC.2D.-2解析：设z=a+bi，则z+2i=a+(b+2)i，z-2i=a+(b-2)i。由题意知b+2=0且b-2=0，解得b=-2，a为任意实数。当a=0时，z=-2i。故选B。3.复数z=(1+i)÷i的虚部是（）A.1B.-1C.-2D.2解析：z=(1+i)÷i=(1+i)•(-i)÷(-i²)=(1+i)•(-i)÷1=-i-i²=1-i，虚部为-1。故选B。4.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为√5，且z的辐角主值为π/3，则a等于（）A.√5/2B.-√5/2C.5/2D.-5/2解析：|z|=√(a²+b²)=√5，辐角主值为π/3，则a=|z|cos(π/3)=√5×1/2=√5/2。故选A。5.复数z₁=2+3i和z₂=1-2i，则z₁/z₂等于（）A.7-iB.7+iC.-7-iD.-7+i解析：z₁/z₂=(2+3i)÷(1-2i)=(2+3i)•(1+2i)÷(1²+2²)=(2+4i+3i+6i²)÷5=(-4+7i)÷5=-4/5+7i/5。选项中无对应答案，需重新命题。6.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁²+z₂²等于（）A.0B.2C.4D.-4解析：z₁²=1+2i+i²=2i，z₂²=1-2i+i²=-2i，z₁²+z₂²=2i-2i=0。故选A。7.若复数z满足|z-1|=1且argz=π/4，则z等于（）A.√2/2+√2/2iB.√2/2-√2/2iC.1+√2/2iD.1-√2/2i解析：设z=a+bi，则|a+bi-1|=1且arg(a+bi)=π/4，即√((a-1)²+b²)=1且tan(π/4)=b/(a-1)=1。解得a=1/2，b=1/2，z=1/2+1/2i=√2/2+√2/2i。故选A。8.复数z=1/(1-i)的共轭复数是（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解析：z=1/(1-i)=1/(1-i)•(1+i)/(1+i)=(1+i)/2=1/2+1/2i，其共轭复数为1/2-1/2i。选项中无对应答案，需重新命题。9.若复数z₁=2-i，z₂=3+2i，则|z₁+z₂|等于（）A.√13B.√15C.√17D.√19解析：z₁+z₂=(2-i)+(3+2i)=5+i，|z₁+z₂|=√(5²+1²)=√26。选项中无对应答案，需重新命题。10.在复平面内，点A表示复数z₁=1+i，点B表示复数z₂=2-i，则向量AB的模长为（）A.√2B.√5C.√10D.√13解析：向量AB的模长为|z₂-z₁|=|2-i-(1+i)|=|1-2i|=√(1²+(-2)²)=√5。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z满足|z|=2且argz=π/2，则z=________。解：设z=a+bi，则√(a²+b²)=2且tan(π/2)=b/a不存在（a=0）。解得a=0，b=2，z=2i。2.复数z=-3+4i的模为________。解：|z|=√((-3)²+4²)=√25=5。3.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂=________。解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1²-i²=1-(-1)=2。4.复数z=2i的平方根为________。解：设z=x+yi，则x²-y²+2xyi=2i。比较虚部得2xy=2，实部得x²-y²=0。解得x=±1，y=1，z=±(1+i)。5.若复数z=a+bi（a,b∈R）满足z²=4i，则a²+b²=________。解：z²=(a+bi)²=a²-2abi-b²=4i。比较虚部得-2ab=4，实部得a²-b²=0。解得a=±2，b=-1，a²+b²=4+1=5。6.复数z=1+i的三角形式为________。解：|z|=√2，argz=π/4，z=√2(cos(π/4)+isin(π/4))。7.若复数z₁=3+2i，z₂=1-2i，则z₁/z₂=________。解：z₁/z₂=(3+2i)÷(1-2i)=(3+2i)•(1+2i)÷5=(-1+8i)÷5=-1/5+8/5i。8.复数z=2-3i的共轭复数为________。解：z̄=2+3i。9.若复数z满足|z|=1且z²=1，则z=________。解：设z=a+bi，则√(a²+b²)=1且(a+bi)²=a²-2abi-b²=1。解得a=±1，b=0，z=±1。10.在复平面内，点A表示复数z₁=2+i，点B表示复数z₂=-1-3i，则向量BA的模长为________。解：向量BA的模长为|z₁-z₂|=|2+i-(-1-3i)|=|3+4i|=√(3²+4²)=5。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若z₁+z₂是实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解：反例，z₁=1+i，z₂=-1+i，z₁+z₂=2为实数，但z₂不是实数。2.若z₁/z₂是实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解：反例，z₁=2i，z₂=4i，z₁/z₂=1/2为实数，但z₁和z₂都是纯虚数。3.复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|一定大于a。（×）解：当b=0时，|z|=a，不成立。4.若复数z₁和z₂满足|z₁|=|z₂|，则z₁=z₂。（×）解：反例，z₁=1+i，z₂=-1-i，|z₁|=|z₂|=√2，但z₁≠z₂。5.复数z的共轭复数的模等于z的模。（√）解：z̄=a-bi，|z̄|=√(a²+b²)=|z|。6.若复数z₁和z₂满足z₁²=z₂²，则z₁=z₂。（×）解：反例，z₁=i，z₂=-i，z₁²=z₂²=-1，但z₁≠z₂。7.复数的辐角主值范围是[0,2π)。（×）解：辐角主值范围是(0,π]。8.若复数z₁和z₂满足z₁+z₂是纯虚数，则z₁和z₂的实部之和为0。（√）解：设z₁=a+bi，z₂=c+di，z₁+z₂=(a+c)+(b+d)i为纯虚数，则a+c=0。9.复数z的平方为实数，则z一定是实数。（×）解：反例，z=i，z²=-1为实数，但z不是实数。10.复平面内，点A表示复数z₁，点B表示复数z₂，则向量AB的模长等于|z₁+z₂|。（×）解：向量AB的模长为|z₁-z₂|，不等于|z₁+z₂|。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.什么是复数？解：复数是形如a+bi（a,b∈R）的数，其中i是虚数单位，满足i²=-1。当b=0时，复数为实数；当a=0且b≠0时，复数为纯虚数。2.复数z=a+bi（a,b∈R）的模是什么？如何计算？解：复数z=a+bi的模为|z|，计算公式为√(a²+b²)。3.复数z=a+bi（a,b∈R）的辐角主值是什么？如何确定？解：复数z=a+bi的辐角主值是它与正实轴的夹角θ，满足0≤θ<π，且tanθ=b/a（a≠0）。4.什么是复数的共轭复数？解：复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi。5.复数加减法的几何意义是什么？解：复数加减法的几何意义是向量的加减法。在复平面内，复数相加对应向量首尾相接，复数相减对应向量终点到起点。6.什么是复数的三角形式？解：复数z=a+bi的三角形式为z=r(cosθ+isinθ)，其中r=|z|，θ为辐角主值。7.复数乘法的几何意义是什么？解：复数乘法的几何意义是模长相乘，辐角相加。即若z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)，则z₁z₂=r₁r₂(cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂))。8.什么是复数的除法？解：复数除法是乘法的逆运算。若z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)，z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)，则z₁/z₂=(r₁/r₂)(cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂))（z₂≠0）。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=3+2i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的值。解：z₁/z₂=(3+2i)÷(1-2i)=(3+2i)•(1+2i)÷5=(-1+8i)÷5=-1/5+8/5i。2.已知复数z=1+i，求z²的值。解：z²=(1+i)²=1+2i+i²=2i。3.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=5且argz=π/3，求z的代数形式。解：设z=a+bi，则√(a²+b²)=5且tan(π/3)=b/a=√3。解得a=5/2，b=5√3/2，z=5/2+5√3/2i。4.已知复数z₁=2-i，z₂=3+2i，求z₁+z₂的模。解：z₁+z₂=(2-i)+(3+2i)=5+i，|z₁+z₂|=√(5²+1²)=√26。5.已知复数z=2-3i，求z的共轭复数z̄及其模。解：z̄=2+3i，|z̄|=√(2²+3²)=√13。6.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的值。解：z₁•z₂=(1+i)•(1-i)=1²-i²=1-(-1)=2。7.已知复数z满足|z|=3且z²=4i，求z的值。解：设z=a+bi，则√(a²+b²)=3且(a+bi)²=a²-2abi-b²=4i。比较虚部得-2ab=4，实部得a²-b²=0。解得a=±2，b=-1，z=±(2-i)。8.已知复数z₁=2+i，z₂=3-2i，求向量z₁z₂的模。解：向量z₁z₂的模为|z₁-z₂|=|2+i-(3-2i)|=|-1+3i|=√((-1)²+3²)=√10。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.A5.（重新命题）z₁=1+i，z₂=2-i，则z₁/z₂=________解：z₁/z₂=(1+i)÷(2-i)=(1+i)•(2+i)÷(2²+1²)=(1+3i+i²)÷5=(-1+3i)÷5=-1/5+3/5i。2.（重新命题）复数z₁=2+i，z₂=1+2i，则z₁•z₂=________解：z₁•z₂=(2+i)•(1+2i)=2+4i+i+2i²=2+5i-2=5i。3.A8.（重新命题）复数z=1-i的共轭复数是________解：z̄=1+i。4.（重新命题）若复数z₁=2+3i，z₂=1+2i，则|z₁+z₂|等于（）A.√13B.√17C.√19D.√25解：z₁+z₂=(2+3i)+(1+2i)=3+5i，|z₁+z₂|=√(3²+5²)=√34。选项中无对应答案，需重新命题。5.B二、填空题1.2i2.53.24.±(1+i)5.56.√2(cos(π/4)+isin(π/4))7.-1/5+8/5i2.2+3i9.±110.5三、判断题1.×2.×3.×4.×5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.复数是形如a+bi（a,b∈R）的数，其中i是虚数单位，满足i²=-1。2.复数z=a+bi的模为|z|，计算公式为√(a²+b²)。3.复数z=a+bi的辐角主值是它与正实轴的夹角θ，满足0≤θ<π，且tanθ=b/a（a≠0）。4.复数z=a+bi的共轭复数为z̄=a-bi。5.复数加减法的几何