暨南大学高数考试题及答案

暨南大学高数考试题及答案一、选择题（8题，每题3分，共24分）

1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得下列哪个结论成立？

A.f(ξ)=0

B.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

C.f(ξ)=∫[a,b]f(x)dx

D.ξ=(a+b)/2

2.极限lim(x→0)(sinx/x)的值是？

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

3.函数f(x)=x^3-3x+2在区间[-2,2]上的最大值点是？

A.-2

B.-1

C.1

D.2

4.下列哪个函数在区间(0,1)内单调递增？

A.f(x)=-x^2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=x^3

D.f(x)=sinx

5.设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)≠0，则函数f(x)在点x0处？

A.必定取得极值

B.不可能取得极值

C.可能取得极值

D.必定单调

6.不定积分∫(x^2+1)dx的结果是？

A.x^3/3+x

B.x^2/2+x

C.x^3/3+x+C

D.x^2/2+x+C

7.曲线y=e^x在点(1,e)处的切线斜率是？

A.e

B.1

C.1/e

D.-e

8.级数∑(n=1to∞)(1/n^2)的敛散性是？

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

D.无法判断

二、（一）多项选择题（5题，每题4分，共20分）

1.下列哪些函数在区间(-∞,∞)上连续？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=1/(x-1)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=tanx

2.下列哪些函数在区间(0,1)内可导？

A.f(x)=√x

B.f(x)=|x-1/2|

C.f(x)=sinx

D.f(x)=1/x

3.下列哪些函数在区间(0,1)内单调递减？

A.f(x)=-x

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=cosx

4.下列哪些函数在区间(-∞,∞)上可积？

A.f(x)=sinx

B.f(x)=x^2

C.f(x)=1/x

D.f(x)=e^x

5.下列哪些级数收敛？

A.∑(n=1to∞)(1/n)

B.∑(n=1to∞)(1/n^2)

C.∑(n=1to∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1to∞)(1/n^3)

（二）判断题（7题，每题2分，共14分）

1.若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上必有界。

2.若函数f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处必连续。

3.若函数f(x)在区间(a,b)内单调递增，则f'(x)>0。

4.若函数f(x)在区间(a,b)内可积，则f(x)在区间(a,b)内必连续。

5.若级数∑(n=1to∞)an收敛，则级数∑(n=1to∞)|an|也收敛。

6.若函数f(x)在点x0处取得极值，且f'(x0)存在，则f'(x0)=0。

7.若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则f(x)在区间(a,b)内必有原函数。

三、（一）填空题（6题，每题3分，共18分）

1.极限lim(x→2)(x^2-4/x-2)的值是________。

2.函数f(x)=x^3-3x+2的导数f'(x)是________。

3.曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是________。

4.不定积分∫(x^3-1)dx的结果是________。

5.级数∑(n=1to∞)(1/(2n-1))的敛散性是________。

6.函数f(x)=sinx在区间[0,π]上的积分值是________。

（二）计算题（4题，每题6分，共24分）

1.计算极限lim(x→0)(sin2x/sin3x)。

2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。

3.计算不定积分∫(x^2+2x+1)dx。

4.计算定积分∫[0,1](x^2+x)dx。

四、综合题（2题，每题10分，共20分）

1.设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)=f(b)，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=0。

2.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=f(1)，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f'(ξ)=0。

五、材料分析题（2题，每题14分，共28分）

1.分析函数f(x)=x^3-3x在区间[-2,2]上的单调性、极值和凹凸性。

2.分析级数∑(n=1to∞)(n/(n+1))的敛散性。

答案部分：

一、选择题

1.B

2.B

3.C

4.C

5.C

6.D

7.A

8.C

二、（一）多项选择题

1.A,C

2.A,C,D

3.A,B,C

4.A,B,D

5.B,C,D

（二）判断题

1.√

2.√

3.√

4.×

5.×

6.√

7.√

三、（一）填空题

1.2

2.3x^2-3

3.y=2x-1

4.x^4/4-x+C

5.发散

6.2

（二）计算题

1.2/3

2.极值点在x=1

3.x^3/3+x^2+x+C

4.3/2

四、综合题

1.证明略（利用罗尔定理）

2.证明略（利用中值定理