2026年重庆市北师大版高一数学必修第一册第4章函数图像习题集

2026年重庆市北师大版高一数学必修第一册第4章函数图像习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)的图像经过点(1,2)，且其图像关于原点对称，则f(x)的表达式可能是（）A.f(x)=x^3-xB.f(x)=x^2-1C.f(x)=|x|+1D.f(x)=1/x解析：函数图像关于原点对称说明f(x)为奇函数，即f(-x)=-f(x)。选项A中f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-f(x)，符合奇函数定义；选项B为偶函数；选项C既非奇函数也非偶函数；选项D为偶函数。又因为f(1)=2，选项A中f(1)=1^3-1=0≠2，选项D中f(1)=1/1=1≠2，只有选项C中f(1)=|1|+1=2满足条件，但需进一步验证图像对称性。实际上选项C不满足奇函数条件，正确答案应为A，但题目干扰项设计存在缺陷。正确答案为A。2.函数y=2sin(3x+π/4)的图像向右平移φ个单位后得到函数y=sin(3x)的图像，则φ的值为（）A.π/12B.π/6C.π/4D.π/3解析：根据函数平移性质，y=2sin(3x+π/4)向右平移φ得到y=2sin[3(x-φ)+π/4]=sin(3x)，即3(x-φ)+π/4=3x，解得-3φ=-π/4，φ=π/12。正确答案为A。3.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的对称轴方程是（）A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1解析：二次函数f(x)=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/(2a)。本题中a=1，b=-4，对称轴为x=-(-4)/(2×1)=2。正确答案为B。4.函数y=|x-1|+|x+2|的图像形状是（）A.一条直线B.折线C.抛物线D.双曲线解析：|x-a|+|x-b|的图像是连接点(a,0)和(b,0)的折线，其中f(x)=|x-1|+|x+2|的图像连接点(1,0)和(-2,0)，在x∈[-2,1]区间为直线y=-3，x∈(-∞,-2)和x∈(1,+∞)区间为斜率为1和-1的直线。正确答案为B。5.函数y=1/(x-1)的图像关于（）对称A.原点B.x轴C.y轴D.y=x解析：反比例函数y=k/x的图像关于原点对称。正确答案为A。6.函数y=cos(2x-π/3)的图像的一个对称中心是（）A.(π/6,0)B.(π/3,0)C.(π/4,0)D.(π/2,0)解析：cos函数的对称中心满足2x-π/3=kπ+π/2，即x=(kπ+5π/12)/2。当k=0时，x=5π/24，选项中最接近的是π/6。正确答案为A。7.函数y=log_2(x+1)的图像向左平移2个单位后，其反函数的图像的顶点坐标是（）A.(0,-1)B.(-1,0)C.(1,-2)D.(-2,1)解析：y=log_2(x+1)向左平移2得到y=log_2(x+3)，其反函数为y=2^x-3。顶点坐标为(0,-3)，但题目问的是平移前原函数反函数的顶点，原函数y=log_2(x+1)的反函数为y=2^x-1，顶点为(0,-1)。正确答案为A。8.函数y=sin(x)和y=cos(x)的图像在[0,2π]区间内的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：令sin(x)=cos(x)，即tan(x)=1，解得x=π/4,5π/4∈[0,2π]。正确答案为B。9.函数y=|sin(x)|的图像与y=cos(x)的图像在[0,2π]区间内的交点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：|sin(x)|=cos(x)等价于sin(x)=cos(x)或sin(x)=-cos(x)，解得x=π/4,3π/4,5π/4,7π/4。正确答案为C。10.函数y=tan(x)的图像在(π/2,π)区间内（）A.单调递增B.单调递减C.无定义D.无法判断解析：tan(x)在(π/2,π)区间内无定义。正确答案为C。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=3|x|的图像的对称轴方程是________。参考答案：x=0解析：绝对值函数y=|ax|的图像对称轴为x=0。2.函数y=sin(2x+π/3)的图像的周期是________。参考答案：π解析：sin(kx)的周期为2π/k，即2π/2=π。3.函数y=x^2-2x+1的图像的顶点坐标是________。参考答案：(1,0)解析：顶点坐标为(-b/(2a),f(-b/(2a)))，即(1,0)。4.函数y=1/(x+2)的图像的渐近线方程是________和________。参考答案：x=-2，y=0解析：反比例函数y=k/(x-a)的渐近线为x=a和y=0。5.函数y=2^x的图像经过点________。参考答案：(0,1)解析：指数函数y=a^x恒过(0,1)。6.函数y=cos(x)的图像关于点________对称。参考答案：(π/2,0)解析：cos函数的对称中心为(kπ+π/2,0)。7.函数y=log_3(x-1)的定义域是________。参考答案：(1,+∞)解析：对数函数log_a(b)的定义域为b>0，即x-1>0。8.函数y=sin(x)的图像向右平移π/2个单位后得到函数________。参考答案：cos(x)解析：sin(x)向右平移π/2得到cos(x)。9.函数y=|x-2|的图像的最低点是________。参考答案：(2,0)解析：|x-a|的图像最低点为(a,0)。10.函数y=tan(x)的图像的对称中心是________。参考答案：(π/2,0)解析：tan函数的对称中心为(kπ+π/2,0)。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数y=-x^2的图像与y=x^2的图像关于x轴对称。（×）解析：y=-x^2是y=x^2关于x轴的对称图像。2.函数y=sin(2x)的图像的周期是π。（√）解析：sin(kx)的周期为2π/k，即2π/2=π。3.函数y=|x|的图像是中心对称图形。（×）解析：|x|的图像是轴对称图形，不是中心对称图形。4.函数y=1/x的图像经过原点。（×）解析：1/x的图像不经过原点。5.函数y=cos(x)的图像关于y轴对称。（√）解析：cos(x)是偶函数，图像关于y轴对称。6.函数y=sin(x)的图像向左平移π/2得到y=cos(x)。（√）解析：sin(x)向左平移π/2得到cos(x)。7.函数y=log_2(x)的图像经过点(1,0)。（√）解析：log_a(1)=0，即log_2(1)=0。8.函数y=tan(x)的图像是中心对称图形。（√）解析：tan(x)是奇函数，图像关于原点中心对称。9.函数y=|x-1|的图像的对称轴是x=1。（√）解析：|x-a|的图像对称轴为x=a。10.函数y=sin(x)的图像与y=cos(x)的图像没有交点。（×）解析：sin(x)=cos(x)在[0,2π]有两个交点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数y=sin(2x)在[0,π]区间内的单调递增区间。参考答案：[0,π/4]和[3π/4,π]解析：sin(2x)在2x∈[-π/2+kπ,π/2+kπ]单调递增，即x∈[-π/4+kπ/2,π/4+kπ/2]，取k=0,1得[0,π/4]和[3π/4,π]。2.求函数y=|x-1|+|x+2|的最小值及取得最小值时的x值。参考答案：最小值为3，x∈[-2,1]解析：|x-a|+|x-b|的最小值为|a-b|，即3，取得最小值时x在[a,b]区间内。3.求函数y=1/(x-1)的图像的渐近线方程。参考答案：x=1和y=0解析：分式函数y=k/(x-a)的渐近线为x=a和y=0。4.求函数y=log_3(x+1)的定义域和值域。参考答案：定义域(-1,+∞)，值域R解析：对数函数log_a(b)定义域b>0，值域为R。5.求函数y=sin(x)的图像向右平移π/3个单位后的表达式。参考答案：y=sin(x-π/3)解析：sin(x)向右平移φ得到sin(x-φ)。6.求函数y=cos(x)的图像关于点(π/2,0)对称的函数表达式。参考答案：y=-cos(x)解析：cos(x)关于(π/2,0)对称的函数为-cos(x)。7.求函数y=tan(x)在(0,π/2)区间内的单调性。参考答案：单调递增解析：tan(x)在(0,π/2)单调递增。8.求函数y=|x|的图像的对称轴方程。参考答案：x=0解析：|x|的图像对称轴为x=0。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)=sin(2x+φ)的图像经过点(π/4,0)，求φ的值。参考答案：φ=kπ-π/4解析：f(π/4)=sin(π/2+φ)=0，即π/2+φ=kπ，φ=kπ-π/4。2.已知函数y=|x-a|+|x-b|的图像顶点为(2,3)，求a,b的值。参考答案：a=1,b=3或a=3,b=1解析：|x-a|+|x-b|的图像顶点为(a,b)的中点，即(2,3)是(a,b)的中点，解得a=1,b=3或a=3,b=1。3.已知函数y=1/(x-1)的图像经过点(2,k)，求k的值。参考答案：k=1解析：f(2)=1/(2-1)=1。4.已知函数y=log_2(x+m)的图像经过点(1,2)，求m的值。参考答案：m=3解析：log_2(1+m)=2，即1+m=4，m=3。5.已知函数y=sin(ωx)的周期为π，求ω的值。参考答案：ω=2解析：sin(kx)的周期为2π/k，即2π/ω=π，ω=2。6.已知函数y=cos(x)的图像向左平移π/2得到函数y=sin(x)，求证。证明：cos(x)向左平移π/2得到cos(x+π/2)=-sin(x)，而sin(x)=-cos(x+π/2)，即y=sin(x)。7.已知函数y=|x-1|的图像与y=kx+2相交于点(3,b)，求k和b的值。参考答案：k=-1/2,b=2解析：f(3)=|3-1|=2，即b=2；又b=3k+2，解得k=-1/2。8.已知函数y=tan(x)的图像关于点(π/4,0)对称，求证。证明：tan(x)关于(π/4,0)对称等价于tan(x)=-tan(π/2-x)，即tan(x)=-cot(x)，而-cot(x)=tan(-x)，即tan(x)=tan(-x)，成立。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.B4.B5.A6.A7.A8.B9.C10.C解析：第1题需注意奇函数条件，第2题需掌握平移公式，第3题用对称轴公式，第4题用分段函数性质，第5题用反比例函数性质，第6题用周期公式，第7题需考虑反函数性质，第8题用三角函数交点，第9题用绝对值函数交点，第10题用反比例函数性质。二、填空题1.x=02.π3.(1,0)4.x=-2,y=05.(0,1)6.(π/2,0)7.(1,+∞)8.cos(x)9.(2,0)10.(π/2,0)解析：第1题用绝对值函数对称轴，第2题用周期公式，第3题用顶点公式，第4题用渐近线公