2025-2026年人教版高二数学第1章数列练习题

2025-2026年人教版高二数学第1章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3n+2C.6n+3D.3n-6解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故b_4=2^3=8。选项A正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则c_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：由递推关系可得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+1=7，c_4=2×7+1=15，c_5=2×15+1=31。选项A正确。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项C正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，故e_3=2×3-1=5。选项B正确。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-2，则f_1+f_2+f_3+f_4的值等于（）A.40B.41C.42D.43解析：f_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-2)-(3^{n-1}-2)=2×3^{n-1}，故f_1+f_2+f_3+f_4=2×3^0+2×3^1+2×3^2+2×3^3=2×(1+3+9+27)=2×40=80。选项D正确。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质可得a_1+a_5=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。选项A正确。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=h_n+2n（n∈N），则h_6的值等于（）A.42B.48C.54D.60解析：由递推关系可得h_2=2+2×1=4，h_3=4+2×2=8，h_4=8+2×3=14，h_5=14+2×4=22，h_6=22+2×5=32。选项A正确。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，i_3=8可得q^2=8，故q=2√2，S_6=1×(1-2^6)/(1-2√2)≈127。选项B正确。10.若数列{j_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则j_4的值等于（）A.11B.13C.15D.17解析：当n≥2时，j_n=T_n-T_{n-1}=(2n^2-3n)-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，故j_4=4×4-5=11。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2+n，则b_3的值等于______。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2，故b_3=6×3-2=16。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3（n∈N），则c_6的值等于______。解：由递推关系可得c_2=2+3=5，c_3=5+3=8，c_4=8+3=11，c_5=11+3=14，c_6=14+3=17。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，故q=±2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+2n，则e_4的值等于______。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+2n-[（n-1）^2+2（n-1）]=2n+1，故e_4=2×4+1=9。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n+1，则f_1+f_2+f_3+f_4的值等于______。解：f_n=S_n-S_{n-1}=2^n+1-[2^{n-1}+1]=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，故f_1+f_2+f_3+f_4=2^0+2^1+2^2+2^3=15。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值等于______。解：由等差数列性质可得a_1+a_5=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}满足h_1=3，h_{n+1}=h_n+4n（n∈N），则h_5的值等于______。解：由递推关系可得h_2=3+4×1=7，h_3=7+4×2=15，h_4=15+4×3=27，h_5=27+4×4=43。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=16，则该数列的前4项和S_4等于______。解：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=2，i_3=16可得q^2=8，故q=2√2，S_4=2×(1-2^4)/(1-2√2)≈30。10.若数列{j_n}的前n项和T_n=n^2+n，则j_2+j_3+j_4的值等于______。解：j_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，故j_2+j_3+j_4=2×2+2×3+2×4=18。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则该数列一定是等差数列。（）解：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，故数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-5，该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q等于2或-2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=1，b_3=8可得q^2=8，故q=±2√2。错误。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则该数列的前5项和为31。（）解：由递推关系可得c_2=2×2+1=5，c_3=2×5+1=11，c_4=2×11+1=23，c_5=2×23+1=47，S_5=2+5+11+23+47=88。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）解：由等差数列性质可得a_1+a_5=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但e_1=T_1=2≠2×1，故数列{e_n}的通项公式为e_n=2n（n≥2）。错误。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q等于3。（）解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。错误。7.若数列{g_n}的前n项和为S_n=3^n-2，则g_4=81。（）解：当n≥2时，g_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-(3^{n-1}-2)=2×3^{n-1}，故g_4=2×3^3=54。错误。8.在等差数列{h_n}中，若a_1=3，d=2，则a_5=11。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2可得a_5=3+4×2=11。正确。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2n（n∈N），则i_6=21。（）解：由递推关系可得i_2=1+2=3，i_3=3+4=7，i_4=7+6=13，i_5=13+8=21，i_6=21+10=31。错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，j_3=8，则该数列的前6项和S_6=126。（）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=2，j_3=8可得q^2=4，故q=2，S_6=2×(1-2^6)/(1-2)≈126。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，a_4=13，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=13可得13=5+3d，解得d=3/2，故a_n=5+(n-1)×3/2=3/2n+7/2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=4n^2-3n，求b_3的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n^2-3n-[4(n-1)^2-3(n-1)]=8n-7，故b_3=8×3-7=17。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_1=2，c_4=32可得32=2q^3，解得q=2。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=3d_n+2（n∈N），求d_4的值。解：由递推关系可得d_2=3×1+2=5，d_3=3×5+2=17，d_4=3×17+2=53。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求a_3的值。解：由等差数列性质可得a_1+a_5=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，求f_2的值。解：当n≥2时，f_n=T_n-T_{n-1}=2n，故f_2=2×2=4。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=6，g_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=6，g_4=g_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=3。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=2^n+1，求h_3的值。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=2^n，故h_3=2^3=8。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=2，a_5=14，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1，S_10=10×(2+3×10-1)/2=155。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的前8项和S_8。解：S_8=3×8^2-2×8=192-16=176。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=3，c_4=81，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_1=3，c_4=81可得81=3q^3，解得q=3，S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=364。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），求该数列的前6项和S_6。解：由递推关系可得d_2=2×1+1=3，d_3=2×3+1=7，d_4=2×7+1=15，d_5=2×15+1=31，d_6=2×31+1=63，S_6=1+3+7+15+31+63=120。5.在等差数列{e_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，求a_4的值。解：由等差数列性质可得a_1+a_6=2a_4，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，解得a_4=5。6.若数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n+1，求该数列的前7项和T_7。解：T_7=7^2+7+1=57。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_6=64，求该数列的前4项和S_4。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_2=g_1q=4，g_6=g_1q^5=64，两式相除得q^4=16，故q=2，S_4=4×(1-2^4)/(1-2)=60。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=2n^2-3n+1，求该数列的前5项和S_5。解：S_5=2×5^2-3×5+1=41。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.B6.D7.A8.A9.B10.A解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=9，a_1=3，d=3/2，a_n=3/2n+3/2。2.数列前n项和S_n=2^n-1，b_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，b_4=8。3.递推关系c_{n+1}=2c_n+1，c_1=1，c_2=3，c_3=7，c_4=15，c_5=31。4.等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，q=±3。5.数列前n项和T_n=n^2+n，e_n=T_n-T_{n-1}=2n-1，e_3=5。6.数列前n项和S_n=2^n-1，f_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，f_1+f_2+f_3+f_4=15。7.等差数列性质a_1+a_5=2a_3，5a_3=15，a_3=3。8.递推关系h_{n+1}=h_n+4n，h_1=3，h_2=7，h_3=15，h_4=27，h_5=43。9.等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，i_1=1，i_3=8，q=2√2，S_6=127。10.数列前n项和T_n=n^2+n，j_n=T_n-T_{n-1}=2n，j_2+j_3+j_4=18。二、填空题1.32.163.174.±2√25.96.157.58.439.3010.18解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，d=3。2.数列前n项和S_n=3n^2+n，e_n=S_n-S_{n-1}=6n-2，e_3=16。3.递推关系c_{n+1}=c_n+3，c_1=2，c_2=5，c_3=8，c_4=11，c_5=14，c_6=17。4.等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，q=±2。5.数列前n项和T_n=n^2+2n，e_n=T_n-T_{n-1}=2n+1，e_4=9。6.数列前n项和S_n=2^n+1，f_n=S_n-S_{n-1}=2^{n-1}，f_1+f_2+f_3+f_4=15。7.等差数列性质a_1+a_5=2a_3，5a_3=25，a_3=5。8.递推关系h_{n+1}=h_n+4n，h_1=3，h_2=7，h_3=15，h_4=27，h_5=43。9.等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，i_1=2，i_3=16，q=2√2，S_4=30。10.数列前n项和T_n=n^2+n，j_n=T_n-T_{n-1}=2n，j_2+j_3+j_4=18。三、判断题1.√2.×3.×4.√5.×6.×7.×8.√9.×10.√解析：1.数列前n项和S_n=2n^2-3n，a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，该数列是等差数列。2.等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，b_1=1，b_3=8，q^2=8，q=±2√2。3.递推关系c_{n+1}=2c_n+1，c_1=2，c_2=5，c_3=11，c_4=23，c_5=47，S_5=88。4.等差数列性质a_1+a_5=2a_3，5a_3=25，a_3=5。5.数列前n项和T_n=n^2+n，e_n=T_n-T_{n-1}=2n，但e_1=T_1=2≠2×1。6.等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，f_1=2，f_3=8，q^2=4，q=±2。7.数列前n项和S_n=3^n-2，f_n=S_n-S_{n-1}=2×3^{n-1}，f_4=54。8.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_1=3，d=2，a_5=11。9.递推关系i_{n+1}=i_n+2n，i_1=1，i_2=3，i_3=7，i_4=13，i_5=21，i_6=31。10.等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，j_1=2，j_3=8，q=2，S_6=126。四、简答题1.解：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，a_1=5，a_4=13，13=5+3d，