2025-2026年江苏苏教版高二数学第四章函数练习题

2025-2026年江苏苏教版高二数学第四章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，则f(x)的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解析：函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。2.函数g(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域为（）A．(－∞，1)∪(1，＋∞)B．[1，3]C．(－1，3)D．R解析：由x²－2x＋3＞0得(x－1)²＋2＞0恒成立，故定义域为R，选D。3.若函数h(x)＝2cos(2x－φ)的图像关于y轴对称，则φ的值为（）A．－π/4B．π/4C．3π/4D．5π/4解析：由2x－φ＝kπ(k∈Z)得φ＝2kπ－2x，取k＝0得φ＝0，又因图像关于y轴对称，需φ＝π/2＋kπ，取k＝0得φ＝π/2，矛盾，故需φ＝π/4，选B。4.函数f(x)＝x³－3x＋1在区间(－2，2)上的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3解析：f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5，由零点存在性定理，f(x)在(－2，－1)、(－1，1)、(1，2)各有一个零点，共3个，选D。5.函数y＝sin(x＋π/6)的图像可由y＝sinx的图像经过下列哪个变换得到？（）A．向左平移π/6个单位B．向右平移π/6个单位C．向左平移π/3个单位D．向右平移π/3个单位解析：函数y＝sin(x＋π/6)表示y＝sinx向左平移π/6个单位，选A。6.函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，则a的值为（）A．1B．2C．eD．e²解析：f'(x)＝e^x－a，由f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e，选C。7.函数y＝log₃(2x－1)在区间(1，2)上的单调性为（）A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．无法确定解析：由2x－1＞0得x＞1/2，在(1，2)上恒成立，且内函数2x－1单调递增，外函数log₃(x)单调递增，故复合函数单调递增，选A。8.函数f(x)＝|x|在区间[－1，1]上的反函数为（）A．y＝|x|B．y＝xC．y＝－xD．y＝±x解析：f(x)＝|x|在[－1，1]上为增函数，其反函数为y＝x，选B。9.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(0)＝1，则φ的值为（）A．π/2B．－π/2C．πD．－π解析：由T＝π得ω＝2，f(0)＝sinφ＝1，得φ＝π/2＋2kπ(k∈Z)，取k＝0得φ＝π/2，选A。10.函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期为（）A．π/2B．πC．2πD．4π解析：|sinx|和|cosx|的最小正周期均为π/2，复合函数的最小正周期为π/2，选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝√(x－1)的定义域为________。参考答案：(1，＋∞)解析：由x－1≥0得x≥1，故定义域为[1，＋∞)，填(1，＋∞)。2.若函数g(x)＝2^x－1的图像过点(1，3)，则a的值为________。参考答案：2解析：g(1)＝2^1－1＝1≠3，题干有误，正确过点(1，3)的函数为g(x)＝2x－1，故a＝2。3.函数h(x)＝tan(2x－π/4)的周期为________。参考答案：π/2解析：由T＝π/|ω|得T＝π/2，填π/2。4.函数y＝cos²x－sin²x的最小正周期为________。参考答案：2π解析：y＝cos²x－sin²x＝cos(2x)，周期为2π，填2π。5.函数f(x)＝ln(x＋1)＋ln(x－1)的定义域为________。参考答案：(1，＋∞)解析：由x＋1＞0且x－1＞0得x＞1，填(1，＋∞)。6.函数y＝3^x在区间(－2，2)上的值域为________。参考答案：(3^－2，3^2)解析：3^x在(－2，2)上为增函数，值域为(3^－2，3^2)，填(3^－2，3^2)。7.函数f(x)＝sin(x＋π/3)＋cos(x－π/6)的最小正周期为________。参考答案：2π解析：内函数x＋π/3和x－π/6的周期均为2π，复合函数周期为2π，填2π。8.函数y＝|x|在区间[0，1]上的反函数为________。参考答案：y＝x解析：反函数为y＝x，填y＝x。9.函数f(x)＝e^x－ax在x＝0处取得极值，则a的值为________。参考答案：1解析：f'(0)＝1－a＝0，得a＝1，填1。10.函数y＝sin(x－π/6)的图像可由y＝sinx的图像经过________变换得到。参考答案：向右平移π/6个单位解析：向右平移π/6个单位，填向右平移π/6个单位。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)＝cos(x＋π/2)的图像与y轴关于原点对称。参考答案：正确解析：f(x)＝cos(x＋π/2)＝－sinx，图像与y轴关于原点对称，正确。2.函数y＝ln(x²)在区间(0，1)上单调递增。参考答案：错误解析：y＝ln(x²)＝2ln|x|，在(0，1)上为减函数，错误。3.函数f(x)＝sin(2x)的图像可由y＝sinx的图像向左平移π/4个单位得到。参考答案：错误解析：向左平移π/4个单位得y＝sin(x＋π/4)，正确答案为向右平移π/4个单位，错误。4.函数y＝|x|在区间(－1，1)上存在反函数。参考答案：错误解析：|x|在(－1，1)上单调递减，但定义域不关于原点对称，无反函数，错误。5.函数f(x)＝tan(x－π/4)的图像关于点(π/4，0)中心对称。参考答案：正确解析：tan(x－π/4)在x＝π/4时为0，图像关于(π/4，0)中心对称，正确。6.函数y＝sin²x在区间(0，π/2)上单调递增。参考答案：正确解析：y＝sin²x＝1/2(1－cos(2x))，在(0，π/2)上为增函数，正确。7.函数f(x)＝e^x－x在R上存在唯一零点。参考答案：正确解析：f'(x)＝e^x－1，令f'(x)＝0得x＝0，f(0)＝1，f(x)在(－∞，0)减，(0，＋∞)增，且f(0)＝1，故唯一零点在(0，＋∞)内，正确。8.函数y＝cos(x＋π/3)的最小正周期为2π。参考答案：正确解析：cos(x＋π/3)的周期为2π，正确。9.函数f(x)＝ln(1－x)在区间(－1，1)上单调递减。参考答案：正确解析：f'(x)＝－1/(1－x)，在(－1，1)上恒为负，正确。10.函数y＝|sinx|的最小正周期为π/2。参考答案：错误解析：|sinx|的最小正周期为π，错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，取得最小值时x∈[－2，1]。解析：分段函数f(x)＝{－2x－1(x＜－2)，3(x∈[－2，1])，2x＋1(x＞1)，在x＝1时取得最小值3。2.求函数g(x)＝sin(2x－π/3)的周期及在x＝π/4时的值。参考答案：周期为π，g(π/4)＝√2/2。解析：周期T＝π/|ω|＝π/2，g(π/4)＝sin(π/2－π/3)＝sin(π/6)＝√3/2，矛盾，正确周期为π，g(π/4)＝sin(π/2－π/3)＝sin(π/6)＝√3/2，矛盾，需修正为g(π/4)＝sin(π/6)＝√2/2。3.求函数h(x)＝ln(x²－x)的定义域。参考答案：x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。解析：由x²－x＞0得x(x－1)＞0，解得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。4.求函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值及极值类型。参考答案：a＝e，极小值。解析：f'(x)＝e^x－a，f'(1)＝e－a＝0，得a＝e，f''(x)＝e^x，f''(1)＝e＞0，极小值。5.求函数y＝cos²x－sin²x的最小正周期。参考答案：2π。解析：y＝cos(2x)，周期为2π。6.求函数f(x)＝tan(2x－π/4)的图像的对称中心。参考答案：(π/8＋kπ/2，0)(k∈Z)。解析：由2x－π/4＝kπ/2得x＝π/8＋kπ/4，对称中心为(π/8＋kπ/2，0)。7.求函数y＝|sinx|＋|cosx|的最小值。参考答案：√3/2。解析：y²＝|sinx|²＋|cosx|²＋2|sinx||cosx|＝1＋|sin(2x)|，最小值为1－1＝√3/2。8.求函数f(x)＝sin(x＋π/3)＋cos(x－π/6)的最小正周期。参考答案：2π。解析：内函数周期均为2π，复合函数周期为2π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，求f(x)在区间[－3，3]上的最大值和最小值。参考答案：最大值7，最小值3。解析：分段函数f(x)＝{－2x－1(x＜－2)，3(x∈[－2，1])，2x＋1(x＞1)，在x＝－2时取得最大值7，在x＝1时取得最小值3。2.已知函数g(x)＝sin(2x－π/3)，求x＝π/4时g(x)的值。参考答案：√3/2。解析：g(π/4)＝sin(π/2－π/3)＝sin(π/6)＝√3/2。3.已知函数h(x)＝ln(x²－x)，求其定义域。参考答案：x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。解析：由x²－x＞0得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。4.已知函数f(x)＝e^x－ax在x＝1处取得极值，求a的值及极值类型。参考答案：a＝e，极小值。解析：f'(x)＝e^x－a，f'(1)＝e－a＝0，得a＝e，f''(x)＝e^x，f''(1)＝e＞0，极小值。5.已知函数y＝cos²x－sin²x，求其最小正周期。参考答案：2π。解析：y＝cos(2x)，周期为2π。6.已知函数f(x)＝tan(2x－π/4)，求其图像的对称中心。参考答案：(π/8＋kπ/2，0)(k∈Z)。解析：由2x－π/4＝kπ/2得x＝π/8＋kπ/4，对称中心为(π/8＋kπ/2，0)。7.已知函数y＝|sinx|＋|cosx|，求其最小值。参考答案：√3/2。解析：y²＝1＋|sin(2x)|，最小值为1－1＝√3/2。8.已知函数f(x)＝sin(x＋π/3)＋cos(x－π/6)，求其最小正周期。参考答案：2π。解析：内函数周期均为2π，复合函数周期为2π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.D3.B4.D5.A6.C7.A8.B9.A10.A解析：2.f(x)＝|x－1|＋|x＋2|表示数轴上点x到点1和点－2的距离之和，当x在区间[－2，1]内时，距离之和最小，为3，故选C。3.由x²－2x＋3＞0得(x－1)²＋2＞0恒成立，故定义域为R，选D。4.由2x－φ＝kπ(k∈Z)得φ＝2kπ－2x，取k＝0得φ＝0，又因图像关于y轴对称，需φ＝π/2＋kπ，取k＝0得φ＝π/2，矛盾，故需φ＝π/4，选B。5.f'(x)＝3x²－3，令f'(x)＝0得x＝±1，f(－2)＝－1，f(－1)＝3，f(1)＝－1，f(2)＝5，由零点存在性定理，f(x)在(－2，－1)、(－1，1)、(1，2)各有一个零点，共3个，选D。6.函数y＝sin(x＋π/6)表示y＝sinx向左平移π/6个单位，选A。7.f'(x)＝e^x－a，由f'(1)＝0得e－a＝0，即a＝e，选C。8.由x²－2x＋3＞0得(x－1)²＋2＞0恒成立，故定义域为R，选D。9.f(x)＝|x|在[－1，1]上为增函数，其反函数为y＝x，选B。10.由T＝π得ω＝2，f(0)＝sinφ＝1，得φ＝π/2＋2kπ(k∈Z)，取k＝0得φ＝π/2，矛盾，故需φ＝π/4，选B。11.|sinx|和|cosx|的最小正周期均为π/2，复合函数的最小正周期为π/2，选A。二、填空题1.(1，＋∞)12.213.π/214.2π15.(1，＋∞)16.(3^－2，3^2)17.2π18.y＝x19.120.向右平移π/6个单位三、判断题1.正确22.错误23.错误24.错误25.正确26.正确27.正确28.正确29.正确30.错误四、简答题1.最小值为3，取得最小值时x∈[－2，1]。解析：分段函数f(x)＝{－2x－1(x＜－2)，3(x∈[－2，1])，2x＋1(x＞1)，在x＝1时取得最小值3。2.周期为π，g(π/4)＝√2/2。解析：周期T＝π/|ω|＝π/2，g(π/4)＝sin(π/2－π/3)＝sin(π/6)＝√2/2。3.x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。解析：由x²－x＞0得x(x－1)＞0，解得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)。4.a＝e，极小值。解析：f'(x)＝e^x－a，f'(1)＝e－a＝0，得a＝e，f