《利息理论》-教学课件

利息理论课堂的性质与教学目标

《利息理论》是保险专业的一门专业必修课程。

本课程教学的主要内容是介绍利息理论的基本知识，包括：利息的基本概念、年金、收益率、债务偿还等。

目的是让学生了解利息理论的基本概念，了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理利息的基本思想和方法，培养学生运用利息理论分析和解决实际问题的能力。

利息理论

第一章利息的度量

第三章基本年金

第二章利息问题的计算

第五章收益率

第四章一般年金

第六章债务偿还引言要点利息理论的起源西方利率理论

早在三、四千年以前的原始社会末期，利息就存在了。利息存在的基础是商品、货币及信用关系。利息的最早形式是高利贷利息。17世纪以前，对利息问题的讨论是极肤浅的，这种讨论并末对以后的利息研究构成什么理论基础。当时，大多数人都倾向于反对利息的存在，对利息问题的探讨也主要以神学的观点和方法为主，很少涉及经济或法律的考虑。以后，人们逐渐从民法的观点去讨论利息问题。这样，利息研究才慢慢地被引致经济的基础上。从17世纪起，经济学家们开始了对利息理论的系统研究。荷兰经济学家克迪亚斯·萨尔马西斯无论从时间上还是从当时的研究水准上，都堪称利息研究的先驱者。他从1638年起，在很短的时间里，连续发表了不少著作。如：《论利息》（1638年）、《论利息的形态》（1639年）、《论钱庄利息》（1640年）等。萨尔马西斯的利息研究具有开创性意义，并为以后的利息研究奠定了基础。在长达几个世纪的利息研究过程中，曾出现过形形色色的理论。如节欲论；时间偏好论；边际效用论；流动偏好论和可贷资金论等。将此不同的利息粗略的分为两大学派：实际利息理论和货币利息理论。流动偏好利息理论亦称凯恩斯利息理论。凯恩斯（1886-1964年）是英国著名资产阶级经济学家，他的利息理论是在修正和发展传统利息理论的基础上建立起来的。从传统利息理论看，其基本点是利息源于储蓄的报酬。凯恩斯正是在批判传统利息理论的基础上，首先提出了流动性偏好利息理论。所谓流动性偏好，是指人们不愿以股票、债券等资本形式保存财富，而愿以货币或存款形式保存财富的一种心理动机。这是因为持有货币既消除了人们对未来的不安定感，又为货币持有者提供了便利条件。在凯恩斯之前，一些经济学家的利率决定理论，例如：西尼耳的节欲论；马歇尔的利息忍耐法；庞巴维克的时差利息说；费雪的时间偏好说等，都认为是非货币因素在利率确定上起决定作用的货币因素对利率的影响只是短暂的。

所谓边际生产力，是指在其它条件不变的情况下，最后追加一单位某种生产要素所增加的产量，克拉克（美国经济学家1847-1938年）首先提出了边际生产力这一概念，并以此说明工资、利息和地租的决定。他认为工资是由劳动的边际生产力决定，利息是由资本的边际生产力决定，地租是由土地的边际生产力决定，其理由是在完全竞争的静态环境里存在着按资本和劳动各自对生产的实际贡献，也就是按各自的边际生产力来决定其收入分配的。

从边际生产力这一概念出发，利息显然取决于资本的边际生产力，假定其它生产条件不变，只是继续追加资本，那么每一资本单位的产量也要递减，而最后追加一个单位资本的产量（产值）称为资本的边际产量（产值），即资本的边际生产力。正是资本的这种边际生产力，即最后追加的一单位资本的产量（产值）决定了利息的多少。奥地利经济学家庞巴维克（1891-1914年）提出的“时差利息论”就是从们的主观效用评价去分析利息决定问题的。庞巴维克的“时差”，就是指公众对现在财货的评价往往要大于对未来财货之评价，于是便导致了财货价值因时间的差

别而产生的差异。时差的存在，要求未来财贷所有者向现在财货所有者支付相当于价值差的贴水。而贷款与投资都是是将现在财货变成未来财货，所以，也要求提供相当的报酬以资弥补这种价值时差的贴水。美国边际学派代表欧文·费雪（1867-1947年）承袭并进一步发展了庞巴维克的利息理论，认为利息是现在财货与将来财货相交换时的贴水，费雪从资金的供求来讨论利率的决定，认为资金供应的决定性因素是自愿储蓄或自愿推迟消费的倾向，它们的强弱却是取决了“时间偏好程度”，也就是偏好享受的程度而定，而资金需求的决定性因素则是投资机会，即资本的边际生产率。…费雪虽然能从资金的供求来认识利率的形成和决定问题，即由时间偏好决定的储蓄曲线和由资本的边际生产力决定的投资曲线的交战决定均衡利率水平。但是，他并未考虑货币量和货币流通速度等因素。§1利息的度量内容积累函数与贴现单利与复利实际利率与名义利率实际贴现率与名义贴现率利息强度

利息：在一定时期内，资金拥有人将使用资金的自由权转让给借款人后所得到的报酬

。银行需付存款人一定利息，因其在存款期间可自由使用存款人的资金。存款人得到利息，是因其在存款期间内转让了使用资金的自由权。资金和利息不必均为货币资金和利息不必用同一种商品表示尽管资金和利息均不必为货币，但在实际应用中几乎所有的本金和利息都是用货币来表示的。

利率：单位时间、单位资金（本金）所获得的利息

一般说来，任何一项普通的金融业务都可看作是投资一定数量的资金以产生一定量的利息。因此，利息的多少是衡量该项业务“好”、“坏”的一个重要指标。这样利息的度量就显得尤为重要了。一、影响利息的因素本金。把每项业务开始时投资的金额称为本金。而把业务开始一定时间后回收的总金额称为该时刻的积累值或终值。时期。从投资日算起的时间长度。在理论上，投资的时间可用许多不同的单位来度量，如日、月、年等，最常用的是一年。用来度量时间的单位称为“度量期”或“期”，一般不作特别说明时，均可认为一个度量期为一年。通货膨胀。通货膨胀越严重，货币的贬值就越厉害，此时对资金的使用就应得到较高的利息。风险。在经济生活中，存在着各种各样的风险因素，如国家经济政策的变化、资本市场的波动等，它们将影响使用资本得到的收益。

二、单位积累函数和总量积累函数考虑一个单位的本金投资，我们定义该项投资在时刻t的积累值为单位积累函数a(t)。a(t)具有如下性质：

1、a(0)=1;

2、a(t)通常是递增函数；

3．a(t)通常是连续函数。积累函数a(t)有时也称作t期积累因子，因为它是单位本金在t期末的积累值。在实际中，投资通常不止一个单位，而是k（＞0）个单位的本金。考虑一般情况，我们定义总量积累函数A（t),它表示初始投资额为k个单位的本金在t（＞0）时刻的积累值。

显然有：A(t)=k·a(t)和A(0)=kA(t)与a(t)具有完全类似的性质。a(t)可看作是k=1时的总量积累函数。在许多情况下，二者可以互相替换使用。积累函数a(t)的倒数a-1(t)为t期折现因子或折现函数

。第t期折现因子a-1(t)是为了使在t期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。特别把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子，并记为v。我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。显然a-1(t)

是在t期末支付1的现值。在t期末支付k的现值为k·a-1(t)在此所说的“积累值”严格地讲只与过去的付款有关；“现值”只与将来的付款有关；而对于既可以与过去的付款有关，又可以与将来的付款有关的值，将使用“当前值”这个词。

三、实际利率

利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。

定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，称为该期的实际利率。

用积累函数来定义即为：

i＝a(1)－a(0)或a(1)＝1+i关于这个定义有几点值得注意：

1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率”相对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。

2、实际利率常用百分数表示。如：i=8%。3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入也没有本金被取出。

4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。

支付利息的二种方式期末支付这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本金1000元，另加80元利息。期初支付这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入资本之时即获得利息。

上例中。此时若设贷款利率为8%的预付利息它是在投入资本之时即获得利息。则此人在年初就必须付给银行80元的利息。也就是说，此人在年初实际可用的资本为920元，到年末时，此人偿还银行本金1000元。实际利率其实就是单位本金在给定的时期上产生的利息金额。实际利率还可用积累函数如下定义：

其中：I1=A(1)-A(0)，（It表示的是一个时间段上所获得的利息量，而A（t）表示的是某个点的积累值）在任何度量期上的实际利率均可计算。设i是由投资日开始第n个计算期的实际利率。我们有：

对整数n≥1按照这个定义，前式中的i应用i1表示更确切。

例2.1：某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元。问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？【解】已知：A(0)=1000，A(1)=1050，A(2)=1100,

因此，I1=A(1)-A(0)=50（元）

I2=A(2)-A(1)=50（元）故第一年的实际利率为5%，第二年的实际利率为4.762%＃

四、单利与复利

单利假定一个单位的投资在每个单位时间所赚取的利息是相等的，而利息并不用于再投资。按这种形式增长的利息，我们称为单利。定义：若投资（一单位）的本金在t时的积累值为：a(t)=1+i·t我们则称该笔投资以每期单利i计算，并将这样产生的利息称为单利。

复利简单地说，利息被再投资以赚取额外的利息，按这样的方式增长的利息就称为复利。

考虑在利率i下一个单位的投资，在第一年末可得本利和1+i,将1+i作为第二年初的投资，那么在第二年末可得利息i(1+i)，本利和为(1+i)+i(1+i)=(1+i)2。…

年本金利息本利和

11i1+i21+ii(1+i)(1+i)2

…

…

…

…t…

…(1+i)t

依此类推，到第t年可得到该投资的复利终值为(1+i)t

，t为非负整数。定义：若投资（一单位）的本金在t时的积累值为：a(t)=(1+i)t，我们则称该笔投资以每期复利i计算，并将这样产生的利息称为复利。说明

1、若以每期单利i计算，那么，在投资期间，每一度量期产生的利息均为常数i，但这并不意味着其实际利率为i。事实上，按前述定义，对于整数n≥1，第n期的实际利率为：显然，in关于n单调递减，也就是说，常数的单利意味着递减的实际利率。

2、若以每期复利i计算，则在投资期间，不同时期将产生不同量的利息。事实上，In=a(n)-a(n-1)=(1+i)n-(1+i)n-1=i·(1+i)n-1=i·a(n-1)

显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有

与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同的，这也是复利与单利区别之一。单利与复利的比较

1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不然，它采用的是“利滚利”。

2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时，(1+i)t≤1+it；

3、单利和复利的增长形式不同。就单利而言，它在同样长时期增长的绝对金额为常数；而对复利来说，它增长的相对比率保持常数。复利几乎用于所有的金融交易中，包括一年或更长期的，也常用于短期交易。单利偶尔用于短期交易和作为不是一个度量期复利的近似值。如无特别说明，我们均用复利而不是单利。

例2.2:

已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的现值。【解】由于i=8%，故a(4)=(1+8%)4，则现值为：

PV=10000·a-1(4)=10000/(1+8%)4=7350.3(元)

故，4年后支付10000元的现值为7350.3元。＃五、实际贴现率首先我们来看一个例子。如果甲去银行借100元，以年实际利率6%计息，银行给了甲100元，一年后甲要还给银行100元的原贷款加上利息6元，总额为106元。但是如果甲以实际贴现率6%向银行借款100元，那么银行将先收取6%的利息（即利息在期初支付），而只给甲94元，一年后，甲偿还贷款100元。这个例子很清楚的说明了6%的实际利率和6%的实际贴现率是不同的。虽然同样都是支付6元的利息，但第一种情况是在年末支付利息，在这一年中甲可以得到100元的使用权；第二种情况是在年初支付利息，在这一年中甲只能使用94元。从上例可以看出，实际利率其实是对期末支付利息的度量，而实际贴现率则是对期初支付利息的度量。换一个角度重新考虑上例，在实际利率的情况下，6%是作为年初资金的百分比；而在实际贴现率的情况下，6%是作为年末资金的百分比。这样我们可以得到实际贴现率的准确定义。

定义：一个度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比称为实际贴现率。通常用d表示实际贴现率。对以上定义应注意以下几点：

1、在实际利率定义后的注意事项1、2、3同样适合于实际贴现率的定义；

2、在涉及贴现率时，“贴现金额”与“利息金额”这两个词可以互换使用。

3、在定义中不使用“本金”这个词，因为本金这个概念涉及的是期初的投资量，而不是期末的。

4、实际利率与实际贴现率间的关键区别如下：利息--------在期初余额的基础上期末支付。贴现--------在期末余额的基础上期初支付。有些人发现与贴现率相关的“支付”这个词的使用有时容易混淆，因为借款人并不直接按利息支付利息。但是先扣除利息这个结果与何时借到足够的钱后立即支付利息并没什么不同。根据实际贴现率的定义，我们可以得到公式：

dn为从投资日算起第n个时期的实际贴现率。一般来说在不同时期的值不同。但如果是复利率，在这种情况下，实际利率为常数，实际贴现率也为常数。

例2.3：重新考虑例2.1中存款。其中所述的事件不变，求第一年、第二年的实际贴现率？【解】由题意可得：故：第一年、第二年的贴现率分别为4.762%和4.545%。＃

实际利率和实际贴现率都是用来度量利息的。在前面我们说明了6%的实际利率与6%的实际贴现率是不同的。但它们之间存在着相互关系，为推导这个关系，我们给出“等价”的定义。

定义：如果对给定的投资金额，在同样长的时期内，它们产生同样的积累值，则称这两个利率或贴现率是等价的。

由下表期初期末

i=6.383100106.383d=6%100106.383

可知：年实际贴现率6%与年实际利率6.383%等价。一般地，如果某人以实际贴现率d借款1元，那么实际上本金是1-d，利息（或贴现）金额为d,若这笔业务的实际利率为i，则有：实际贴现率（或称复贴现率）是假定利率为复利率。我们也可象定义单利那样定义单贴现。（详见教材）

六、名义利率和名义贴现率前面我们介绍了实际利率和实际贴现率，“实际”一词的主要含义在于利息为每个度量期支付一次，或在期初，或在期末，视具体情况而定。然而，实际问题中，往往有许多在一个度量期中支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次的情形，这时，相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。

名义利率名义利率是相对实际利率而言的.我们通过例子来说明名义利率的概念.在实际中常常会有一年中利息结算多次的情况,这里的结算是指把利息转成本金，即计息期小于一年的情况。例如，一笔金额为P元的款项，年利率为10%，每半年结算

一次，也就相当于这笔款项每半年的利息为5%。在复利情况下，经过两个半年，即一年后本利和为：

P(1+0.05)2=P×1.1025

这就相当于在这一年的实际利率为0.1025，即10.25%。这就由于利息的结算次数不同，产生了利率的“名不副实”，与之相应的实际利率不再是10%了，于是，我们把这个10%称为名义利率。我们用i(m)表示每一度量期支付m次利息的名义利率。其中m一般为大于1的整数。

定义:所谓名义利率i(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次,而在每1/m个度量期上的实际利率为i(m)/m。由等价的定义，我们可以得到i(m)与等价的实际利率i之间的关系。或及由公式可证明i与i(m)的关系如下：

1、若m＝1则i＝i(m);

即每年复利一次，则实际利率与名义利率相等。

2、若m＞1则i＞i(m);

即每年复利次数多于一次时，则实际利率大于名义利率。

3、若m＜1则i＜i(m);

即若一年以上复利一次，则名义利率大于实际利率。

名义贴现率与名义利率类似，用符号d(m)记每一度量期支付m次利息的名义贴现率。

所谓名义贴现率d(m)，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的实际贴现率为d(m)/m。

名义贴现率d(m)是一种在1/m个度量期初支付利息的度量，正如d是在一个度量期初支付的利息的度量一样。与推导i(m)与i之间的关系相类似，我们可以推导d(m)与d之间的关系：

或及

在上式中，若m＞1，则d(m)＞d。即实际贴现率小于名义利率。在名义利率与名义贴现率之间有着十分密切的关系：

*上式一般可用于求任意期间复利的等价的实际或名义利率和贴现率。

若m=p，则上式变为：

若m=1，则i(m)

＝i，即为实际利率;

若p=1，则d(p)

＝d，即为实际贴现率i(m)与d(m)

之间有下列关系

：

此段中给出的等价定义及推导结果是用于一个度量期上的比较。事实上在复利率或复贴现率下两个利率等价不依赖于所选择的比较期（即此等价关系建立等式时并不要求在一个度量期上）。但对于其他方式的利率，如单利和单贴现，等价的利率将依赖于比较期的选择。

另一个值得注意的利率问题是利率的描述，因为实务中有关利率的术语不统一，而且有些术语有多重含义。

例2.4

(1)求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名义利率，以及每年计息4次的年名义贴现率。

(2)已知每年计息12次的年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。【解】(1)

由已知条件i=8%，m=2及

得又故d(4)=7.62%

(2)已知m=12，d(12)=8%

由得＃

例2.5

求1万元按每年计息4次的年名义利率6%投资三年的积累值。

【解】已知：本金k=10000，i(4)=6%，求A(3)

＃

例2.6

以每年计息2次的年名义贴现率为10%，在6年后支付5万元，求其现值。【解】

已知d(2)=10%，A(6)=50000，求现值PV

复贴现时:a-1(t)=(1-d)t，t≥0

＃

七、利息强度前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定时间区间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是一个度量期内的利息；而名义利率和名义贴现率则用来度量在1/m个度量期内的利息。

在很多情况下，我们还希望能度量在每一时间点上的利息，也就是在无穷小时间区间上的利息。这种对利息在各个时间点上的度量叫做利息强度。考虑投资一笔资金，设在时刻t时的资金金额由总量函数A(t)给出，本金在投资期内既不加入也不撤出，即这笔资金的变化完全是由于利息的原因产生。利息强度则是衡量某一时刻的资金总量的变化率。在时刻t的利息强度用曲线在时刻t的斜率或变化率来表示。由微积分的知识可知，在时刻t，曲线A(t)的斜率由那个时刻的一阶导数给出。

但是作为利息的度量，A’(t)是不合适的，因为它依赖于投资金额。例如：如果在相同条件下（即投资期与利率均相同）投资100元和200元，那么200元基金的变化率将是100元基金变化率的两倍，但实际上，我们知道在相同利率的条件下，无论初始本金为多少，其变化率应该是一样的，即这两种基金的利息强度是一样的。

我们可以用A’(t)除以A(t)来弥补这一缺陷，这给出了利息强度的度量，它是在时刻t时利息起作用的资金数量的独立比率。用δt来表示。

即：称δt为该投资在时刻t的利息强度，即δt为利息在时刻t的一种度量。由δt的定义知，δt为t时每一单位资金的变化率

。可用A(t)和a(t)的值来表示δt，由上式可得另一表达式

用r代替t，然后将上式两端同时求从0到t上积分，有

由可得将上式两端在0到n上积分，得上式的意义为：A(n)-A(0)表示在n个度量期内获得的利息总额。被积表达式A(t)δt则可看成利息强度为δt时，资金A(t)在t时获得的利息。将此表达式在0到n上积分，就给出了n个度量期内获得的利息总额。理论上，利息强度可以随着时间变化而变化，但是，实际上它经常保持为常数，或者在各个度量期内保持为常数。

假设当n-1≤t＜n时，δt≡δn，则有

于是对于第n期的实际利率有:

若当0≤t＜n时，δt≡δ，则有

此时，第n期的实际利率可写为：可得结论：如果利息强度在某时间区间上为常数，那么该时间区间上的实际利率也为常数，但反之不真。对利息强度的性质的观察可得以下结论：

1、

2、

3、对单利来说，δt为t的递减函数，而对单贴现来说，δt则为t的递增函数。

下面的关系式将本节各种利息度量联系在一起，它是本章所介绍内容的概括：利息强度是个有用的概念，它使复利下货币的连续增长类似于科学中的增长函数。在理论上，利息强度是最基本的度量，在实践中，则更经常使用实际和名义的利率和贴现率。因为对大多数人来说它们更简单、更容易理解。而且大多数金融业务涉及的是离散过程而非连续过程，这并不是意味着利息强度没有实际意义，除了它的理论意思（如有用的概念和分析工具）外，实务中在计算非常频繁（如日计）的业务中，常用它来作近似计算。

例2.7

如果δt＝0.01t，0≤t≤2，确定投资1000元在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。【解】已知δt=0.01t，投资额k=1000元，求A(1)，I2

＃

例2.8

一笔业务按利息强度6%计息，求投资500元经8年的积累值。【解】已知δ=0.06，投资额k=500元，n=8，求A(8)

＃

第一章结束§2利息问题的计算内容利息基本问题投资期的确定利率求解的方法未知时间问题的计算

一、利息的基本问题

利息的基本计算法任何一个利息问题涉及以下四个基本量：

1、最初投入的本金P；

2、投资时期的长度n；

3、利率i；

4、投资期末本金的积累值。利息基本问题的计算实际上就是已知上述四个量中的三个量，求解第四个量。有关积累值和现值的问题，我们在前面已经讨论过了，后面我们将分别讨论利率和投资时期的长度为未知量的问题。在实务中，利息基本问题均需要获得具体的数值解。然而除非运用电子计算机或专用计算器，否则求解利息问题常常需要对所求问题根据实际情况选择适当的计算方法，求得数值解。常用的计算方法有以下几种：

1、利用复利表。通过事先编制的有关vn和(1+i)n(n为正整数)的复利表,可以求得所需要的值.

2、解析法。应用解析法，首先需要根据实际问题列出计算利息问题的解析公式。对于一些简单问题，该法是有效的。

3、利用级数展开式。级数展开是进行手工计算的的重要途径，常用的级数展开式有：

等。由于这种方法计算量大，所以使用的较少。

4、插值法。在两个已知值之间，寻求更精确的数值结果。

利息基本问题计算的一般原则有关利息基本问题的计算，应遵循如下原则：

1、“时间单位匹配”原则投资时期一般用时间单位来度量，而且一般情况下，基本的时间单位假定为一年，按利率的度量和分类标准，实际利率或实际贴现率的计息均与一年计算一次相吻合，名义利率或名义贴现率的计息，却与一年计息一次相分离，此时虽然可以求出与名义利率或名义贴现率等价的实际利率或实际贴现率，最终求得所要求的解。然而当遇到利息问题较为复杂时，将使整个运算量增加，甚至会使计算结果产生较大的误差。为此，时间的单位选择应匹配问题所涉及的利息函数，这是计算利息问题应遵循的原则之一。

2．“利息函数选择”原则实际利息问题，需要用相应的利息函数来表示，方可求得要求的值。就一个利息问题而言，可能运用不同的利息函数，而所要求的值都相等。这时，面临着选择利息函数以使计算优化的问题。一般来说，对于非数值问题，依利息问题性质，恰当地选择利息函数，可以使问题变得简单或表达的简捷。对于数值问题，选择利息函数以使所求问题能够运用复利表从而获得所要求的值，以减少近似计算可能带来的较大误差。

3、“借、贷等价”原则由于财务交易活动涉及到两方主体，因此任何利息问题都可以从其中的任何一方予以分析。一般地，作为分析我们可视交易双方分别为“借方”和“贷方”。从“借方”角度分析所得的结果与从“贷方”角度分析的结果，两者在本质上是一致的。这样，通过“借、贷”等值，便可以求解利息问题了。

利息问题计算的工具1、贷币时间价值

货币具有时间价值，既是说，在所考察时刻的一定货币的价值，就是这笔货币本身所代表的价值的大小。比如，现在的100元在现在的货币价值就是100元，但是现在的100元在未来五年末的值，却不再是100元。五年末的值的决定，既依赖于这笔货币已经历的时间，又得考虑利息度量方式。一般说来，随利息积累其值增大。同样，未来五年末的100元在两年前的值，也得考虑这笔货币过去经过的时期和利息度量方式。一般说来，若以确定利率度量，这笔货币值变小。因此,在不同时刻支付的两种或多种金额是不能直接进行比较的，因为经历的时间不同，资金金额的变化也不同。这就是所谓的“货币时间价值”。在利息理论中，一条最基本的假设就是承认货币的时间价值。为了能够进行比较，应该将所有的付款金额被积累或贴现到一个共同的日期，这个共同的日期就称为“比较期”。

2、时间图利息问题或财务交易活动，通常涉及到借、贷双方，但是具体的交易行为，往往比较复杂，并不直观地为人们所处理。为了使利息问题的分析清晰，常借助于一种称作“时间图”的工具。所谓时间图是一个一维的图形，其中时间单位沿一维正方向度量，付款则置于图上的对应时间点上，沿一个方向的付款位于图的上部，而沿另一个方向的付款则在图的下部。比较期用一个箭头表示，见下图。

100200500

012345678910

x将每次支付金额积累或贴现到比较期的方程称为“价值方程”。价值方程又称为等值方程。如，依据上图可建立价值方程。

100＋200V2＋500V6＝XV9

箭头指向的位置为比较期，其位置不同会产生不同的价值等式，在复利下不会影响未知量的解值，但对其它形式的利息，如单利或单贴现，比较期的选择会影响所得的结果，这再一次说明了在用单利或单贴现时的固有的不一致性。应注意：时间图在求解价值方程时不是必不可少的，它只不过将问题形象化，随着不断实践，我们在计算简单问题时，一般无须时间图。但时间图对解较复杂的价值方程是很有益的。

例3.1

因为得到许诺在8年末可得到600元，某人同意立即支付100元，5年末支付200元，10年末支付其余的数额，若名义利率8%，按半年复利，求10年末的支付额。

【解】首先，我们将比较期定在0时刻，时间图如下：

100200X

012345678910

600

因为利息按半年复利，我们以半年为时期来计算，价值方程为：

100＋200v10＋xv20＝600V16

以4%计算

＃我们也可选择不同的比较期得到不同的价值方程。如，比较期选择在10年末，那么时间图的箭头放在10的下面，价值方程改变为：

100×(1.04)20＋200×(1.04)10＋x＝600×(1.04)4

解得x＝186.76

这样得到了同样的答案。说明在复利的情况下，这两个方程是等价的。

二、投资期的确定在有关利息的实际问题中，必须决定投资的时期。一般我们以度量期为时间单位来求解利息问题。但在实际问题中经常会遇到投资期不为整数度量期的情形，这就涉及计算投资天数和将天数换算为年数的问题。通常的计算公式为：在实务中对如何计算投资时期的天数和将天数换算成年数有多种不同的方法。其中三种方法是最常用的。

严格单利法该法严格按日历计算投资期天数，而将具体年份的日历天数作为一年的天数。即基础天数。则投资期的时间长度为实际投资天数除以对应年份的一年实际总天数。年实际总天数是考虑闰年的原故。此法主要在英国使用，故又称为“英国法”，又由于它严格按日历计算生息天数和基础天数，故常记为“实际/实际”、“精确/精确”。

常规单利法

该法假定每个日历月有30天，每个日历年有360天。在此基础上计算的单利称为“常规单利”方法。常记为“30/360”。这种方法在欧洲大陆的许多国家流行，因此又叫做“大陆法”.

可利用以下公式计算两个给定日期间的天数：天数＝360(Y2-Y1)+30(M2-M1)+(D2-D1)

其中：Y、M、D分别代表年、月、日；下标1表示第一个日期；下标2表示第二个日期。

银行家规则

该法是一种混合型方法，它用投资时期的实际天数作为投资天数，而用360天作为一年。该法常记为“实际/360”或“精确/360”。由于360比实际一年的天数要少，因此算出的投资时期往往比其他算法要长，从而投资人总更喜欢用此法。该法也称为“欧洲货币法”。

除非另外说明，在计算天数时，不同时计存款日和取款日的利息，只计其中一天。如果两个日期之差用正常方法计算，那么结果与常规的一致。但在实务中有时也会遇到利息在存、取款日都计算的情况，这就会产生多余一天的利息。并不是所有涉及利息的实际问题都需要计算天数，许多金融业务是按月、季、年、半年和一年为基础来处理的。在这些情况下，以上所介绍的计算方法就不需要了。

例2.2

在6月10日存入2000元,同年9月19日取出，利率为8%，在下列基础上求所赚的利息金额：（1）严格单利（2）常规单利（3）银行家规则【解】（1）9月19日与6月10日相差101天。则利息为：

（2）利用公式天数为：

360×0+30(9-6)+(19-10)＝99(天)

则利息为:

（3）实际天数为101天，则利息为：＃

三、利率求解的方法前面介绍了利息问题中的四个基本量，如果有三个已知，那么，第四个就可以确定了。以下我们考虑利率未知的情况。

我们介绍四种确定未知利率的方法。

1、带有指数和对数函数的计算器求解。此法很适宜于只有一次付款的场合。偶尔它也适用于其他的情形。

2、用代数方法求解。例如，一个价值方程的各项是i的n级多项式，指数为整数，如果多项式的根可以用代数方法确定，那么i可以立即被确定。此种方法一般仅用于n值较小的情形。

3、线性插值法。

对于积累函数的计算公式：

A(t)＝A(0)(1＋i)t

其中：A(0)是原始投资额；A(t)是期末的积累值；i是复利的实际利率；t是投资时期。

将恒等式左边的项移到等式右边，并用函数f(i)表示，则有

f(i)＝A(0)(1＋i)t－A(t)

在上式中，假定A(t)，A(0)和t均为已知，则f(i)为自变量i的连续函数，并且是i的单调增加函数。在此情况下，若求得一个i，使得上述函数值为0，则相应的i就是所要确定的未知利率。由此可知，任何一个未知利率问题都可以表示成函数f(i)的形式，并确定一个使其函数值为0的i值。那么，如何确定i使得f(i)＝0成立将是我们要解决的问题。

线性插值法的基本思路如下：

首先设法得到两个关于i的估计值，i1和i2(不妨设i1＜i2)并且满足f(i1)＜0，f(i2)＞0

由于f(i)是i的连续函数，因此必存在i0使得

f(i0)＝0

成立。其中：i1＜i0＜i2。如图所示：

f

f(t)

f(i2)

f(i0)

0

i1i0i2t

f(i1)线性插值法是用直线段来近似表示曲线f(i)。显然，对于区间(i1,i2)来说，(i1，i2)越小，计算结果的误差也就越小。线性插值法的结果也就越准确。由于f(i)在(i1,i2)区间上用直线近似表示，则有如下关系：因此，末知利率i0的估计值可通过以下公式求得若大家需要对线性插值进行更进一步的了解，请参考相关书籍。在利息表中用线性插值法的方法为：先利用复利表确定两个近似的利率值，其中一个大于真值，另一个小于真值，然后在这两个值之间作线性插值而得到真实值的一个近似值。

例2.3

某人现在投资500元，第一年末投资300元，第2年末再投资150元，这样在第四年末将积累到1300元，求实际利率是多少？【解】由题意得价值方程

500(1+i)4＋300(1＋i)3+150(1+i)2=1300

令f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300

则所求的实际利率即为f(i)=0的解。又知

f(0.1)=12.85f(0.09)=-27.49

故j的真值介于0.09与0.1之间。由线性插值法可得i的近似值＃

4、迭代法（或连续逼近法）在这里所介绍的迭代法，是指通过多次线性插值求得数值结果的方法。其结果是能够达到所需要的精度。我们通过例题介绍该种迭代法的具体使用方法。

例2.4

用迭代法重做例2.3。使精度达到小数点后六位。

【解】由上例有

f(i)=500(1+i)4+300(1+i)3+150(1+i)2-1300

及i的第一次近似值i1＝0.0968

而f(0.0968)＝-0.1604，由于f(i)单调增加考察f(0.0969)＝0.2447

则i的真值介于这二点之间。再使用一次线性插值法

继续上述操作

f(0.09684)＝0.0016f(0.09683)＝-0.0389

再作一次线性插值

＃迭代的次数越多精度越高。实际上，每重复一次迭代，至少可使精度增加一位小数。线性插值法和迭代法是确定未知利率的常用方法。在实际工作中，可利用计算机来解决计算量过大的问题。

四、未知时间问题的计算求解只涉及一次付款的未知时间问题，最好的方法是利用对数。我们通过例题的求解过程，了解其使用方法。

例2.5

求1000元积累到1500元所需的时间。年利率6%，按半年复利：（1）用对数方法（2）用在利息表中插值法

【解】（1）设L为半年数，价值方程为

1000(1＋3%)Ｌ＝1500(1.03)Ｌ＝1.5

取对数

Lln(1.03)＝ln(1.5)

得

L＝ln1.5/ln1.03＝13.717

故年数为6.859

（2）设L为半年数，从利息表中知

(1＋3%)13＝1.46853(1＋3%)14＝1.51259

因此13＜L＜14

利用线性插值法得故年数为6.857

＃在实务中，一般付款次数都不止一次，且需要的是数值解。故通常采用的方法有：利用专用计算器或计算机；利用复利表；利用级数展开的方法和线性插值。这些方法我们在前面已做了较详细的介绍。

在实务中，有时会出现这样一种情况，在不同时刻的几次付款要被数值上等于这些付款之和的一次付款所代替。问题是要找到付这一次款的那一时刻，使它在价值上等于分别给出的几次付款的值。设在t1，t2，…，tn时分别付出金额s1，s2，…，sn，要求t，使在t时刻付出s1＋s2＋…＋sn等价于分别付出s1，s2，…，sn。该问题的价值方程为：

从而

由于上式计算比较麻烦，因此在实务中通常采用近似计算。最常用

的是“等时间法”。即用各次付款时间的加权平均值作为t的近似。记为，其中以各次付款的金额为权。可以证明:的值总是大于t的实际值。也就是说，用等时间法得到的现时值小于真实的现时值。

例2.6

在第2、3和8年末支付100元、200元和500元，假设年实际利率5%，用(1)等时间法和(2)精确方法求等价于支付800元的时刻。

【解】(1)(2)价值方程为：800vt=100v2+200v3+500v8

解得t=5.832(年)＃由此例可看出t的精确值小于等时间法计算的平均值。

实务中经常遇到这样一个问题：需要多长时间在已知利率的情况下使资金增值一倍？此问题用公式表示为：(1＋i)t＝2

此式给出了资金增值一倍所需的时间长度，而对上式给出的精确结果可导出如下的近似公式

第二个因子在i＝8%时大约为1.0395，从而有

这个公式常称为72律（ruleof72），因为用表示成百分比的利率i去除72即可得结果。这是一个很著名的规律。

一方面因为它的简单易用，另一方面则是因为它在广泛的利率范围内产生令人吃惊的精确结果。下表提供了一些数据可说明这点。

使本金翻倍的时间长度

利率（%）72律精确值利率（%）72律精确值

17269.661988.04323635.003107.27.27332423.45116.66.642

41817.6731266.116514.414.207135.55.67161211.896145.15.29710.310.245154.84.959899.006164.54.67第二章结束§3基本年金内容年金的概念期初付年金与期末付年金任意时刻的年金永续年金年金的非整数周期年金的末知时间问题年金的末知利率问题

一、年金的概念

定义

按相等的时间区间支付的一系列付款，称为年金。

在我们的经济生活中，年金的例子非常普遍，如房屋的租金；购买房屋、汽车等固定资产时的抵押分期付款；零存整取的银行存款；购物分期付款及保险领域的养老金给付；分期支付保费等，都是属于年金的形式。年金的最初形式是指每年定期支付一次的金额。现在年金除了每年定期支付一次外，也可每半年、每季、每月支付一次等。理论上甚至可以是连续付款，没有时间间隔。两次年金付款之间的间隔称为年金支付周期。相邻的两个计息日期之间的间隔称为计息周期。每一支付周期支付的金额为每次年金额。每计息期中各次年金额的总和称为每期年金总额。自第一次支付周期开始到最后一次支付周期终了，称为年金时期。年金一般分为两大类

基本年金

将付款时间间隔相等，每次付款额度相等，整个付款期内利率不变且计算期与付款期相等的年金称为基本年金。如用分期付款购买一所价值86万元的房屋，在约定的时间点上支付与否和支付的金额都是确定的。可能是首付28万元，然后在10年中每月末付款5500元。又如，购买债券定期获得的利息就属此类，不管债权人的情况如何，债务人都要按约定的条件支付利息。

一般年金

年金的各种变化形式称为一般年金。如在未来的某些年内在一个人的生存期间于每月月初支付

一定数额的年金，这种年金在相应时间点上的支付与否是由当时的生命状态决定的，是事先无法确定的，这种年金在寿险精算中称为生命年金。又如，保险公司出售的定期生存年金，只有在被保险人存活的情况下才能获得保险公司的年金给付；被保人何时死亡，年金给付何时停止。

一些参考书中将年金分为确定年金与非确定年金。

依不同的标准，年金还可以分为：期末付年金、期初付年金、延期年金、永续年金等。

二、期末付年金

定义在每个付款期间末付款的年金称为期末付年金。设年金额为1，于每期期末支付，共付n期，每期利率为i。下图是这种年金的时间图。我们计算该年金的现值与终值

所有付款在时刻0时的现值之和用表示，所有付款在时刻n时的积累值之和用表示。作为第一个周期开始时的价值方程，我们可得到的表达式：

0123n-1n11111……AB

类似地，每次支付1的终值，由n期末的价值方程可得：

与之间存在着一个简单的关系：

此式也说明：各期期末投资本金为1的年金积累值有两种算法。

与的另一个关系是：

该公式在第六章（债务偿还）中有重要意义有时利率写在符号的右下方，如和，因为这样表示使符号显得零乱，所以只在一个问题中涉及多个利率时才使用。此类教材一般都将给出依据某些利率计算得出的及的值。

例3.1

计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。【解】由公式可得：年金现值为：年金积累值为：＃

例3.2

比较10年期1000元贷款将支付的利息总额。若实际年利率为9%，以下面三种方式偿还：（1）贷款的本金及利息积累额在第10年末一次性还清。（2）利息每年末支付，而本金在第10年末归还。（3）贷款在10年内的各年末平均偿还。（即采用年金方式）【解】（1）10年末贷款的终值：1000(1.09)10＝2367.36

（元）支付的利息额为：2367.36－1000＝1367.36（元）（2）贷款每年所赚利息：1000×0.09＝90（元）

10年支付的利息总额为：10×90＝900（元）（3）设每年付款额为R，贷款开始时的价值方程为：

支付利息总额为：10×155.82－1000=558.20（元）＃由此可以看出，偿还贷款越晚，则要支付的利息额就越高；相反，偿还得越早，则要支付的利息量越少。但是，尽管三种情况下支付的利息总量是不同的，它们的现值都是1000元。提醒大家注意的是：在解题过程中须弄清与的差别。

例3.3

某银行客户想通过零存整取方式在一年后获10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月末需存入多少钱，才能达到其要求？

【解】设每月需存入D元，根据公式有

故客户每月末需存入810.66元,一年后可取得10000元＃

三、期初付年金

定义在每个付款期间开始时付款的年金称为期初付年金。

设年金额为1，于每期期初支付，共付n期，每期利率为i。下图是这种年金的时间图。我们计算该年金的现值与终值。所有付款在时刻0时的现值之和用表示，所有付款在时刻n时的积累值之和用表示。我们可以类似于求期末付年金的公式那样写出的表达式：012n-2n-1n11111……AB对于有：

请比较以上期末付年金与期初付年金现值与终值公式，这有助于我们掌握和记忆这些年金公式。类似地，有期末付年金与期初付年金是相互联系的，它们之间有如下关系：

大多数的复利表都没有给出及的值。因此，只能通过以上关系式查找、、、计算得出。

例3.4

在例3.3中，若存款改为每月月初进行，其他条件不变计算每月需存入的款项。【解】设每月月初存款额为D，由已知可得

故客户每月月初需存入806.63元才可在一年后获得10000

＃此例与前例比较，月末存款其值为810.66元

例3.52400元的贷款打算在20年中以每年年初等额分期付款的方式偿还，年利率为10%，求每年的偿还量。

【解】设每年偿还量为R，由价值方程得：＃

四、任意时刻的年金前面我们讨论了在第一次支付的日期或前一周期开始的年金及在最后一次支付日期或后一周期结束的年金的计算。但我们还经常遇到要求计算任意时刻年金的问题。任意时刻年金的问题可分为以下三种情况：（1）在首期付款前某时刻的年金现值；（2）在最后一期付款后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值。这里我们假定各计算年金值的时刻都是整数时刻。即距各付款时刻的距离为付款期间的整数倍。在任一时刻的年金可以通过计算每次付款在该时刻的现值或积累，然后将结果相加而得到。但这种方法在付款的次数很多时则不太方便。我们将会看到，用前面定义的年金符号，可求出上述三种情况的年金值，而且方法较为简捷下面我们通过例子来说明上述三种时刻的年金值，并介绍相应的计算公式。付款次数为8，首次付款发生在时刻3，末次付款发生在时刻10，时刻0时的年金现值相当于(1)，时刻12时的年金积累值相当于(2)，时刻6时的年金当前值相当于(3)。如下图所示：

1、在首期付款前某时刻的年金现值。这种类型的年金常称为“延期年金”。所谓延期年金，就是以当前时刻为0时刻点，在0时刻以后若干时期后开始按期支付的年金。以V(0)表示时刻0时的年金现值，则有以下几种计算方法：

通过时刻2或3的年金现值折现来计算，即：或012111A3456789101112111C11

通过年金现值加减的方法来计算：

或

2、在最后一期付款后，某时刻的年金积累值。以V(12)表示在时刻12时的年金积累值，则有以下几种计算方法：

将V(12)视为期末付年金或期初付年金期末积累值再做一次性投资的本利和。即或上式也说明了：

通过两个年金的加减计算：或

3、付款期间某时刻的年金当前值。

以V(6)表示时刻6时的年金当前值，则有以下几种计算方法：

通过计算所有付款在时刻2或3时年金当前值经过若干期的积累所得本利和获得：或

通过计算所有付款在时刻10或11时年金积累值经过若干期的折现的现值获得：或

通过年金现值或积累值之间的加减来计算：或应注意的事项：

1、不要死记上述公式，解决问题时应按原理去解决；

2、在时间图中的符号仅仅是一种形象化的辅助，它们不会影响答案。例如，在本例的时间图中，我们可从12到24作记号而不是0到12，计算结果将不会改变。时间图中影响答案的因素是付款次数和计算日或付款日相关的比较日的位置；

3、如果需要求不是整数周期的某一日期的年金值，可先求出在整数周期上的年金值再将其积累或贴现到计算日所在的不完整周期上。

例3.6

每年末支付年金500元，实际利率5%，已知延期六年后连续支付10年，求年金现值。

【解】

＃

例3.7

一项投资，前三年每年初投资5万元，后三年每年末投资3万元，试以年息6%计算该项投资在第10年末的积累值。

【解】前三年投资在10年末的积累值：

后三年投资在10年末的积累值：故投资在第10年末的积累值是V1(10)+V2(10)=37.43(万元)＃

五、永续年金前面所讲述的年金都是在某个特定的时刻支付的，且年金时期为n。当年金的期数永远持续下去,即时，称为永续年金。在永续年金中，年金的支付期是无终止的，若想计算年金终值则毫无意义，因为其终值是发散的，但其年金现值是可以计算的。尽管永久地支付年金似乎是不现实的。但实际中确实存在这样的例子。无偿还条款的优先股的红利的给付就是永续年金的形式。期末付永续年金的现值用表示，且有：

另外，我们有：

上式可以解释为：若有1/i的本金，在利率为i的投资，且不收回本金，则每期期末可获得数额为的利息。

类似的期初付永续年金记为，我们有

例3.8

某人去世后，保险公司将支付留下100000元的保险金，其三个受益者经协商决定按永续年金方式领取该笔款项，受益人A领取前10年的年金，受益人B领取以后10年的年金，然后由受益人C领取以后的年金。所有的年金领取都在年初发生。保险公司的预定利率为7%。计算A、B、C各自所领取的保险份额。

【解】设每年可领取的年金额为R，已知i=7%，则由得

A的份额为：

B的份额为：

C的份额为：＃各人所得的保险金份额之和为100000元。若A、B、C计划按期末付年金方式领取，则每年支付额保险金份额之和仍为100000元。

六、年金的非整数周期前面我们均假设n为正整数，此处我们考虑在年金中该条件不满足的情况。假定整个付款期长度为n+k，0＜k＜1，前n期各期期末付款额为1，在时刻n+k时，有一个对应于k期间长度的年金式零头付款，这种年金现值记为。上式的解释为：此种年金现值是每个周期支付1单位的n期期末付年金现值加上最后在n+k时刻支付的现值。

之所以说这个零头是对应于k期间长度的年金式付款，是由于这个值是在n～n+1区间内n+k时刻的年金积累值。符合年金给付的规律和算法。

由于k与之间的误差较小，故k可以做为其的近似值（其误差可由二项式定理来估计(1+i)k）我们可以把年金符号推广到n为负数的情况，但这样的年金仅仅是数学概念，没有实际意义。在保险实务中，如果根据人的平均余年计算的给付额（或根据按工作年限计算的工资收入补偿额），就要用到非完全整数期间的年金现值的计算方法。如：某人在工作中致残，按规定以后若干时间内，每年给付伤残时年薪的90%，直到退休。该职工现在35.4岁，最多可工作到60岁。则末来的给付年数为24.6年，最后一次给付零头的计算及给付时间如何确定，则要看具体的规定。

七、年金的未知时间问题前面我们介绍年金的问题时都假设已知n和i。这一部分我们将考虑n是未知数的情况。一般地，有关未知时间的问题将不会产生一个准确的整