2025-2026年四川省人教版高一数学第五十五章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高一数学第五十五章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.函数f(x)=log_2(x+1)的图像关于直线x=1对称的函数是（）A.g(x)=log_2(2-x)B.h(x)=log_2(x-1)C.k(x)=log_2(1-x)D.m(x)=log_2(2+x)解析：函数y=f(x)关于x=a对称的函数为y=f(2a-x)，代入f(x)=log_2(x+1)，对称轴x=1，得g(x)=log_2(2-x)。选项A正确。4.若函数y=ax^2+bx+c的图像经过点(1,0)，且对称轴为x=-2，则b的值为（）A.-4B.4C.-2D.2解析：由对称轴公式x=-b/2a=-2，得b=-4a，又由f(1)=0得a+b+c=0，代入b=-4a得a-4a+c=0，即c=3a，故b=-4a=-4。选项A正确。5.已知等比数列{c_n}中，c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，两式相除得q^2=9，故q=±3。选项C正确。6.函数y=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.3π解析：正弦函数y=sin(ωx+φ)的周期T=2π/|ω|，此处ω=2，故T=2π/2=π。选项A正确。7.已知函数f(x)=x^3-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值是（）A.3B.5C.7D.9解析：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，计算f(-2)=-5，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=3，故最大值为3。选项A正确。8.若数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=2d_n+1，则d_5的值为（）A.31B.32C.33解析：由递推关系d_n+1=2d_n+1，变形为d_n+1+1=2(d_n+1)，即{d_n+1}是首项为2的等比数列，故d_n+1=2^n，d_5=2^5-1=31。选项A正确。9.函数y=|x-1|在区间[0,3]上的图像与x轴围成的面积是（）A.1B.2C.3解析：图像为两段折线，面积S=∫_0^1(1-x)dx+∫_1^3(x-1)dx=[x-0.5x^2]_0^1+[0.5x^2-x]_1^3=0.5+4.5-2=3。选项C正确。10.已知函数f(x)=e^x-1，则f(x)的反函数f^(-1)(x)的值域是（）A.(0,+\infty)B.(-1,+\infty)C.(-\infty,1)D.(-\infty,+\infty)解析：由f(x)=y⇒y=e^x-1⇒x=e^y-1⇒f^(-1)(x)=e^x-1，原函数值域为(0,+\infty)，故反函数值域为(0,+\infty)。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5+a_9=______解：由a_3+a_7=2a_5=12，得a_5=6，故a_5+a_9=2a_7=12。参考答案：122.数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_3=______解：b_3=S_3-S_2=(3^3-1)-(3^2-1)=26-8=18。参考答案：183.函数y=cos(3x-π/4)的图像向右平移π/6个单位后，对应的函数解析式是______解：平移后y=cos[3(x-π/6)-π/4]=cos(3x-π/4-π/2)=cos(3x-3π/4)。参考答案：cos(3x-3π/4)4.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是______解：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，即(2,-1)。参考答案：(2,-1)5.等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=16，则该数列的前4项和S_4=______解：由c_4=c_1q^3⇒q=2，S_4=2(1-2^4)/(1-2)=30。参考答案：306.函数y=tan(2x+π/3)的图像的一个对称中心是______解：令2x+π/3=kπ⇒x=kπ/2-π/6，取k=0得(-π/6,0)。参考答案：(-π/6,0)7.函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的极小值是______解：f'(-1)=0，f'(1)=0，f(-2)=-5，f(-1)=2，f(1)=-1，f(2)=3，极小值为-2。参考答案：-28.数列{d_n}满足d_1=1，d_n+1=3d_n+2，则d_5=______解：变形为d_n+1+1=3(d_n+1)，{d_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，d_n+1=2×3^{n-1}，d_5=2×3^4-1=175。参考答案：1759.函数y=2^x在区间[0,1]上的图像与y轴围成的面积是______解：S=∫_0^12^xdx=[2^x/ln2]_0^1=2/ln2-1/ln2=1/ln2。参考答案：1/ln210.函数f(x)=√(x+1)的定义域是______解：x+1≥0⇒x≥-1。参考答案：[-1,+\infty)三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。解：反例：a_n=n，a_n^2=n^2，a_{n+1}^2-a_n^2=(n+1)^2-n^2=2n+1≠常数，故错误。2.函数y=1/x在区间(0,1)上的图像与x轴围成的面积是1。解：S=∫_0^11/xdx=[lnx]_0^1，积分下限0处无意义，故错误。3.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则其对称轴x=-b/2a一定在y轴左侧。解：当a>0时，若b=0，对称轴x=0在y轴上，故错误。4.等比数列{c_n}中，若c_3=12，c_5=48，则公比q=2。解：q^2=c_5/c_3=48/12=4⇒q=±2，故错误。5.函数y=sin(x+π/2)的图像与y=sin(x)的图像完全相同。解：y=sin(x+π/2)=cosx≠sinx，故错误。6.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的最大值是1。解：f(1)=1，f(-1)=-1，最大值为1，故正确。7.数列{d_n}满足d_n+1=2d_n，则该数列是等比数列。解：d_n+1/d_n=2（常数），故正确。8.函数y=cos(2x)的最小正周期是π。解：T=2π/|ω|=2π/2=π，故正确。9.函数f(x)=x^2-4x+4在区间(-∞,2)上单调递减。解：对称轴x=2，区间(-∞,2)在对称轴左侧，故正确。10.函数f(x)=log_2(x-1)的定义域是(0,+\infty)。解：x-1>0⇒x>1，定义域为(1,+\infty)，故错误。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则该数列的前10项和S_10。解：S_10=10a_1+10×9d/2=50-90=-40。2.求函数y=2sin(3x+π/4)的最小正周期。解：T=2π/|ω|=2π/3。3.求函数f(x)=x^2-6x+9的图像的对称轴方程。解：对称轴x=-b/2a=-(-6)/2=3。4.求等比数列{c_n}中，若c_1=3，q=2，则该数列的前5项和S_5。解：S_5=3(1-2^5)/(1-2)=93。5.求函数y=tan(x-π/3)的图像的一个对称中心。解：令x-π/3=kπ⇒x=kπ+π/3，取k=0得(π/3,0)。6.求函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数f'(1)。解：f'(x)=3x^2-3⇒f'(1)=0。7.求函数y=|x-2|在区间[1,3]上的图像与x轴围成的面积。解：S=∫_1^2(2-x)dx+∫_2^3(x-2)dx=1/2+1/2=1。8.求函数f(x)=e^x在x=0处的切线方程。解：f'(x)=e^x⇒f'(0)=1，f(0)=1，切线方程y=x+1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第5年的产量。解：这是等差数列问题，a_1=1000，d=200，a_5=1000+4×200=1800件。2.某城市人口增长率为每年5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：这是等比数列问题，c_1=100，q=1.05，c_5=100×1.05^5≈127.63万。3.求函数y=2cos(2x-π/3)在区间[0,π]上的最大值和最小值。解：当2x-π/3=-π/2时，y=2×(-√2/2)=-√2；当2x-π/3=0时，y=2，故最大值2，最小值-√2。4.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[-1,3]上的最大值和最小值。解：f'(-1)=0，f'(1)=0，f(-1)=8，f(1)=0，f(3)=0，最大值8，最小值0。5.求函数y=3^x在区间[0,2]上的图像与x轴围成的面积。解：S=∫_0^23^xdx=[3^x/ln3]_0^2=(9-1)/ln3=8/ln3。6.求函数f(x)=√(4-x^2)在区间[-2,2]上的图像与x轴围成的面积。解：S=2∫_0^2√(4-x^2)dx=2×(4π/4)=2π。7.某人投资10000元，年利率为6%，求5年后的本息和（按复利计算）。解：A=10000×(1+0.06)^5≈13382.26元。8.某工厂生产一种产品，成本函数为C(x)=50x+1000，收入函数为R(x)=60x-x^2，求该产品的盈亏平衡点。解：利润函数P(x)=R(x)-C(x)=-x^2+10x-1000，令P(x)=0⇒x=5或x=15，盈亏平衡点为5和15。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.A4.A5.C6.A7.A8.A9.C10.A解析：略二、填空题1.1212.1813.cos(3x-3π/4)14.(2,-1)15.3016.(-π/6,0)2.-218.17519.1/ln