2026年北师大版高中数学必修第一册第5单元综合测试卷

2026年北师大版高中数学必修第一册第5单元综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高中数学必修第一册第5单元中，函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A．(-∞,1)∪(1,+∞)B．[0,2]C．(0,2)D．R解析：函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域需满足x²-2x+1>0，即(x-1)²>0，解得x≠1，故定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)。选项A正确。其他选项均不符合定义域条件。2.根据第5单元幂函数的性质，函数f(x)=x^(-3/2)在区间(0,+∞)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．非单调解析：幂函数f(x)=x^(-3/2)的指数-3/2<0，根据幂函数性质，在(0,+∞)上单调递减。选项B正确。3.北师大版高中数学必修第一册第5单元中，若函数f(x)=2^x与g(x)=log₂(x-1)的图像相交，则交点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：方程2^x=log₂(x-1)等价于2^x=x-1，令h(x)=2^x-x+1，求导h'(x)=2^xln2-1，令h'(x)=0得x=ln(1/ln2)，此时h(x)取得极小值。经计算h(x)在(0,+∞)上存在唯一零点，故交点个数为1。选项B正确。4.在第5单元中，函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)=|x-1|+|x+2|表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x∈[-2,1]时取得最小值，最小值为1-(-2)=3。选项C正确。5.北师大版高中数学必修第一册第5单元指出，函数f(x)=1/(x²-2x+3)在区间(-∞,1)∪(1,+∞)上的值域为（）A．(0,1/2)B．(1/4,1)C．(0,1)D．(1/4,+∞)解析：y=1/(x²-2x+3)等价于x²-2x+3=1/y，即(x-1)²=1/y-2，需1/y-2>0，得y<1/2，又y>0，故值域为(0,1/2)。选项A正确。6.根据第5单元对数函数的性质，若log₃(a-1)<log₃(2a)，则实数a的取值范围是（）A．(1,2)B．(0,1)C．(1,+∞)D．(0,2)解析：由对数函数单调性，需a-1<2a且a-1>0，解得1<a<2。选项A正确。7.在北师大版高中数学必修第一册第5单元中，函数f(x)=x³-3x+1的极值点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(x)=6x，f''(-1)=-6<0，f''(1)=6>0，故x=-1为极大值点，x=1为极小值点。极值点个数为2。选项C正确。8.第5单元中，函数f(x)=2^x-1与g(x)=log₄(2x)的图像关于（）对称A．x轴B．y轴C．原点D．y=x解析：g(x)=log₄(2x)=1/2log₂(2x)，f(x)-1=2^x-1，两函数图像关于y=x对称。选项D正确。9.北师大版高中数学必修第一册第5单元提到，函数f(x)=|x-1|•|x+2|在区间(-3,3)上的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4解析：f(x)=|x-1|•|x+2|的零点为x=1和x=-2，均在(-3,3)内，故零点个数为2。选项B正确。10.第5单元中，函数f(x)=log₃(2x+3)的图像可由g(x)=log₃(x)经过平移得到，下列平移方式正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移1个单位B．向右平移1个单位，再向下平移1个单位C．向左平移3/2个单位，再向上平移1个单位D．向右平移3/2个单位，再向下平移1个单位解析：f(x)=log₃(2x+3)=log₃[2(x+3/2)]=log₃(2)+log₃(x+3/2)，即向左平移3/2个单位，再向上平移log₃(2)个单位。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)=k•2^x在x=1时取得值3，则实数k=_________。参考答案：3/2解析：f(1)=k•2^1=3，解得k=3/2。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点x=_________。参考答案：-2解析：当x∈[-2,1]时f(x)最小，最小值点为-2。3.若log₃(2a-1)=2，则a=_________。参考答案：5解析：2a-1=3^2，解得a=5。4.函数f(x)=x³-3x+1的极大值点为_________。参考答案：-1解析：f'(x)=3x²-3，f'(-1)=0且f''(-1)<0，故x=-1为极大值点。5.函数f(x)=log₄(3x-2)的定义域为_________。参考答案：(2/3,+∞)解析：3x-2>0，解得x>2/3。6.若函数f(x)=2^x与g(x)=log₃(x+a)的图像有且仅有一个交点，则a=_________。参考答案：1解析：方程2^x=log₃(x+a)在x=0时成立，代入得1=a。7.函数f(x)=|x-1|•|x+2|的零点个数为_________。参考答案：2解析：零点为x=1和x=-2。8.函数f(x)=log₃(2x+3)的图像关于直线x=_________对称。参考答案：-3/2解析：对称轴为x=-h/2，其中h为平移量3/2。9.若函数f(x)=k•2^x在x=1时取得值3，则f(2)=_________。参考答案：6解析：f(2)=2f(1)=2×3=6。10.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域为_________。参考答案：[3,+∞)解析：最小值为3，无上界。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,-2)上单调递减。（）参考答案：正确解析：当x∈(-∞,-2)时，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1，斜率为-2<0，故单调递减。2.若log₃(a-1)<log₃(2a)，则实数a一定大于1。（）参考答案：错误解析：需a-1>0且2a>0，解得a>1/2，但a=1时等式不成立。3.函数f(x)=x³-3x+1在x=0处取得极值。（）参考答案：错误解析：f'(0)=0但f''(0)=0，需进一步判断，x=0非极值点。4.函数f(x)=|x-1|•|x+2|在区间(-1,1)上单调递增。（）参考答案：错误解析：在(-1,1)内f(x)=x²+x-2，f'(x)=2x+1>0，但需考虑全域性。5.函数f(x)=log₃(2x+3)的图像可由g(x)=log₃(x)向左平移3/2个单位得到。（）参考答案：正确解析：f(x)=log₃[2(x+3/2)]=log₃(2)+log₃(x+3/2)，平移量为3/2。6.函数f(x)=2^x与g(x)=log₄(2x)的图像关于y=x对称。（）参考答案：正确解析：g(x)=1/2log₂(2x)，f(x)-1=2^x-1，两函数图像关于y=x对称。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点为x=-1/2。（）参考答案：错误解析：最小值点为x=-2，此时f(x)=3。8.函数f(x)=log₃(2x+3)在x=-1时取得最小值-∞。（）参考答案：错误解析：定义域为x>2/3，x=-1不在定义域内。9.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极小值。（）参考答案：正确解析：f'(1)=0且f''(1)=6>0，x=1为极小值点。10.函数f(x)=|x-1|•|x+2|在区间(-2,1)上单调递减。（）参考答案：错误解析：在(-2,1)内f(x)=x²+x-2，f'(x)=2x+1>0，故单调递增。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述对数函数的单调性与底数的关系。参考答案：对数函数y=logₐ(x)（a>0且a≠1）的单调性取决于底数a：（1）当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增；（2）当0<a<1时，函数在(0,+∞)上单调递减。解析：由导数f'(x)=1/(xlna)可知，当lna>0时函数递增，当lna<0时函数递减。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值的条件是什么？参考答案：最小值为3，取得最小值的条件是x∈[-2,1]。解析：分段函数f(x)=-2x-1(x∈(-∞,-2))3(x∈[-2,1])2x+1(x∈(1,+∞))故最小值为3，取得最小值的条件为x∈[-2,1]。3.函数f(x)=x³-3x+1的极值点有哪些？参考答案：极大值点x=-1，极小值点x=1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(-1)=-6<0，故x=-1为极大值点；f''(1)=6>0，故x=1为极小值点。4.函数f(x)=log₃(2x+3)的图像如何由g(x)=log₃(x)平移得到？参考答案：f(x)=log₃(2x+3)=log₃[2(x+3/2)]=log₃(2)+log₃(x+3/2)，即向左平移3/2个单位，再向上平移log₃(2)个单位。5.函数f(x)=|x-1|•|x+2|的零点有哪些？参考答案：零点为x=1和x=-2。解析：f(x)=0等价于|x-1|=0或|x+2|=0，解得x=1或x=-2。6.函数f(x)=2^x与g(x)=log₄(2x)的图像交点有哪些？参考答案：交点为x=0和x=2。解析：方程2^x=log₄(2x)等价于2^x=1/2log₂(2x)，令h(x)=2^x-xln2，h(0)=1>0，h(2)=4-2ln2>0，h'(x)=2^xln2-ln2>0，故在(0,2)内存在唯一零点，又h(1/2)=√2-1/2ln2<0，故存在两个交点。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的值域是什么？参考答案：值域为[3,+∞)。解析：最小值为3，无上界，故值域为[3,+∞)。8.函数f(x)=x³-3x+1的拐点有哪些？参考答案：拐点为x=0。解析：f''(x)=6x，令f''(x)=0得x=0，f'''(0)=6≠0，故x=0为拐点。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某城市人口增长模型为f(t)=10(1+0.02)^t，其中f(t)为t年后人口（万人），求10年后人口是多少？参考答案：f(10)=10(1+0.02)^10≈12.19万人解析：直接代入计算，(1+0.02)^10≈1.219，故f(10)≈12.19万人。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值点x=-1时，求f(-1)的值。参考答案：f(-1)=3解析：f(x)=-2x-1(x∈(-∞,-2))3(x∈[-2,1])2x+1(x∈(1,+∞))故f(-1)=3。3.函数f(x)=log₃(2x+3)在x=2时的值为多少？参考答案：f(2)=log₃(7)解析：直接代入计算，f(2)=log₃(2×2+3)=log₃(7)。4.函数f(x)=x³-3x+1的极大值点x=-1时，求f(-1)的值。参考答案：f(-1)=3解析：f(x)=x³-3x+1，f(-1)=(-1)³-3×(-1)+1=3。5.函数f(x)=|x-1|•|x+2|在x=0时的值为多少？参考答案：f(0)=2解析：f(x)=|x-1|•|x+2|，f(0)=|-1|•|2|=2。6.函数f(x)=2^x与g(x)=log₄(2x)在x=1时的函数值相等吗？参考答案：不相等解析：f(1)=2，g(1)=log₄(2)=1/2，故不相等。7.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=0时的值为多少？参考答案：f(0)=3解析：f(x)=|x-1|+|x+2|，f(0)=|-1|+|2|=3。8.函数f(x)=x³-3x+1的极小值点x=1时，求f(1)的值。参考答案：f(1)=-1解析：f(x)=x³-3x+1，f(1)=1³-3×1+1=-1。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.B4.C5.A6.A7.C8.D9.B10.C二、填空题1.3/22.-23.54.-15.(2/3,+∞)6.17.28.-3/29.610.[3,+∞)三、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.×8.×9.√10.×四、简答题1.参考答案：对数函数y=logₐ(x)（a>0且a≠1）的单调性取决于底数a：（1）当a>1时，函数在(0,+∞)上单调递增；（2）当0<a<1时，函数在(0,+∞)上单调递减。解析：由导数f'(x)=1/(xlna)可知，当lna>0时函数递增，当lna<0时函数递减。2.参考答案：最小值为3，取得最小值的条件是x∈[-2,1]。解析：分段函数f(x)=-2x-1(x∈(-∞,-2))3(x∈[-2,1])2x+1(x∈(1,+∞))故最小值为3，取得最小值的条件为x∈[-2,1]。3.参考答案：极大值点x=-1，极小值点x=1。解析：f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1，f''(-1)=-6<0，故x=-1为极大值点；f''(1)=6>0，故x=1为极小值点。4.参考答案：f(x)=log₃(2x+3)=log₃[2(x+3/2)]=log₃(2)+log₃(x+3/2)，即向左平移3/2个单位，再向上平移log₃(2)个单位。5.参考答案：零点为x=1和x=-2。解析：f(x)=0等价于|x-1|=0或|x+2|=0，解得x=1或x=-2。6.参考答案：交点为x=0和x=2。解析：方程2^x=log₄(2x)等价于2^x=1/2log₂(2x)，令h(x)=2^x-xln2，h(0)=1>0，h(2)=4-2ln2>0，