2026年湖南省北师大版高中数学高三上册第9章函数图像与性质测试卷

2026年湖南省北师大版高中数学高三上册第9章函数图像与性质测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于直线x=π/4对称，下列说法正确的是（）A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)在区间[0,π/2]上单调递增C.f(x)的图像可由y=sin(x)向左平移π/4得到D.f(x)的图像可由y=cos(x)向右平移π/4得到解析：选项A正确，正弦函数sin(x)的最小正周期为2π，平移不改变周期；选项B错误，f(x)在[0,π/2]上先增后减；选项C错误，y=sin(x+π/4)是向左平移π/4，但需注意相位变换；选项D正确，cos(x)=sin(x+π/2)，向右平移π/4得到sin(x+π/4)。故选D。2.函数g(x)=|x-1|+|x+2|的图像是一条折线，下列说法正确的是（）A.g(x)的最小值为1B.g(x)在(-∞,-2)上单调递减C.g(x)的图像关于x=-1.5对称D.g(x)在(-2,1)上单调递增解析：选项A正确，g(x)在x=-2时取最小值3；选项B错误，g(x)在(-∞,-2)上单调递增；选项C错误，对称轴为x=-0.5；选项D正确，g(x)在(-2,1)上为线性递减。故选D。3.函数h(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-1,3)D.R解析：选项A正确，x²-2x+1=(x-1)²>0，解得x≠1；选项B错误，[0,2]中x=1时函数无意义；选项C错误，(-1,3)中x=1时函数无意义；选项D错误，x=1时函数无意义。故选A。4.函数k(x)=tan(2x-π/3)的图像的一个对称中心是（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/4,0)D.(π/2,0)解析：选项A正确，tan函数的对称中心满足2x-π/3=kπ，x=π/6+kπ/2，取k=0时为(π/6,0)；选项B错误，π/3时函数无意义；选项C错误，π/4时函数无意义；选项D错误，π/2时函数无意义。故选A。5.函数m(x)=2^x-1与n(x)=log₂(x+1)的图像交点个数为（）A.0B.1C.2D.无数个解析：选项C正确，m(x)=n(x)⇔2^x-1=log₂(x+1)⇔2^x-1=x+1⇔2^x=x+2，解得x≈0.639和x≈2.162，共2个交点。故选C。6.函数p(x)=sin²(x)+cos²(x)-2sin(x)cos(x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.1/2π解析：选项A正确，p(x)=1-sin(2x)，sin(2x)的最小正周期为π，故p(x)的最小正周期为π。故选A。7.函数q(x)=√(4-x²)的定义域为（）A.[-2,2]B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-2,2)D.R解析：选项A正确，4-x²≥0⇔-2≤x≤2；选项B错误，定义域为闭区间；选项C错误，定义域包含端点；选项D错误，函数非处处有定义。故选A。8.函数r(x)=3^x+1与s(x)=2^x+1的图像关系是（）A.关于y=x对称B.关于y=x+1对称C.关于原点对称D.无对称关系解析：选项A正确，r(x)-1=3^x与s(x)-1=2^x互为反函数，图像关于y=x对称。故选A。9.函数t(x)=sin(x)+cos(x)的最大值为（）A.√2B.1C.2D.π解析：选项A正确，t(x)=√2sin(x+π/4)，最大值为√2。故选A。10.函数u(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：选项B正确，u(x)在x=2时取最小值，u(2)=|1|+0+1=2。故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数v(x)=cos(2x+π/3)的最小正周期为________。参考答案：π解析：cos函数的周期为2π，平移不改变周期，故最小正周期为2π/2=π。2.函数w(x)=log₅(x-1)的定义域为________。参考答案：[2,+∞)解析：x-1>0⇔x>1，定义域为(1,+∞)，结合高中数学规范写法为[2,+∞)。3.函数z(x)=tan(π/4-x)的图像关于________对称。参考答案：x=π/4解析：tan函数图像的对称轴为kπ+π/2，π/4-x=kπ+π/2⇔x=π/4-kπ，取k=0时为x=π/4。4.函数a(x)=|sin(x)|的图像与y=sin(x)的图像在________区间内相同。参考答案：(2kπ,2kπ+π)解析：|sin(x)|=sin(x)⇔sin(x)≥0⇔2kπ≤x≤2kπ+π。5.函数b(x)=2^x-1的反函数为________。参考答案：log₂(x+1)解析：令y=2^x-1⇔x=log₂(y+1)，反函数为y=log₂(x+1)。6.函数c(x)=√(x²-4x+4)的值域为________。参考答案：[0,+∞)解析：x²-4x+4=(x-2)²≥0，√(x²-4x+4)的最小值为0，无上界。7.函数d(x)=sin(x)+2cos(x)的最大值为________。参考答案：√5解析：d(x)=√5sin(x+θ)，最大值为√5，其中tanθ=2。8.函数e(x)=|x+1|+|x-1|的图像是一条折线，其拐点坐标为________。参考答案：(0,2)解析：|x+1|+|x-1|在x=0时发生转折，此时函数值为2。9.函数f(x)=log₃(2x-1)的图像可由y=log₃(x)向________平移________个单位得到。参考答案：右1解析：log₃(2x-1)=log₃(2(x-1/2))，向右平移1个单位。10.函数g(x)=sin²(x)-cos²(x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：g(x)=-cos(2x)，cos函数的周期为2π，平移不改变周期，故最小正周期为2π/2=π。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数h(x)=sin(x)的图像关于原点对称。（√）解析：sin(-x)=-sin(x)，函数为奇函数，图像关于原点对称。2.函数i(x)=log₂(x)在(0,1)上单调递增。（×）解析：log₂(x)在(0,+∞)上单调递增，但在(0,1)上单调递减。3.函数j(x)=tan(x)的图像在(-π/2,π/2)上单调递增。（√）解析：tan(x)在(-π/2,π/2)内单调递增。4.函数k(x)=|x|的图像关于y轴对称。（√）解析：|x|是偶函数，图像关于y轴对称。5.函数l(x)=2^x的图像与y=x+1的图像有交点。（√）解析：2^x=x+1有解x≈0.639，故有交点。6.函数m(x)=sin(x)cos(x)的最小正周期为π。（√）解析：sin(2x)的最小正周期为π，故sin(x)cos(x)的最小正周期为π。7.函数n(x)=log₅(2x-1)的定义域为(0,+∞)。（×）解析：2x-1>0⇔x>1/2，定义域为(1/2,+∞)。8.函数o(x)=|sin(x)|的图像与y=sin(x)的图像完全重合。（×）解析：|sin(x)|在(π,2π)与y=sin(x)不同。9.函数p(x)=tan(x)的图像在(0,π)上存在对称中心。（√）解析：tan(x)在(0,π)内单调递增，但关于x=π/2对称，故存在对称中心(π/2,0)。10.函数q(x)=|x-1|+|x+1|的图像是一条折线。（√）解析：|x-1|+|x+1|在x=-1和x=1处发生转折，图像为折线。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数r(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期，并说明图像变换过程。参考答案：π，y=sin(2x)向右平移π/8得到。解析：sin函数的周期为2π，平移不改变周期，故最小正周期为2π/2=π；y=sin(2x)是y=sin(x)横坐标缩放为原来1/2，再向右平移π/8得到。2.函数s(x)=log₃(x+1)的图像如何由y=log₃(x)变换得到？参考答案：向左平移1个单位。解析：log₃(x+1)=log₃(x-(-1))，y=log₃(x)向左平移1个单位得到y=log₃(x+1)。3.函数t(x)=|x|+|x-1|的最小值是多少？参考答案：1解析：|x|+|x-1|在x=1时取最小值，最小值为1。4.函数u(x)=tan(π/3-x)的图像如何变换得到y=tan(x)的图像？参考答案：向右平移π/3。解析：tan(π/3-x)=tan[π/2-(x-π/3)]，y=tan(x)向右平移π/3得到y=tan(π/3-x)。5.函数v(x)=sin²(x)的图像如何变换得到y=sin(x)的图像？参考答案：先平方再开方，或通过y=√(1-cos(2x))得到。解析：sin²(x)=1-cos²(x)=1-√(1-cos(2x))，y=sin(x)的图像先平方再开方得到y=sin²(x)。6.函数w(x)=log₂(x-1)的反函数是什么？参考答案：y=2^x+1解析：令y=log₂(x-1)⇔x=2^y+1，反函数为y=2^x+1。7.函数x(x)=|x+2|+|x-2|的图像如何变换得到y=|x|的图像？参考答案：向左平移4个单位，再向右平移4个单位，再取相反数。解析：|x+2|+|x-2|是y=|x|向左平移4个单位，再向右平移4个单位，再取相反数得到。8.函数z(x)=cos(π/4+x)的图像如何变换得到y=cos(x)的图像？参考答案：向左平移π/4。解析：cos(π/4+x)=cos[π/2-(x-π/4)]，y=cos(x)向左平移π/4得到y=cos(π/4+x)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，求ω和φ的值。参考答案：ω=2，φ=-π/2解析：周期为π⇔ω=2；f(π/4)=sin(ωπ/4+φ)=0⇔2π/4+φ=kπ⇔φ=kπ-π/2，取k=0时φ=-π/2。2.函数g(x)=log₃(x+a)的图像经过点(2,1)，求a的值。参考答案：a=1解析：g(2)=log₃(2+a)=1⇔2+a=3⇔a=1。3.函数h(x)=|x-1|+|x+2|的图像与y=kx+3的图像有交点，求k的取值范围。参考答案：k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)解析：|x-1|+|x+2|在x=-2时取最小值3，故kx+3≥3⇔k≥-1或k≤1，但k=-1时直线与折线相切，故k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)。4.函数i(x)=tan(π/4-x)的图像与y=x的图像的交点坐标是什么？参考答案：(π/4,π/4)解析：tan(π/4-x)=x⇔π/4-x=kπ+arctan(x)⇔x=π/4-kπ，取k=0时x=π/4，y=π/4。5.函数j(x)=sin²(x)+cos²(x)-2sin(x)cos(x)的图像与y=1的图像的交点个数是多少？参考答案：无数个解析：j(x)=1-sin(2x)，1-sin(2x)=1⇔sin(2x)=0⇔2x=kπ⇔x=kπ/2，交点为(kπ/2,kπ/2)，k∈Z，故交点无数个。6.函数k(x)=log₂(x-1)的图像与y=2^x的图像的交点个数是多少？参考答案：1解析：log₂(x-1)=2^x⇔x-1=2^2^x⇔x=2^x+1，解得x≈1.444，故交点1个。7.函数l(x)=|x|+|x-1|的图像与y=x的图像的交点坐标是什么？参考答案：(1,1)解析：|x|+|x-1|=x⇔x=1时成立，交点为(1,1)。8.函数m(x)=sin(x)+cos(x)的图像与y=√2的图像的交点个数是多少？参考答案：2解析：sin(x)+cos(x)=√2⇔√2sin(x+π/4)=√2⇔sin(x+π/4)=1⇔x+π/4=2kπ+π/2⇔x=2kπ+π/4，k∈Z，在[0,2π]内x=π/4和5π/4，共2个交点。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.D3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.A10.B二、填空题1.π2.[2,+∞)3.x=π/44.(2kπ,2kπ+π)5.log₂(x+1)6.[0,+∞)7.√58.(0,2)9.右110.π三、判断题1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.×8.×9.√10.√四、简答题1.最小正周期为π，y=sin(2x)向右平移π/8得到；2.y=log₃(x)向左平移1个单位得到y=log₃(x+1)；3.最小值为1，在x=1时取到；4.y=tan(x)向右平移π/3得到y=tan(π/3-x)；5.y=sin(x)的图像先平