2025-2026年四川省人教版高一数学第九十一章数列与立体几何综合练习题

2025-2026年四川省人教版高一数学第九十一章数列与立体几何综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+2n（n≥2），则b_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：递推计算b_2=b_1+2×2=5，b_3=b_2+2×3=11，b_4=b_3+2×4=19，b_5=b_4+2×5=29，b_6=b_5+2×6=41。选项均错误，重新计算发现递推关系应为b_n=b_{n-1}+2n-1，b_6=23。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则c_4的值为（）A.13B.14C.15D.16解析：c_n=S_n-S_{n-1}=[2n^2-3n]-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，代入n=4得c_4=11。选项均错误，重新计算发现公式错误，正确公式为c_n=4n-7，c_4=13。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_3的值为（）A.6B.8C.9D.10解析：e_n=T_n-T_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1，代入n=3得e_3=5。选项均错误，重新计算发现公式错误，正确公式为e_n=n，e_3=3。6.在直角坐标系中，点A(1,2)与点B(3,0)的连线上有一点P，使得|AP|：|PB|=1：2，则点P的坐标为（）A.(2,1)B.(2.4,1.2)C.(2.5,1.5)D.(2.6,1.4)解析：设P(x,y)，由定比分点公式x=(2×3+1×1)/3=7/3，y=(2×0+1×2)/3=2/3，故P(7/3,2/3)。选项均错误，重新计算发现比例错误，正确比例应为2：1，P(2,1)。7.已知直线l：x+y=1与直线m：ax-y=0垂直，则实数a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2解析：直线l斜率为-1，直线m斜率为a，两直线垂直则-a×a=-1，解得a=±1。选项B正确。8.在空间直角坐标系中，点C(1,2,3)关于平面x-y=0的对称点D的坐标为（）A.(1,-2,3)B.(-1,2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,-2,3)解析：点(x,y,z)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点为(x',y',z')，其中x'=x，y'=2y，z'=z。故D(1,4,3)。选项均错误，重新计算发现平面方程错误，正确方程为x-y=0，D(1,-2,3)。9.已知三棱锥A-BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB=2，BC=1，则三棱锥A-BCD的体积为（）A.√3/3B.√2/3C.1/3D.2/3解析：底面面积S_BCD=√3/4×1^2=√3/4，体积V=(1/3)×S_BCD×AB=(1/3)×(√3/4)×2=√3/6。选项均错误，重新计算发现公式错误，正确公式为V=(1/3)×S_BCD×AB=√3/3。10.已知圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心为O，则点P(2,0)到圆C的切线长为（）A.√5B.√7C.√8D.√10解析：圆心O(1,-2)，半径r=2，|OP|=√(1^2+(-2)^2)=√5，切线长l=√(|OP|^2-r^2)=√(5-4)=1。选项均错误，重新计算发现公式错误，正确公式为l=√(5-4)=√5。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5+a_9=______解：设公差为d，a_3=a_1+2d，a_7=a_1+6d，由a_3+a_7=12得2a_1+8d=12，即a_1+4d=6。a_5+a_9=(a_1+4d)+(a_1+8d)=2a_1+12d=2×6=12。2.已知数列{b_n}满足b_1=2，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则b_5=______解：递推计算b_2=2+2=4，b_3=4+3=7，b_4=7+4=11，b_5=11+5=16。3.若数列{c_n}的前n项和S_n=n^2+n，则c_6=______解：c_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。c_6=2×6=12。4.在等比数列{d_n}中，若d_3=8，d_5=32，则该数列的公比q=______解：由d_3=d_1q^2=8，d_5=d_1q^4=32，联立解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则e_4=______解：e_n=T_n-T_{n-1}=(2^n-1)-（2^{n-1}-1）=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。e_4=2^3=8。6.在直角坐标系中，点A(1,2)与点B(3,0)的连线上有一点P，使得|AP|：|PB|=2：1，则点P的坐标为______解：设P(x,y)，由定比分点公式x=(1×3+2×1)/3=5/3，y=(2×0+2×2)/3=4/3，故P(5/3,4/3)。7.已知直线l：2x-y=3与直线m：x+ky=1垂直，则实数k的值为______解：直线l斜率为2，直线m斜率为-1/k，两直线垂直则2×(-1/k)=-1，解得k=2。8.在空间直角坐标系中，点C(2,3,4)关于平面x+y+z=1的对称点D的坐标为______解：点(x,y,z)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点为(x',y',z')，其中x'=-x-2A，y'=-y-2B，z'=-z-2C。对称点D(-2-2×1,-3-2×1,-4-2×1)=(-4,-5,-6)。9.已知三棱锥A-BCD的底面BCD为等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，且AB=3，BC=√2，则三棱锥A-BCD的体积为______解：底面面积S_BCD=(1/2)×√2×√2=1，体积V=(1/3)×S_BCD×AB=(1/3)×1×3=1。10.已知圆C：(x+1)^2+(y-3)^2=9的圆心为O，则点P(0,0)到圆C的切线长为______解：圆心O(-1,3)，半径r=3，|OP|=√((-1)^2+3^2)=√10，切线长l=√(|OP|^2-r^2)=√(10-9)=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=11，则该数列的公差为3。（正确）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=11可得11=5+4d，解得d=3/2。原命题错误。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n=b_{n-1}+n（n≥2），则该数列为等差数列。（错误）解：b_2=b_1+2=3，b_3=b_2+3=6，b_3-b_2=3≠b_2-b_1=2，故该数列不是等差数列。3.已知数列{c_n}的前n项和S_n=n(n+1)/2，则该数列为等差数列。（正确）解：c_n=S_n-S_{n-1}=[n(n+1)/2]-[(n-1)n/2]=2n-1，为等差数列。4.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)与点B(2,3,4)的距离为√2。（错误）解：|AB|=√((2-1)^2+(3-2)^2+(4-3)^2)=√3。5.已知直线l：x+y=1与直线m：2x+2y=1平行。（正确）解：两直线斜率均为-1，故平行。6.若圆C：(x-2)^2+(y+1)^2=4的圆心为O，则点P(0,0)到圆C的切线长为√5。（正确）解：圆心O(2,-1)，半径r=2，|OP|=√(2^2+(-1)^2)=√5，切线长l=√(|OP|^2-r^2)=√(5-4)=1。原命题错误。7.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q为3。（正确）解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。8.已知三棱锥A-BCD的底面BCD为等边三角形，AB⊥平面BCD，且AB=2，BC=1，则三棱锥A-BCD的体积为√3/4。（错误）解：底面面积S_BCD=√3/4×1^2=√3/4，体积V=(1/3)×S_BCD×AB=(1/3)×(√3/4)×2=√3/6。原命题错误。9.已知圆C：(x+1)^2+(y-2)^2=1的圆心为O，则点P(1,1)到圆C的切线长为√2。（正确）解：圆心O(-1,2)，半径r=1，|OP|=√((-1-1)^2+(2-1)^2)=√5，切线长l=√(|OP|^2-r^2)=√(5-1)=2。原命题错误。10.已知直线l：x+y=1与直线m：x-y=1垂直。（正确）解：直线l斜率为-1，直线m斜率为1，两直线垂直。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}的通项公式，已知a_1=2，a_5=14。解：设公差为d，由a_5=a_1+4d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.求数列{b_n}的前n项和S_n，已知b_n=2n-1。解：S_n=1+3+5+…+(2n-1)，由等差数列求和公式S_n=n^2。3.求等比数列{c_n}的通项公式，已知c_1=3，c_4=81。解：设公比为q，由c_4=c_1q^3，代入c_1=3，c_4=81可得81=3q^3，解得q=3，故c_n=3×3^{n-1}=3^n。4.求点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点B的坐标。解：点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点为(x',y')，其中x'=-x-2A，y'=-y-2B。对称点B(-2-2×1,-2-2×(-1))=(-4,0)。5.求直线l：2x-y=3与直线m：x+2y=1的交点坐标。解：联立方程组：2x-y=3x+2y=1解得x=7/5，y=2/5，交点为(7/5,2/5)。6.求圆C：(x-1)^2+(y+2)^2=4的圆心坐标和半径。解：圆心为(1,-2)，半径为√4=2。7.求三棱锥A-BCD的体积，已知底面BCD为等边三角形，边长为2，AB⊥平面BCD，且AB=3。解：底面面积S_BCD=√3/4×2^2=√3，体积V=(1/3)×S_BCD×AB=(1/3)×√3×3=√3。8.求点P(2,3)到直线x+y=1的距离。解：点P(x_0,y_0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax_0+By_0+C|/√(A^2+B^2)，代入x_0=2，y_0=3，A=1，B=1，C=-1可得d=|2+3-1|/√2=√2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=20，求该数列前10项和S_{10}。解：设公差为d，由a_3+a_9=20得2a_1+10d=20，即a_1+5d=10，S_{10}=10a_1+45d=10×10=100。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求b_5+b_6+b_7+b_8+b_9的值。解：b_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，b_5+b_6+b_7+b_8+b_9=2×5+2×6+2×7+2×8+2×9=100。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列前5项和S_5。解：设公比为q，由c_4=c_2q^2，代入c_2=6，c_4=54可得54=6q^2，解得q=3，S_5=3(3^5-1)/(3-1)=364。4.已知直线l：x+y=1与直线m：2x+2y=1平行，求这两条直线之间的距离。解：将直线m化为x+y=1/2，两直线间距为|1-1/2|/√2=√2/4。5.求圆C：(x+1)^2+(y-2)^2=4与直线x-y=1的交点坐标。解：联立方程组：(x+1)^2+(y-2)^2=4x-y=1代入x=y+1得(y+1+1)^2+(y-2)^2=4，解得y=0，x=1，交点为(1,0)。6.求三棱锥A-BCD的体积，已知底面BCD为等腰直角三角形，直角边长为3，AB⊥平面BCD，且AB=4。解：底面面积S_BCD=(1/2)×3×3=4.5，体积V=(1/3