2025-2026年苏教版高一数学第六十五章排列组合与二项式定理练习题

2025-2026年苏教版高一数学第六十五章排列组合与二项式定理练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从6名男生和4名女生中选出3名代表参加数学竞赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有（）种。A.160种B.180种C.240种D.280种解析：本题考查组合的混合问题。至少有1名女生的反面是全是男生，因此总的选法为C(10,3)，减去全是男生的选法C(6,3)，即C(10,3)-C(6,3)=120-20=100种。但更准确的方法是分类讨论：1名女生2名男生有C(4,1)C(6,2)=4×15=60种；2名女生1名男生有C(4,2)C(6,1)=6×6=36种；3名女生有C(4,3)=4种，合计60+36+4=100种。选项均错误，需重新计算。正确解法为：至少1名女生的选法=总选法-全男生选法=240-20=220种。选项均错误，需修正题目或选项。2.若n为正整数，则二项式(2x-√3)⁵的展开式中，x³项的系数为（）。A.-60√3B.60√3C.-80D.80解析：展开式的通项为T_{r+1}=C(5,r)(2x)^(5-r)(-√3)^r。令5-r=3得r=2，系数为C(5,2)×2³×(-√3)²=10×8×3=240。选项均错误，需重新命题。3.用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正反对面颜色相同，则不同的染色方案共有（）种。A.30种B.60种C.120种D.240种解析：先选定3组对面颜色有C(5,3)种，每组对面有2种染色顺序，共C(5,3)×2³=10×8=80种。选项均错误，需调整题目。4.某班级有男生12名，女生8名，现要排成一排，要求任意两名女生之间至少有1名男生，则不同的排法共有（）种。A.12!×8!B.12!×8P6C.12×8P8D.12P8×8P6解析：先排12名男生有12!种，8个空位插入女生有P(12,8)种，共12!×P(12,8)=12!×12P8。选项均错误，需修正。5.在二项式(1-2x)¹⁰的展开式中，第4项与第6项的系数之差为（）。A.6720B.-6720C.8160D.-8160解析：T₄=C(10,3)(-2x)³=-960x³，T₆=C(10,5)(-2x)⁵=8064x⁵，系数差为8064-(-960)=9024。选项均错误，需调整。6.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为（）。A.1/6B.1/4C.1/3D.1/2解析：总情况数为9P3=504，偶数情况为5×8×7=280，概率为280/504=5/9。选项均错误，需重新命题。7.若nC₃=20，则nC₄的值为（）。A.50B.60C.80D.90解析：nC₃=20即n(n-1)(n-2)/6=20，解得n=6，则nC₄=6C₄=15。选项均错误，需调整。8.在(√2+1)¹⁰的展开式中，有理项的个数为（）。A.3个B.4个C.5个D.6个解析：通项T_{r+1}=C(10,r)(√2)^(10-r)，当10-r为偶数即r为偶数时为有理项，有r=0,2,4,6,8共5项。选项C正确。9.用6根火柴棒首尾相接摆出正三角形，则最多能摆出（）个互不重叠的小正三角形。A.6个B.10个C.12个D.18个解析：第一层3个，第二层6个，第三层10个，共3+6+10=19个。选项均错误，需调整。10.若集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x属于A，且x是偶数}，则A到B的映射个数共有（）个。A.2⁵种B.2⁶种C.3²种D.4²种解析：B={2,4}，每个元素可对应2个元素，共2⁵=32种。选项均错误，需修正。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若C(n,4)=C(n,5)，则n=______。解析：由组合数性质C(n,4)=C(n,n-4)=C(n,5)=C(n,n-5)，得n-4=5即n=9。参考答案：92.在(1+x)⁹的展开式中，x⁷的系数与x³的系数之比为______。解析：x⁷系数为C(9,7)=36，x³系数为C(9,3)=84，比值为36/84=3/7。参考答案：3/73.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有______种。解析：分类：1女2男有C(4,1)C(6,2)=4×15=60种；2女1男有C(4,2)C(6,1)=6×6=36种；3女有C(4,3)=4种，合计60+36+4=100种。参考答案：1004.用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正反对面颜色相同，则不同的染色方案共有______种。解析：先选定3组对面颜色有C(5,3)种，每组对面有2种染色顺序，共C(5,3)×2³=10×8=80种。参考答案：805.若nC₃=20，则nC₄的值为______。解析：nC₃=20即n(n-1)(n-2)/6=20，解得n=6，则nC₄=6C₄=15。参考答案：156.在二项式(2x-1)⁷的展开式中，常数项为______。解析：通项T_{r+1}=C(7,r)(2x)^(7-r)(-1)^r，令7-r=0得r=7，常数项为C(7,7)×(-1)⁷=-1。参考答案：-17.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为______。解析：总情况数为9P3=504，偶数情况为5×8×7=280，概率为280/504=5/9。参考答案：5/98.在(√2+1)¹⁰的展开式中，有理项的个数为______。解析：通项T_{r+1}=C(10,r)(√2)^(10-r)，当10-r为偶数即r为偶数时为有理项，有r=0,2,4,6,8共5项。参考答案：59.用6根火柴棒首尾相接摆出正三角形，则最多能摆出______个互不重叠的小正三角形。解析：第一层3个，第二层6个，第三层10个，共3+6+10=19个。参考答案：1910.若集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x属于A，且x是偶数}，则A到B的映射个数共有______个。解析：B={2,4}，每个元素可对应2个元素，共2⁵=32种。参考答案：32三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.从n个不同元素中取出m个元素的所有组合数，等于从n个元素中取出n-m个元素的组合数。（）解析：正确。由组合数性质C(n,m)=C(n,n-m)成立。参考答案：正确2.若n为正整数，则二项式(1+x)ⁿ的展开式中，系数最大的项一定是中间项。（）解析：当n为偶数时成立，当n为奇数时不成立，如(1+x)³的系数最大项为T₂和T₃。参考答案：错误3.用6根火柴棒首尾相接摆出正三角形，则最多能摆出12个互不重叠的小正三角形。（）解析：第一层3个，第二层6个，第三层9个，共18个。参考答案：错误4.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有100种。（）解析：分类：1女2男有C(4,1)C(6,2)=60种；2女1男有C(4,2)C(6,1)=36种；3女有C(4,3)=4种，合计100种。参考答案：正确5.在二项式(2x-1)⁷的展开式中，常数项为-1。（）解析：通项T_{r+1}=C(7,r)(2x)^(7-r)(-1)^r，令7-r=0得r=7，常数项为C(7,7)×(-1)⁷=-1。参考答案：正确6.若集合A={1,2,3,4,5}，B={x|x属于A，且x是偶数}，则A到B的映射个数共有32种。（）解析：B={2,4}，每个元素可对应2个元素，共2⁵=32种。参考答案：正确7.用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正反对面颜色相同，则不同的染色方案共有80种。（）解析：先选定3组对面颜色有C(5,3)种，每组对面有2种染色顺序，共C(5,3)×2³=80种。参考答案：正确8.在(√2+1)¹⁰的展开式中，有理项的个数为5个。（）解析：通项T_{r+1}=C(10,r)(√2)^(10-r)，当10-r为偶数即r为偶数时为有理项，有r=0,2,4,6,8共5项。参考答案：正确9.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率为5/9。（）解析：总情况数为9P3=504，偶数情况为5×8×7=280，概率为280/504=5/9。参考答案：正确10.若nC₃=20，则nC₄的值为15。（）解析：nC₃=20即n(n-1)(n-2)/6=20，解得n=6，则nC₄=6C₄=15。参考答案：正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.写出二项式(2x+3y)⁴的展开式中x²y²项的系数。解析：通项T_{r+1}=C(4,r)(2x)^(4-r)(3y)^r，令4-r=2得r=2，系数为C(4,2)×2²×3²=216。参考答案：2162.从7名男生和5名女生中选出4人参加比赛，要求至少有2名女生，则不同的选法共有多少种？解析：分类：2女2男有C(5,2)C(7,2)=100种；3女1男有C(5,3)C(7,1)=175种；4女有C(5,4)=5种，合计280种。参考答案：280种3.用4种不同的颜色给一个四面体的4个面染色，要求相邻面颜色不同，则不同的染色方案共有多少种？解析：先染1个面有4种，再染相邻面有3种，最后染另外两个面各有2种，共4×3×2×1=24种。参考答案：24种4.在二项式(1-x)⁹的展开式中，x⁶的系数与x³的系数之差绝对值是多少？解析：x⁶系数为-C(9,6)=-84，x³系数为-C(9,3)=-84，差绝对值为|-84-(-84)|=0。参考答案：05.从1到10这10个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是奇数的概率是多少？解析：总情况数为10P3=720，奇数情况为5×8×7=280，概率为280/720=7/18。参考答案：7/186.写出用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正反对面颜色相同，则不同的染色方案有多少种？解析：先选定3组对面颜色有C(5,3)种，每组对面有2种染色顺序，共C(5,3)×2³=80种。参考答案：80种7.在二项式(√3+√2)⁸的展开式中，有理项的个数为多少？解析：通项T_{r+1}=C(8,r)(√3)^(8-r)(√2)^r，当8-r为偶数即r为偶数时为有理项，有r=0,2,4,6,8共5项。参考答案：5个8.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有多少种？解析：分类：1女2男有C(4,1)C(6,2)=60种；2女1男有C(4,2)C(6,1)=36种；3女有C(4,3)=4种，合计100种。参考答案：100种五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某学校组织数学竞赛，共有10道选择题，评分标准为答对得5分，答错扣2分，不答得0分。某选手若要获得至少40分，则他至少需要答对多少道题？解析：设答对x道，答错y道，不答z道，则5x-2y≥40且x+y+z=10。当x=8时，5×8-2y≥40得y≤0，即至少答对8道。参考答案：至少答对8道2.用6根火柴棒首尾相接摆出正三角形，则最多能摆出多少个互不重叠的小正三角形？解析：第一层3个，第二层6个，第三层9个，共18个。参考答案：18个3.从7名男生和5名女生中选出4人参加比赛，要求至少有2名女生，则不同的选法共有多少种？解析：分类：2女2男有C(5,2)C(7,2)=100种；3女1男有C(5,3)C(7,1)=175种；4女有C(5,4)=5种，合计280种。参考答案：280种4.在二项式(2x-1)⁷的展开式中，常数项为多少？解析：通项T_{r+1}=C(7,r)(2x)^(7-r)(-1)^r，令7-r=0得r=7，常数项为C(7,7)×(-1)⁷=-1。参考答案：-15.从1到9这9个数字中任取3个不同的数字组成无重复数字的三位数，则所得三位数是偶数的概率是多少？解析：总情况数为9P3=504，偶数情况为5×8×7=280，概率为280/504=5/9。参考答案：5/96.用5种不同的颜色给一个正方体的6个面染色，要求相邻面颜色不同，且正反对面颜色相同，则不同的染色方案共有多少种？解析：先选定3组对面颜色有C(5,3)种，每组对面有2种染色顺序，共C(5,3)×2³=80种。参考答案：80种7.在二项式(√2+1)¹⁰的展开式中，有理项的个数为多少？解析：通项T_{r+1}=C(10,r)(√2)^(10-r)，当10-r为偶数即r为偶数时为有理项，有r=0,2,4,6,8共5项。参考答案：5个8.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，要求至少有1名女生，则不同的选法共有多少种？解析：分类：1女2男有C(4,1)C(6,2)=60种；2女1男有C(4,2)C(6,1)=36种；3女有C(4,3)=4种，合计100种。参考答案：100种【标准答案及解析】一、单项选择题1.C（正确解析见解析）2.D（正确解析见解析）3.D（正确解析见解析）4.B（正确解析见解析）5.B（正确解析见解析）6.A（正确解析见解析）7.A（正确解析见解析）8.C（正