《理论力学》教学教案50

PAGE17PAGE1第页教学目标知识目标：力的概念，力系的概念，二力平衡条件，力的平行四边形法则，加减平衡力原理，作用和反作用定律，约束的基本概念，工程中常见的约束类型及约束力方向能力目标：能够对物体的受力进行受力分析素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点静立学公理教学难点物体受力分析教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时7教学内容与教学过程设计注释静力学基础〖理论学习〗1.1力和力系的基本概念1.1.1力的概念力对物体的作用效果取决于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用点。其中任何一个要素发生变化，力的作用效果也随之发生变化。力是矢量，具有大小和方向，作用在物体上的力用矢量来表示。在国际单位制中，力的单位是牛(N)或千牛(kN)。1.1.2力系的概念当力的作用线分布在同一平面时，该力系称为平面力系；力的作用线为空间分布时，该力系称为空间力系；力的作用线汇交于同一点时，该力系称为平面汇交力系或空间汇交力系；力的作用线相互平行时，该力系称为平面平行力系或空间平行力系；力的作用线既不平行又不相交，该力系称为平面任意力系或空间任意力系。若作用于物体上的力系不改变物体的运动状态，该力系称为平衡力系。1.2静力学公理公理一二力平衡条件刚体受两个力作用而处于平衡状态的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一条直线上。公理二力的平行四边形法则作用在物体同一点上的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由以这两个力为邻边的平行四边形的对角线确定，这就是力的平行四边形法则。简便起见，亦可作力三角形，力三角形的两个边分别为F1和F2，第三边FR即为合力矢量，这种求合力的方法称为力的三角形法则。公理三加减平衡力系原理注意：此公理仅适用于刚体而不适用于变形体。推论1力的可传性作用于刚体上某点的力，可沿着它的作用线滑移到刚体内任意一点上，并不改变该力对刚体的作用。推论2三力平衡汇交定理刚体在三个力作用下处于平衡，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点或共面平行。公理四作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在的，此二力大小相等，方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。若用F表示作用力，用F′表示反作用力，则F=-F′。公理五刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。刚化原理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。绳索在两个等值、反向、共线的拉力作用下处于平衡，如将绳索刚化为刚体，则平衡状态保持不变；而绳索在两个等值、反向、共线的压力作用下不能平衡，这时绳索就不能刚化为刚体。由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要非充分条件。在刚体静力学的基础上考虑变形体的特征，可进一步研究变形体的平衡问题。1.3常见约束及约束力1.3.1约束的基本概念对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。约束对物体的作用实际上就是力，这种力称为约束力。约束力方向（作用线位置）确定准则：约束力的方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。1.3.2工程中常见的约束类型及约束力方向1.柔索约束柔索约束由软绳、链条或胶带等构成。柔索的约束反力通过接触点，沿着柔索而背离物体。2.光滑接触面约束当物体与约束间的接触面视为理想的、摩擦可忽略不计时，此时的约束可简化为光滑接触面约束。此时，不论接触面是平面或是曲面，都不能限制物体沿约束表面切线方向的位移，只能限制物体沿着接触面法线方向约束内部的位移。3.光滑铰链约束1)向心轴承（径向轴承）图1-82)圆柱铰链和固定铰链支座圆柱铰链简称铰链，它是用一圆柱形销钉将两个或多个构件铰接在一起的。即在构件的连接处各加工一直径相同的圆孔，用销钉穿起来。工程中常将支座用螺栓与基础固连，如将物体用光滑圆柱销钉与该支座连接，就构成了固定铰链支座，简称固定铰支。4.二力构件不考虑自重，仅在两个铰点处受力而处于平衡状态的构件称为二力构件。5.其他约束1)滚动铰支座滚动铰支座是在固定铰链支座与光滑支承面之间装几个辊轴而构成的，称为滚动（可动）铰支座或辊轴支座。2)止推轴承止推轴承与向心轴承的差异在于，它除能限制轴的径向位移外，还能限制轴沿轴向一侧的位移。3)球铰链通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束称为球铰链。它使构件的球心不能有任何移动，但构件可绕球心转动。1.4物体的受力分析和受力图在工程实际中，为求解未知约束力，需根据已知力，应用平衡条件求解。因此，首先要分析问题的性质及待求量，充分利用已知条件确定研究对象。研究对象可以是单个物体、系统中的单个构件、部分系统或整体；然后对其进行受力分析，确定构件受几个力，每个力的作用位置和方向。这种分析过程称为物体的受力分析。物体受力分析的步骤（1）画隔离体（研究对象）：将研究对象单独分离出来，画出其简图。（2）画主动力：主动力作用的形式和位置不能改变。（3）画约束力：主要依照约束性质确定约束力，合理利用二力构件、三力平衡汇交定理及作用和反作用定律。学生讨论什么是力，教师总结。举例说明公理一、公理二，加深学生理解。演示作用和反作用定律。举例说明自由体和非自由体。以例1-1，1-2，1-3，1-4为例，讲解物体的受力分析及受力图的画法。教学目标知识目标：平面汇交力系合成的几何法，平面汇交力系平衡的几何条件，力在平面正交直角坐标轴上的投影，合力投影定理，平面汇交力系合成的解析法，合力矩定理，平面内力偶的等效定理，平面力偶系的合成与平衡条件能力目标：素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点平面汇交力系合成与平衡的解析法教学难点平面力偶系的合成与平衡条件教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时4教学内容与教学过程设计注释第2章平面汇交力系和平面力偶系〖理论学习〗2.1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系。2.1.1平面汇交力系合成的几何法设刚体受到平面汇交力系F1、F2、F3、F4作用，各力作用线汇交于点A，如图2-1(a)所示。根据刚体力的可传性，先将各力的作用点沿其作用线移至汇交点A，然后任取一点a，应用力的多边形法则求得该力系的合力矢量，如图2-1(b)所示。比较图2-1(b)和图2-1(c)可知，若改变各力的合成次序，力多边形的形状将发生改变，但封闭边合力矢FR则完全相同，即矢序规则。图2-12.1.2平面汇交力系平衡的几何条件根据力的多边形法则，合力为零意味着力多边形封闭边长度为零，故得：平面汇交力系平衡的几何必要和充分条件为力的多边形自行封闭。求解平面汇交力系的合成与平衡问题时可用图解法，即按比例先画出力多边形，然后量得所要求的未知量；或根据图形的几何关系，用三角公式计算所要求的未知量，这种解题方法称为几何法。几何法求解平衡问题的主要步骤如下：(1)选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象。(2)对隔离体进行受力分析。解除研究对象的所有约束，单独画出隔离体，并在隔离体上依次画出所有主动力和约束力。(3)选择适当的比例尺，将研究对象上的各个力依次首尾相连，作出封闭的力多边形。作图时应从已知力开始，根据矢序规则和封闭特点可确定未知力的方位与指向。(4)确定未知量。按选定的比例尺量取未知量，或利用三角公式求出未知量。2.2平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.1力在平面正交直角坐标轴上的投影力在某轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦。当力与轴向间的夹角为锐角时，其值为正；当夹角为钝角时，其值为负。在实际运算中，通常可取力与坐标轴间的锐角来计算投影的大小，并通过观察来直接判定投影的正负号。在直角坐标系中，两者之间的关系可表示为F=Fx+Fy=Fxi+Fyj(2-6)其中，i、j分别为沿x轴和y轴正向的单位矢量。式（2-6）称为力的解析表达式。2.2.2合力投影定理由图2-4可得合力投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，即FRx=F1x+F2x+…+Fnx=∑FixFRy=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy(2-7)合力投影定理建立了合力投影与分力投影之间的关系。图2-42.2.3平面汇交力系合成的解析法2.2.4平面汇交力系平衡的解析条件——平衡方程平面汇交力系有两个独立的平衡方程，可求解两个未知量。解题时，未知力的指向可随意假设，若计算结果为正值，则表示假设力的指向与实际相同；若为负值，则表示假设力的指向与实际相反。但投影坐标轴的正向可任意选择，以方便投影为宜。解析法求解平衡问题的主要步骤如下：(1)选取研究对象。(2)分析研究对象的受力情况，画其受力图。(3)选取适当的坐标系，列出平衡方程式并求解。2.3平面力矩2.3.1力对点之矩如图2-8所示，用扳手转动螺母，在扳手上作用一力F，扳手和螺母将绕螺母中心O转动。力F使扳手与螺母绕O转动的效应既与力F的大小有关，也与O点到力F的作用线的垂直距离h有关。通常顺时针转动时，螺母被拧紧；逆时针转动时，螺母被松开。又如用手推门，使得门板绕门轴转动也是这样。人们通过归纳总结转动或有转动趋势的实例，形成一个抽象化的概念，即力对点之矩，用来表示力使物体绕一点转动的效应。如图2-9所示，设平面上作用一力F，在该平面内任取一点O，点O称为矩心，点O到力F作用线或其延长线的垂直距离h称为力臂。图2-8图2-92.3.2合力矩定理合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系所在平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理建立了合力对某点的矩与各个分力对同一点之矩的关系。无论何种力系，只要力系有合力，合力矩定理就适用。2.4平面力偶系2.4.1力偶将这种由两个大小相等、方向相反，且不共线的平行力系组成的力系，称为力偶，用符号(F,F′)表示。力偶所在的平面称为力偶作用面，力偶中二力作用线间的垂直距离d称为力偶臂。2.4.2力偶矩定义力偶(F,F′)的矩来度量力偶对刚体的转动效应，简称力偶矩。力偶矩的大小等于力偶中力的大小和力偶臂的乘积；正负号表示力偶在作用面内的转向，通常规定逆时针转动为正，反之为负。2.4.3力偶的性质1.力偶不能与一个力等效或者平衡注意：构成力偶的两个力大小相等、方向相反，它们在任意坐标轴上投影的代数和均为零，因其不共线，故力偶本身并不能使刚体平衡。2.力偶与矩心位置无关构成力偶的两个力对其作用面内任一点之矩代数和恒等于力偶矩，故力偶与矩心位置无关。2.4.4平面内力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，只要力偶矩相等，则两力偶彼此等效。此定理给出了同一平面内两个力偶等效的条件。由此可得下列推论：(1)力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用效应。(2)只要保持力偶矩大小和转向不变，可同时任意改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。2.4.5平面力偶系的合成与平衡条件1.平面力偶系的合成设平面力偶系由两个力偶(F1,F′1)、(F2,F′2)所组成，其力偶矩分别为M1=F1d1，M2=－F2d2，如图2-17(a)所示，试求它们的合成结果。根据同平面内力偶等效定理，在保持力偶矩不变的情况下，同时改变这两个力偶中力的大小和力偶臂的长短，使它们具有相同的臂长d，并将它们在其作用面内移转，使得力的作用线重合，如图2-17(b)所示。图2-172.平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的充分必要条件：力偶系中各力偶矩的代数和等于零。即∑Mi=0(2-16)式（2-16）称为平面力偶系的平衡方程。利用平面力偶系的平衡方程可求解一个未知量。按照几何法求解平衡问题的主要步骤解例2-1。教师讲解平面汇交力系合成与平衡的解析法。实物演示，说明力对点之矩。教师讲解力偶的性质。教师讲解平面力偶系的合成与平衡条件。学生试着解例2-8，2-9。教学目标知识目标：力的平移定理，平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩，平面任意力系的平衡条件·平衡方程，物体系统的平衡，静定与超静定问题能力目标：掌握静立学的核心内容素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点平面任意力系简化结果的分析教学难点平面任意力系的简化与平衡教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时8教学内容与教学过程设计注释第3章平面任意力系〖理论学习〗3.1平面任意力系向作用面内一点简化3.1.1力的平移定理定理：作用在刚体上点A的力F可以平行移到刚体上任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。逆定理：作用在刚体上同平面内的一个力和一个力偶，可与一个力等效，此力为原来力系的合力。图3-13.1.2平面任意力系向作用面内一点简化·主矢和主矩设刚体受平面任意力系作用，此力系由F1,F2,…,Fn共n个力组成，如图3-3(a)所示。在力系作用平面内任选一点O，将力系向O点简化，并称点O为简化中心。按力的平移定理，将力系中各力矢量向O点平移，如图3-3(b)所示。图3-3平面任意力系等效为两个简单力系：平面汇交力系和平面力偶系。力F′R称为原平面任意力系的主矢，即力矢F′R等于原力系各力的矢量和。主矩MO等于原力系中各力对简化中心O之矩代数和。平面任意力系向作用面内任一点简化，得到一个力和一个力偶，如图3-3(c)所示。这个力称为该力系的主矢，作用线过简化中心，主矢与简化中心的位置无关；这个力偶的矩称为该力系对简化中心的主矩，主矩一般与简化中心的位置有关。车刀和工件分别夹持在刀架与卡盘上固定不动，这种约束为固定端或插入端约束。图3-43.1.3平面任意力系简化结果的分析1．平面任意力系简化为一个合力偶当F′R=0,MO≠0时，说明原平面任意力系与一个平面力偶系等效，其简化结果为一个合力偶，该合力偶的矩等于主矩，M=MO=∑MO(Fi)。2．平面任意力系简化为一个合力平面任意力系向一点简化，不论主矩是否等于零，只要主矢不等于零，此力系最终可以简化为一个合力。3．平面任意力系平衡F′R=0,MO=0，则原力系平衡。3.2平面任意力系的平衡3.2.1平面任意力系的平衡条件·平衡方程平面任意力系平衡的充分必要条件：力系的主矢和对任意点的主矩均等于零。即F′R=0，MO=0(3-4)显然，主矢等于零，表明作用于简化中心O的汇交力系为平衡力系；主矩等于零，表明附加力偶矩也是平衡力系，所以原力系必为平衡力系。因此，式(3-4)为平面任意力系平衡的充分条件。3.2.2平面任意力系平衡方程的其他形式1.二矩式平衡方程∑Fx=0，∑MA(F)=0，∑MB(F)=0(3-6)适用条件：x轴不能与A、B两点连线垂直。2.三矩式平衡方程∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑MC(F)=0(3-7)适用条件：A、B、C三点不能共线。3.2.3平面平行力系的平衡方程平面平行力系是力系中各力的作用线在同一平面内，且相互平行的力系。3.3物体系统的平衡、静定与超静定问题3.3.1物体系统的平衡物体系统是指若干个物体通过适当的约束相互连接而组成的系统。当整个物体系统处于平衡状态时，组成该系统的每一个物体必然处于平衡。此时可选取整个物体系统作为研究对象，也可将整个物体系统拆开，取系统的局部作为研究对象。无论如何选取研究对象，在平面任意力系作用下，n个物体所组成的系统仅能列出3n个独立平衡方程，求解3n个未知量。若系统受平面汇交力系或平面平行力系作用，独立的平衡方程数目会相应减少。按上述方法求解物体系统的平衡问题理论上并无困难，但在实际问题中，并不需要求解全部未知量。3.3.2静定与超静定问题若未知量的数目小于或等于独立平衡方程的数目，则应用刚体静力学的理论就可以求出全部的未知量，这种问题称为静定问题。若未知量的数目超过独立平衡方程的数目，单独应用刚体静力学的理论不能求出全部的未知量，这样的问题称为超静定问题。未知量数目与独立平衡方程数目差值称为超静定次数。判断系统静定与否的方法：将系统全部拆成单个物体，计算未知量的总数目与独立平衡方程的总数目，并加以比较。

教师证明力的平移定理。举例说明什么是固定约束。教师论证二矩式平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件。学生自行证明三矩式平衡方。教学目标知识目标：直接投影法，间接投影法，空间力对点之矩矢，空间力对轴之矩，空间力对轴之矩的合力矩定理，空间汇交力系的平衡方程，空间任意力系的平衡方程，空间平行力系的平衡方程。能力目标：理解物体在空间力系作用下的平衡问题素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点空间力系的平衡方程教学难点空间力对轴之矩的合力矩定理教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时3教学内容与教学过程设计注释第4章空间力系〖理论学习〗4.1力在空间正交直角坐标轴上的投影4.1.1直接投影法若力F与x、y、z轴正向夹角为α、β、γ，如图4-1所示。则由力的投影定义，力F在三个轴上的投影等于力F的大小与各轴正向夹角余弦的乘积，即Fx=Fcos（F,i）=FcosαFy=Fcos（F,j）=FcosβFz=Fcos（F,k）=Fcosγ(4-1)图4-14.1.2间接投影法若力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定，可将力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力F在坐标平面Oxy上的投影Fxy，然后再将Fxy投影到x、y轴上，这种方法称为二次投影法。如图4-2所示，已知力F与z轴正向的夹角为γ，投影Fxy与x轴正向的夹角为φ，则由二次投影法，力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx=FsinγcosφFy=FsinγsinφFz=Fcosγ(4-2)4.2空间力对点之矩矢和空间力对轴之矩4.2.1空间力对点之矩矢力对刚体的转动效果取决于力与矩心构成平面的方位、力矩在该平面内的转向及力矩大小三个要素。如图4-5所示，三要素可用这样一个矢量表示：矢量的模表示力对点之矩的大小；矢量的方位与该力和矩心构成平面的法线方位相同；矢量的指向按右手螺旋法则确定，该矢量称为力对点之矩矢，简称力矩矢，记作MO(F)。图4-5MO(F)=r×F(4-4)即力对点之矩矢等于矩心到力作用点的矢径与该力的矢量积，式(4-4)称为力矩矢的矢积表达式。4.2.2空间力对轴之矩力对轴之矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是一个代数量，其大小等于该力在垂直于该轴平面上的投影对该轴与此平面交点的矩；其正负号由右手螺旋法则确定，即将右手四指顺着力矩的转向去握转轴，大拇指指向与z轴正向一致为正，反之为负。力对轴之矩也可用解析表达式表示。如图4-7所示，力F在三个轴上的投影为Fx、Fy、Fz，力作用点A的坐标为（x，y，z）。依据合力矩定理，得Mz(F)=MO(Fxy)=MO(Fx)+MO(Fy)=xFy-yFx同理可得其余二式，将此三式合写为Mx(F)=yFz-zFyMy(F)=zFx-xFzMz(F)=xFy–yFx(4-8)图4-74.2.3空间力对轴之矩的合力矩定理空间力系的合力对某一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即Mz(FR)=∑Mz(Fi)(4-9)合力矩定理计算力对轴之矩比较方便，具体方法是：先将力正交分解，然后计算各个分力对该轴的矩，最后求这些力矩的代数和，即得力对该轴之矩。4.2.4空间力对点之矩矢与空间力对通过该点的轴之矩关系空间力对点之矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于空间力对该轴之矩。4.3空间力系的平衡方程4.3.1空间汇交力系的平衡方程∑Fix=0∑Fiy=0∑Fiz=0(4-13)空间汇交力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中所有力在三个坐标轴上投影的代数和同时等于零。式(4-13)称为空间汇交力系的平衡方程。4.3.2空间任意力系的平衡方程当一个空间任意力系平衡时，必须满足下面的六个平衡方程，即∑Fix=0∑Fiy=0∑Fiz=0∑Mx（F）=0∑My（F）=0∑Mz（F）=0(4-14)上式表明，空间任意力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中各力在三个坐标轴上投影的代数和以及各力对三个坐标轴的矩的代数和均同时等于零。4.3.3空间平行力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程为∑Fiz=0∑MxF=0∑MyF=0(4-15)上式表明，空间平行力系平衡的必要且充分解析条件为：力系中各力在与力作用线平行的坐标轴上投影的代数和以及各力对与力线垂直的两个轴之矩的代数和同时等于零。教师讲解直接投影法和间接投影法。用右手定则判断力对轴之矩的正负。解例4-3，4-3，掌握力对轴之矩。教学目标知识目标：静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力，动滑动摩擦力，摩擦角，自锁现象，摩擦时物体的平衡问题能力目标：理解静滑动摩擦力和动滑动摩擦力素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点考虑摩擦时物体的平衡问题的注意点教学难点考虑摩擦时物体的平衡问题的注意点教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时2教学内容与教学过程设计注释第5章摩擦〖理论学习〗5.1滑动摩擦5.1.1静滑动摩擦力重为P的物体放在有摩擦的粗糙面上时，在接触面的切线方向施加水平拉力F，当拉力F由零逐渐增加但不很大时，物体仅有相对滑动趋势但仍保持静止。可见，粗糙接触面对物体沿切线方向的位移也有限制作用，故沿切线方向也产生约束反力，记为Fs，如图5-1(b)所示。切线约束力是由于两个物体在接触面上发生摩擦而产生的，其作用是限制物体沿接触面相对滑动，故称为静滑动摩擦力。图5-1静滑动摩擦力的方向与物体相对滑动趋势相反。所谓“相对滑动趋势”，是指假设不存在摩擦时，物体在主动力作用下相对于接触物体滑动的方向。5.1.2最大静滑动摩擦力对于图5-1(b)所示的物体，不改变法线方向主动力P的大小，逐步增大水平切线方向主动力F的值。在物体处于平衡状态时，摩擦力Fs=F也随之增大。当力F增大到某一值时，如果再继续增大，物体的平衡状态就将被破坏而产生相对滑动。这种物体即将滑动而尚未滑动的平衡状态称为临界平衡状态。这时，摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果主动力F再继续增大，而静滑动摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动，这就是静滑动摩擦力的特点。法国科学家库伦对干燥接触面做了大量的实验，结果表明，最大静滑动摩擦力的大小与相接触两物体间的正压力成正比，即Fmax=fsFN(5-2)比例系数fs称为静滑动摩擦因数，此规律称为静滑动摩擦定律或库仑摩擦定律。5.1.3动滑动摩擦力当滑动摩擦力达到最大值时，若主动力F再继续增大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体之间仍作用有阻碍滑动的阻力，这种阻力称动滑动摩擦力，简称动摩擦力，用Fd表示。实验表明，动摩擦力的大小与接触体间的正压力(即法向反力)成正比，即Fd=fFN(5-3)式中，f为动摩擦因数，它与接触物体的材料和表面情况有关，可通过工程手册查出。一般情况下，动摩擦因数略小于静摩擦因数。在机械中，往往用降低接触面的粗糙度或加入润滑剂等方法来减小动摩擦因数f，从而减小摩擦和损耗。5.2摩擦角和自锁现象5.2.1摩擦角当物体处于平衡的临界状态时，如图5-2所示。静摩擦力达到最大静滑动摩擦力时，偏角φ达到最大值φf，全约束力与接触面法线间的夹角最大值φf称为摩擦角。图5-2摩擦角的正切等于静摩擦因数。可见，摩擦角与摩擦因数一样，都与相互接触的物体材料的表面性质有关。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变；在临界状态下，全约束力FRA的作用线将画出一个以接触点A为顶点的锥面，称为摩擦锥。当物块与支承面间沿任何方向的摩擦因数都相同时，摩擦锥将是一个顶角为2φf的圆锥。5.2.2自锁现象由于静滑动摩擦力不可能超过最大值，因此全约束力FRA的作用线也不可能超出摩擦角以外，即全约束力必在摩擦角之内。由此可知：(1)当作用于物体的全部主动力的合力FR的作用线位于摩擦角φf以内时，无论主动力的合力多大，约束力都可与之平衡，物块必保持静止，此现象称为自锁现象。(2)当全部主动力的合力FR作用线落在摩擦角φf以外时，无论主动力合力多小，物块一定不能保持平衡而滑动。5.3考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦的平衡问题，求解时需要注意以下几个方面：（1）受力分析时，不光滑接触面上除考虑法向反力外，还增加了切线反力即摩擦力Fs。因此，不仅需要写出平衡方程，还要对未知摩擦力写出补充方程：Fs≤fsFN。此时，不计摩擦时的静定问题，在考虑摩擦时也同样是静定的。为避免求解不等式方程，对考虑摩擦的平衡问题，只研究临界平衡状态。这时，受力图上的摩擦力为最大静滑动摩擦力Fmax，补充方程为Fmax=fsFN(2)平衡时静滑动摩擦力在0~Fmax范围内取值，这就意味着考虑摩擦的平衡问题，其解是有范围的，而不是确定的值。工程实际问题中，往往在求出临界平衡状态下的解之后，再分析平衡状态下解的取值范围。*5.4滚动摩阻设车轮重P，半径为r，在轮心作用一个水平力F。当力F的值很小时，车轮静止不动。由平衡方程可求得法向反力和静滑动摩擦力的大小分别为FN=P与Fs=F。显然，法向反力FN与重力P构成一对平衡力系，而静滑动摩擦力Fs与主动力F组成一个力偶。在此力偶的作用下，车轮本应发生滚动，而车轮实际并不滚动而保持静止。主要原因是车轮与地面实际上并非刚体，它们在力的作用下都会产生变形，车轮在与地面接触处受到分布力的作用，向接触点简化，可得一个力Fs和一个力偶，该力偶的矩为Mf。该力FR可分解为法向约束力FN和切向摩擦力Fs，该力偶则为限制车轮滚动的约束反力偶，如图5-7(b)所示。该约束反力偶称为滚动摩阻力偶，其力偶矩可由平衡方程Mf=Fr求出。图5-7随着主动力F的逐渐增大，滚动摩阻力偶矩Mf的值也随之增大。当力F增大到某一值时，车轮处于将滚而未滚动的临界平衡状态，滚动摩阻力偶矩Mf达到最大值，称为最大滚动摩阻力偶矩，以Mmax表示。此时，若继续增大主动力F,车轮就会发生滚动。滚动摩阻力偶矩Mf的范围为0≤Mf≤Mmax。实验表明，最大滚动摩阻力偶矩的值与法向约束力成正比，即Mmax=δFN(5-6)式中，δ是长度量纲的常数，mm，称为滚动摩阻系数。式(5-6)称为滚动摩阻定律。区分静滑动摩擦力与动滑动摩擦力。教师讲解摩擦角的概念。说一说你遇到的自锁现象。结合例5-2，5-3讲解。教学目标知识目标：点的运动方程，点的速度及加速度，点的速度在直角坐标轴上的投影，点的加速度在直角坐标轴上的投影，自然轴系，点的速度在自然轴上的投影，点的加速度在自然轴上的投影。能力目标：能够用三种不同的方法描述点的曲线运动规律素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点点的运动方程教学难点点的运动方程、速度和加速度教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时3教学内容与教学过程设计注释第6章点的运动学〖理论学习〗6.1点的运动方程、速度和加速度6.1.1点的运动方程点在空间运动时所经过的路线称为点的运动轨迹。如果点的运动轨迹为直线，则点为直线运动；如果点的运动轨迹为曲线，则点为曲线运动。若点M做直线运动，如图6-1所示。可取此直线为参考轴，直线上任一点O作为坐标原点，规定沿直线的某一方向为x轴的正向。利用点的坐标x来确定点在空间的位置。当点运动时，点的位置，即坐标x随时间t发生变化，故可将坐标x表示为时间t的单值连续函数，即x=f(t)(6-1)若函数x=f(t)已知，则动点在每一瞬时的位置便可唯一确定。式(6-1)称为点M的直线运动方程。当点M做曲线运动时，虽相对于直线运动更为复杂，但同样可用函数描述其几何位置随时间运动的规律。描述点的曲线运动规律可有多种表达方式，下面介绍几种常用的方法。1.矢量法动点M在任一瞬时的位置均可由矢径r唯一确定，这种用矢量确定点位置的方法称为矢量法。当点M运动时，矢径r的大小和方向随时间t发生变化，r是时间的单值连续矢量函数，即r=r(t)(6-2)式（6-2）称为以矢量表示的点的运动方程。矢量法描述点的运动，只需要选择一个参考点，无须建立参考系就可表示点的运动方程。在点的运动轨迹未知的情况下，该方法形式简单，主要用于概念的定义及公式理论推导和证明。2.直角坐标法图6-3x=f1(t),y=f2(t),z=f3(t)(6-3)方程(6-3)描述了点在空间直角坐标系中的运动规律，称为以直角坐标法表示的点的运动方程。点在空间的运动轨迹未知的情况下，采用直角坐标法描述其运动状况，该方法简便易操作，主要用于实际计算。3.自然法弧长s为代数量，称为点M在轨迹上的弧坐标。当点M运动时，其弧坐标s随时间不断变化，是时间t的单值连续函数，即s=f(t)（6-5）式(6-5)表示点沿已知轨迹的运动规律，称为以弧坐标表示的点的运动方程。若已知s=f(t)，则点在轨迹上的位置便可唯一确定。这种利用点的运动轨迹建立弧坐标，并利用弧坐标来描述和分析点的运动的方法称为自然法。在点的运动轨迹为已知的情况下，采用自然法描述点的运动较为便利，该方法也主要用于实际计算。6.1.2点的速度图6-5点的速度矢等于点的矢径对于时间的一阶导数，其方向为Δr或MM′取极限时的方向，亦即轨迹曲线的切线方向，并与点的运动方向一致，如图6-5所示。6.1.3点的加速度点的加速度矢等于该点的速度矢对时间的一阶导数，亦是点的矢径对时间的二阶导数。在空间任取一定点O，把动点M在t1,t2,…,tn各瞬时的速度矢量v1,v2,…,vn都平行地移动到点O，如图6-7所示。图6-7连接各速度矢量端点得到的曲线称为动点M的速度矢端曲线。由加速度的概念可知，加速度矢的方向沿着点的速度矢端曲线的切线方向。加速度矢量a的模a即为加速度的大小。在国际单位制中，加速度的单位是m/s2。6.2点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影6.2.1点的速度在直角坐标轴上的投影动点的速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的一阶导数。6.2.2点的加速度在直角坐标轴上的投影动点的加速度矢在直角坐标轴上的投影等于其各相应坐标对时间的二阶导数。应用直角坐标法求解实际问题，通常有以下两种类型：(1)已知动点运动的部分条件，求动点的运动方程、轨迹、速度和加速度；或已知机械系统中主动构件的运动规律，求从动部件上某一点的运动规律。(2)已知动点的加速度及其运动的初始条件（当t=0时，动点的位置坐标和速度），求动点运动方程。数学上是求已知函数的积分问题。6.3点的速度和加速度在自然轴系上的投影6.3.1自然轴系当点的运动轨迹已知时，采用自然法描述点的运动较为方便。因此，为表示点的速度和加速度前需建立自然轴系。设任意空间曲线AB，如图6-12所示，在该曲线上任取两点M与M′，并分别作曲线在此两点的切线MT、M′T′。若过M点作直线MQ平行于M′T′，则直线MT与MQ确定一个平面。当M′点逐步趋近于M点时，该平面将绕MT旋转而不断改变它在空间的方位。当M′无限趋近于M点时，此平面趋近于某一极限位置，这个极限平面P称为曲线AB在M点处的密切面。显然，空间曲线上各点的密切面随点的位置不同而变化。过M点垂直于切线MT的平面I称为曲线在M点的法平面，如图6-13所示。法平面与密切面的交线MN称为曲线在M点的主法线。令主法线的单位矢量为n，n指向曲线内凹的一侧，即指向曲率中心。过M点且垂直于密切面的法线MB称为曲线在M点的副法线，其单位矢量为b。设曲线上M点切线的单位矢量为τ，其指向与弧坐标正向一致。则矢量b的指向与τ、n构成右手系，即b=τ×n。MB既垂直于MN，又垂直于MT，即为密切面的法线。以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成一个正交坐标系，称为曲线在点M的自然轴系，如图613所示，其三个坐标轴称为自然轴。必须特别指出的是，单位矢量τ,n,b的方位和指向随点位置的变动而变化。因此，自然轴系是一个游动坐标系。图6-12图6-136.3.2点的速度在自然轴上的投影6.3.3点的加速度在自然轴上的投影1.反映速度大小变化的加速度at结论：切向加速度反映点的速度大小对时间的变化率，它的代数值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或弧坐标对时间的二阶导数，方向沿轨迹切线。2.反映速度方向变化的加速度an结论：法向加速度反映点的速度方向改变的快慢程度，它的大小等于点的速度平方除以曲率半径，方向沿着主法线，指向曲率中心。现在讨论下列几种特殊情形：（1)直线运动。因直线的曲率半径ρ→∞，故在这种运动中法向加速度恒等于零，故全加速度a=at=（dv/dt）τ。若点的加速度恒等于零，这时速度的大小和方向都不变，称点做匀速直线运动。（2)匀速曲线运动。这时速度的大小不变而仅有方向的改变，切向加速度恒等于零，故全加速度a=an=（v2/ρ）n。（3)匀变速曲线运动。如果点的切向加速度的代数值保持不变，即at为恒量，则点的运动称为匀变速曲线运动。下面研究匀变速曲线运动的运动规律。由dv=atdt一次积分得v=v0+att(6-22)式中，v0是点在t=0时的速度。为了求点的运动规律，式(6-22)可写成ds/dt=v0+att二次积分得s=s0+v0t+1/2（att2）(6-23)式中，s0是点在t=0时的弧坐标。式(6-22)和式(6-23)与物理学中点做匀变速直线运动的公式相似，只不过点做匀变速曲线运动时，式中的加速度应该是切向加速度at，而不是全加速度a。这是因为点做匀变速曲线运动时，反映运动速度大小变化的只是全加速度的一个分量——切向加速度。教师讲解描述点曲线运动规律的常用方法。学生分析几种方法的异同点。理解点的速度及点的加速度的含义。结合例题说明点运动的直角坐标系。教师讲解点的加速度在自然轴上的投影。学生试着解例6-5，6-6，6-7。教学目标知识目标：刚体的平行移动，定轴转动刚体的角速度，定轴转动刚体的角加速度，定轴转动刚体内各点的速度和加速度，皮带轮传动，齿轮传动。能力目标：理解刚体的两种基本运动。素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点刚体的平行移动，刚体定轴转动的运动方程教学难点刚体上各点与整体间运动的关系教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时2教学内容与教学过程设计注释第7章刚体的基本运动〖理论学习〗7.1刚体的平行移动 刚体在运动过程中，其内任一直线始终与它的最初位置保持平行，这种运动称为刚体的平行移动，简称平移。刚体平移时，若其上各点的轨迹是直线，则称为直线平移；若其上各点的轨迹是曲线，则称为曲线平移。图7-1结论：当刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，且在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。7.2刚体绕定轴的转动在工程实际中，经常遇到齿轮、机床的主轴、发电机的转子等的运动，它们的共同特点是刚体运动时，其上或其扩展部分有一条直线始终保持不动，这种运动称为刚体绕定轴的转动，简称转动，这条固定不动的直线称为刚体的转轴或轴线，简称轴。为确定转动刚体的位置，取其转轴为z轴，正向如图7-3所示。通过轴线z作一固定平面A，此外，通过轴线z再作一动平面B与刚体固接。当刚体转动时，两个平面之间的夹角用φ表示，称为刚体的转角，以弧度(rad)表示。图7-3转角φ是一个代数量，可确定刚体在某一瞬时的位置，其符号依据右手螺旋法则确定，亦可自z轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计量的转角为正值，反之为负值。当刚体转动时，转角φ是时间t的单值连续函数，即φ=f(t)(7-4)式（7-4）称为刚体定轴转动的运动方程。定轴转动刚体的位置由参变量转角φ就可唯一确定，这样的刚体具有一个自由度。7.2.1定轴转动刚体的角速度为了描述刚体转动的快慢程度，现引入角速度的概念。设在Δt时间内，刚体的转角由φ变化到φ+Δφ，转角的增量Δφ称为角位移。当Δt趋近于零时，比值ΔφΔt的极限称为刚体在瞬时t的角速度，以字母ω表示。刚体的角速度ω等于转角φ对时间的一阶导数。角速度ω是代数量，其单位为rad/s。角速度的大小表征刚体转动的快慢，其正负号表示刚体转动的方向。从轴的正端往负端看，刚体逆时针转动时角速度为正值，反之为负。7.2.2定轴转动刚体的角加速度为了描述角速度的变化，引入角加速度的概念。设在Δt时间内，刚体的角速度由ω变化到ω+Δω，角速度的增量为Δω。当Δt趋近于零时，比值Δω/Δt的极限称为刚体在瞬时t的角加速度，以字母α表示。刚体的角加速度等于角速度对时间的一阶导数。角加速度表征角速度变化的快慢。角加速度α也是代数量，其单位一般用rad/s2。角加速度正负号规定同角速度。如果ω与α同号，则为加速转动；如果ω与α异号，则为减速转动。7.3定轴转动刚体内各点的速度和加速度转角、角速度和角加速度是描述刚体整体运动特征的物理量。当转动刚体的运动确定后，就可以研究刚体内各点的速度和加速度。定轴转动刚体内任一点的速度，等于该点的转动半径与刚体的角速度的乘积，它的方向沿圆周轨迹的切线而指向转动的一方。定轴转动刚体内任一点的切向加速度，等于该点的转动半径与刚体的角加速度的乘积，它的方向沿该点的圆周轨迹的切线并与角加速度的转向一致。定轴转动刚体内任一点的法向加速度，等于该点的转动半径与角速度平方的乘积，它的方向与速度垂直并永远指向轴心，故又称向心加速度。将定轴转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律总结如下：(1)在每一瞬时，转动刚体内各点的速度和加速度的大小都与转动半径成正比。(2)在每一瞬时，刚体内所有各点的速度都垂直于转轴和转动半径，如图7-5所示；所有各点的加速度a与半径间的夹角θ都有相同的值。图7-57.4定轴轮系的传动比7.4.1皮带轮传动在机床中，常用电动机通过传动带使变速器的轴转动。在如图7-8所示的皮带轮装置中，设主动轮和从动轮的半径分别为r1与r2，转动角速度分别为ω1和ω2，不考虑皮带厚度，并假定轮与皮带间无相对滑动。图7-8由于皮带上各点的速度大小相等，且在轮与皮带的接触点处，两者应具有大小相等的速度，由此可得r1ω1=r2ω2即两轮的角速度与其半径成反比。工程上常把主动轮的角速度与从动轮的角速度之比称为传动比，用i12表示，于是有i12=ω1/ω2=r2/r1(7-15)7.4.2齿轮传动齿轮传动是工程上常用的传动方式，可用来改变转速、变换转动的方向。其中，又以圆柱齿轮传动最常见。如图7-9所示，分别为外啮合和内啮合两类齿轮系传动的简图。设齿轮Ⅰ和齿轮Ⅱ各绕O1与O2轴转动，角速度分别为ω1和ω2。两轮齿数分别为z1和z2，齿轮半径分别为R1和R2。A点为两轮的啮合点，由于该点既在主动轮O1上，又在从动轮O2上，两轮之间没有相对滑动，故vA=ω1R1=ω2R2即ω1/ω2=R2/R1图79由于齿轮的齿数与其半径成正比，则i12=ω1/ω2=R2/R1=z2/z1(7-16)外啮合时两轮的转向相反，而内啮合时两轮的转向相同。因此传动比i12=ω1/ω2=±R2/R1=±z2/z1(7-17)由此可见，互相啮合的齿轮的角速度（或转速）与齿轮半径（或齿数）成反比。显然，取正号时表示两轮转向相同，是内啮合，如图7-9(b)所示；取负号时表示两轮转向相反，是外啮合，如图7-9(a)所示。教师讲解刚体绕定轴的转动。教师讲解定轴转动刚体内各点的速度和加速度。教学目标知识目标：定系和动系，三种运动的速度与加速度，点的速度合成定理，牵连运动为平移时点的加速度合成定理，牵连运动为转动时点的加速度合成定理·科氏加速度。能力目标：掌握点的速度合成定理素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点点的速度合成和加速度合成的规律教学难点点的速度合成和加速度合成的规律教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时8教学内容与教学过程设计注释第8章点的合成运动〖理论学习〗8.1点的合成运动的概念8.1.1定系和动系当选取两个不同的参考系来研究同一动点的运动时，通常把固定于地面的参考系称之为定参考系（简称定系）；而将固定在其他相对于地面运动的参考体上的参考系称为动参考系（简称动系）。动点相对于定系与相对于动系运动之间的关系，显然要取决于动系相对于定系的运动情况。相对于不同的参考系，点的运动轨迹不同，速度、加速度也不相同。8.1.2三种运动图8-1绝对运动：动点相对于定系的运动，即站在定系中观察动点的运动。相对运动：动点相对于动系的运动，即站在动系中观察动点的运动。牵连运动：动系相对于定系的运动，即站在定系中观察动系的运动。点的绝对运动可以看成是相对运动与牵连运动的合成运动（或复合运动）。8.1.3三种运动的速度与加速度速度和加速度是描述动点相对参考系运动特征的物理量。把动点相对定系运动的速度和加速度分别称为动点的绝对速度与绝对加速度，用va和aa表示；把动点相对动系运动的速度和加速度分别称为动点的相对速度与相对加速度，用vr和ar表示。动系上与动点相重合的点为该瞬时动点的牵连点。牵连点相对于定系的速度和加速度分别称为动点的牵连速度和牵连加速度，用ve和ae表示。8.2点的速度合成定理设动点M沿固连于动坐标系的曲线AB运动，而曲线AB又随动系相对地面做某种运动。则动点M沿曲线AB的运动是相对运动，曲线AB相对地面的运动是牵连运动，动点M相对地面的运动是绝对运动。点的速度合成定理：动点在某一瞬时的绝对速度等于该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。解题步骤如下：（1）根据题意恰当选择动点、动系和定系。①动点不能选在与动系固连的刚体上，否则动点与动系之间不存在相对运动，也就不能构成点的合成运动问题。②动点和动系的选取应使动点的相对运动轨迹明显而简单。③在工程上，定系通常固连于地面，而动系则固连在相对于定系运动着的物体上。④在机构运动传递的情况下，选择机构中物体的固定接触点为动点，而选择接触点总在改变的另一物体为动系。⑤若接触点相对于两个物体都运动，则接触点不能作为动点。（2）分析三种运动和三种速度。绝对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某一种曲线运动）?相对运动是怎样的一种运动(直线运动、圆周运动或其他某一种曲线运动)?牵连运动是怎样的一种运动(平移、转动或其他某一种刚体运动)?根据速度合成定理作出速度平行四边形，注意作图时要使得绝对速度成为平行四边形的对角线。（3）应用速度合成定理，可采用几何法或解析法求解问题。点的速度合成定理表达式：va=ve+vr为一平面矢量式。其中共有大小及方向六个因素；若已知其中某四个因素，即可求出其余两个因素。用几何法应先作速度平行四边形再利用其几何关系求解。用解析法应利用（速度）矢量投影式求解。必须注意，每次应用（速度）矢量投影定理时，只能列出两个独立的投影式。8.3牵连运动为平移时点的加速度合成定理点的速度合成定理对于任何形式的牵连运动都是适用的，但是不同形式的牵连运动可以得到不同形式的点的加速度合成定理。当牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。*8.4牵连运动为转动时点的加速度合成定理·科氏加速度图8-12牵连运动为转动与牵连运动为平移时的加速度合成定理的结论不同。理论证明，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。这就是牵连运动为转动时点的加速度合成定理。即aa=ae+ar+ac(8-9)其中，ac称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。科氏加速度是由于牵连运动和相对运动相互影响而产生的加速度。ac=2ωe×vr（8-10）即科氏加速度等于动系的角速度矢与动点的相对速度矢的矢积的两倍。科氏加速度ac的大小和方向可由以下两种方法确定：(1)在一般空间情况下，根据矢积运算规则计算。(2)工程中常见的平面机构，即绝对运动与相对运动在同一平面内，ωe与此平面垂直（即ωe⊥vr），此时ac的大小：ac=2ωevr。ac的方向：只要将vr按ωe转向转动90°就是ac的方向。应用加速度合成定理求解点的加速度，其步骤基本上与应用速度合成定理求解点的速度相同，但要注意以下两点：（1）选取动点和动系后，首先应根据动参考系做平移还是转动，确定加速度合成定理中是否含有科氏加速度。（2）分析三种加速度和科氏加速度，先求出科氏加速度的大小和方向（科氏加速度的方向是确定的），再求解加速度未知量，切向加速度如果是未知量，其指向可以假设。由于加速度合成定理的矢量表达式中一般都包含有四个以上的矢量，通常采用矢量投影法求解未知量。但投影时要注意：①选择合适的投影轴，使得投影轴与其中一个未知量的方向垂直，可使投影后得到的方程中只包含一个未知量。②矢量方程向坐标轴上投影时要注意矢量投影的正确应用，即将表达式两边的矢量投影后仍表达在原矢量所在的等号一侧，不要将加速度合成定理的矢量合成表达式理解成一个矢量平衡的表达式。举例说明定系和动系的含义。在图8-1中找出三种运动。通过详细的案例，详细说明牵连速度和牵连加速度。运用所学知识解例题，并总结出解题步骤。通过图8-12引入。想一想，自然界中的哪些现象可以用科氏加速度解释。教学目标知识目标：刚体平面运动的简化，刚体的平面运动方程，刚体平面运动的分解，基点法，速度投影法，速度瞬心法，平面图形内各点的加速度分析。能力目标：掌握求平面图形内各点速度的三种方法素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点基点法，速度投影法，速度瞬心法教学难点基点法，速度投影法，速度瞬心法教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时10教学内容与教学过程设计注释第9章刚体的平面运动〖理论学习〗图9-1这些刚体的运动既不是平移也不是绕定轴的转动，但它们有一个共同的特点，即刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变。因而，刚体上任一点都在各自的平面内运动。具有这种特征的运动称为刚体的平面运动。9.1刚体的平面运动描述9.1.1刚体平面运动的简化设有一刚体做平面运动，刚体内每一点到固定平面Ⅰ的距离始终不变，如图9-2所示。现取一平行于固定平面Ⅰ的平面Ⅱ来切割物体，截得一平面图形S。刚体平面运动时，平面图形S始终在平面Ⅱ内运动。通过平面图形S上的A点作垂直于该平面的直线段A1A2，该线段随刚体平面运动过程中，始终垂直于此平面，显然A1A2的运动是平移，即A1A2上各点的运动与图形S上的A点的运动完全相同。同理，平面图形S上B点的运动也可代表直线段B1B2的运动。A、B两点是平面图形S上的任意两点，因此，平面图形S上各点的运动就代表整个刚体的运动，即只要已知平面图形S的运动，也就知道了整个刚体的运动。于是刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动。图9-29.1.2刚体的平面运动方程为了确定代表刚体的平面图形S的位置，在平面图形上任取一点O′，称为基点，再取一直线段O′M，如果直线段O′M的位置确定，平面图形S的位置显然也就确定了，如图9-3所示。图9-3xO′=f1(t),yO′=f2(t),φ=f3(t)（9-1）式(9-1)称为刚体的平面运动方程。刚体的平面运动可视为两部分组成：一部分是平面图形随基点O′的平移，另一部分是绕基点O′的转动。9.1.3刚体平面运动的分解设平面图形S在Oxy平面内运动，如图9-4所示。图9-4以A为基点，在平面图形S上建立平移参考系Ax′y′，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴x和y。那么上述运动过程可以分成下面两个运动过程。(1)平面图形S上直线段AB运动到图9-4(b)中A′B1位置的过程可看成随基点A在Oxy平面内平移的过程。(2)直线段A′B1运动到图9-4(c)中A′B′位置的过程可看成平面图形S绕通过A′并垂直于图形S的轴做定轴转动。当然，这两个运动过程实际上是同时发生且连续完成的。综上分析，可得如下结论：平面图形S在其自身平面的运动可分解为随同基点的平移和绕着基点的转动两部分运动。选择不同的点作为基点，其平移规律不同，平移部分的速度和加速度也不相同。因此，平面图形随基点的平移部分与基点的选择有关。平面图形相对平移动参考系的转动部分与基点的选择无关。结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。这里的角速度和角加速度是相对于平移动参考系而言的。平面图形相对于任何平移参考系（包括固定参考系），其转动都是一样的，角速度、角加速度也都是相同的，故无须标明绕哪一点转动。9.2平面图形内各点的速度9.2.1基点法设在某瞬时，平面图形的角速度为ω，平面图形内点A的速度为vA，求平面图内任一点B的速度vB，如图9-6所示。已知A点的运动，故选取A点作为基点。按点的速度合成定理，平面图形内B点可看成是动点。动系铰接在点A的平移坐标系上，即牵连运动是随基点A的平移，而相对运动是点B绕基点A的圆周运动。由点的速度合成定理，即得A、B两点之间的速度关系为vB=vA+vBA(9-2)由此可得结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。这种求解平面图形内任一点速度的方法称为基点法，它是刚体平面运动速度分析的基本方法。图9-69.2.2速度投影法图9-7设A、B是平面图形内任意两点，速度分别为vA和vB。如图9-7所示，两点的速度关系满足式(9-2)，即vB=vA+vBA，将该式向A、B两点的连线上投影，注意到vBA垂直于A、B两点的连线，则得(vA)AB=(vB)AB(9-3)速度投影定理：在同一瞬时，平面图形内任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。应用速度投影定理求解平面图形内点的速度的方法称为速度投影法。采用基点法和速度投影法求解速度时，应注意如下几点：（1）用基点法解题时，为使求解方便，通常取运动已知的点作为基点。（2）式vB=vA+vBA是矢量方程，共有三个矢量，作速度平行四边形时，一定要保证绝对速度vB成为平行四边形的对角线。（3）速度投影法只用于求解平面图形内点的速度，而不能直接用于求平面图形的角速度。式(9-3)是一个代数方程，所以只能求—个未知量。若已知平面图形内任一点的速度大小和方向，又知另一点速度方向，则用式(9-3)可方便地求出该点速度的大小。9.2.3速度瞬心法1．速度瞬心某瞬时平面图形内（或扩展部分）速度为零的点P，称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心。定理：一般情况下，在每一瞬时，平面图形内都唯一地存在一个速度为零的点（即速度瞬心）。图9-13关于速度瞬心的概念，应从以下几个方面理解：(1)速度瞬心是平面图形内某瞬时速度为零的点，它不是平面图形内一个固定的点，其位置随时间而变化，在不同瞬时，速度瞬心会有不同的位置。(2)速度瞬心可能在平面图形内，也可能在平面图形之外的扩展部分上。(3)某瞬时只要平面图形的角速度不等于零，则该瞬时平面图形有且只有一个速度瞬心。(4)平面图形的速度瞬心只是速度为零的点，但其加速度并不一定为零。2．平面图形上各点速度的分布根据上述定理，若取速度瞬心P为基点，则该瞬时平面图形内任一点M的速度可由基点法表示为vM=vP+vMP注意到基点P的速度vP=0，则有vM=vMP上式表明：任一瞬时，平面图形内任一点的速度等于该点随图形绕速度瞬心P转动的速度，其大小为vM=MP·ω，方向垂直于MP，指向与图形角速度的转向一致。这种利用速度瞬心求解平面图形内点的速度的方法称为速度瞬心法，简称为瞬心法。3．确定瞬心位置的方法(1)已知某瞬时平面图形内任意两点的速度方向，且两者互不平行，则该瞬时速度瞬心必在每一点速度的垂线上。如图9-15所示，已知某瞬时平面图形上任意两点A、B的速度分别为vA和vB，过点A、B分别作vA和vB的垂线，则两垂线的交点P就是平面图形该瞬时的速度瞬心。图9-15(b)表示速度瞬心P落在了平面图形之外的扩展延伸部分上。(2)已知某瞬时平面图形内两点的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线，但两速度的大小不等，则平面图形该瞬时的瞬心P必在这两点的连线与两速度矢端连线的交点上。如图9-16(a)所示，A、B两点的速度vA和vB同向、平行且垂直于连线AB的情况，此时速度瞬心P位于A、B两点之外；图9-16(b)中，A、B两点的速度vA和vB反向、平行，此时速度瞬心P位于A、B两点之间。图9-15图9-16(3)已知某瞬时平面图形内两点的速度相互平行，速度方向与这两点的连线不相垂直，如图9-17(a)所示；或速度的方向与这两点的连线垂直，且这两点速度大小相等，如图9-17(b)所示。则该瞬时平面图形的速度瞬心在无穷远处，图形的角速度ω=0，此时平面图形上所有各点的速度相互平行，且大小相等，其速度分布和平移的情形一样，故称之为瞬时平移。必须注意，瞬时平移只是刚体平面运动的一个瞬时状态，与刚体的平移是两个不同的概念。瞬时平移时，虽然平面图形的角速度为零，图形上各点的速度相等，但图形的角加速度并不一定等于零，图形上各点的加速度也并不一定相同。(4)若平面图形沿一固定面滚动而无滑动（做纯滚动），则每一瞬时图形与固定面相接触的P点就是图形的速度瞬心，如图9-18所示。因为在这一瞬时，点P相对于固定面的速度为零，所以它的绝对速度等于零。车轮在滚动的过程中，轮缘上的各点相继与地面接触而成为车轮在不同时刻的速度瞬心。图9-17图9-18用瞬心法解题时其解题步骤如下：(1)分析机构中各构件的运动。(2)选取研究对象，进行速度分析，确定速度瞬心。(3)用速度瞬心法求解未知量。如果需要研究由几个图形组成的平面机构，应该注意，机构的运动都是通过各部件的连接点来传递的，每个平面图形在每一瞬时有各自的速度瞬心和角速度。因此，每求出一个瞬心和角速度，应明确它是哪一个图形的瞬心和角速度，绝不可混淆。9.3平面图形内各点的加速度分析设某瞬时平面图形S内A点的加速度为aA，图形的角速度为ω，角加速度为α，如图9-24所示。若选A点为基点，由前所述，平面图形S的运动可以分解为随同基点A的平移（牵连运动）和绕基点A的转动（相对运动）。因此，平面图形内任一点B的加速度aB可以用牵连运动为平移时的点的加速度合成定理求解。B的绝对加速度aB=aA+atBA+anBA(9-6)式(9-6)表明，平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。此即平面图形内任一点加速度的基点法。用基点法求解平面图形内点的加速度与用基点法求解点的速度的步骤相同，但还应注意以下几点：(1)由于式(9-6)中涉及量较多，在具体计算时，—般用解析法求解比较方便，即采用矢量方程的投影式求解未知量。(2)式(9-6)中有4个矢量，每一矢量都有大小、方向两个因素，共计8个因素。对平面矢量方程而言，它有两个独立的投影方程。因此，已知其中6个因素，才能解出其余两个未知量。(3)在分析图形上任一点的加速度时，须画出该点的加速度分析图。当方位已知而指向未知时，可先假设指向；当大小和方向都未知时，可分解成两个正交的分量，并假定其指向。(4)若某瞬时平面图形的角速度等于零，则anBA=0，又由atBA方向垂直于AB连线，则该瞬时点A和点B的加速度在AB连线上的投影相等。特殊情况：当ω=0时，(aB)AB=(aA)AB，此结论可称为加速度投影定理。(5)在一般情况下，点A和点B都可能是曲线运动，因此，式(9-6)还可写成(9-7)当点B的加速度大小和方向均未知时，式(9-7)还可写成(9-8)(6)在进行加速度分析之前，—般先要进行速度分析，求出平面图形的角速度ω，这样相对于基点做圆周运动的法向加速度anBA=AB·ω2就是已知量了。9.4运动学综合应用举例例9-15如图9-29（a）所示，曲柄OA=r，以角速度ω绕定轴O转动。连杆AB=2r，轮B半径为r，在地面上滚动而不滑动。求曲柄在图示铅垂位置时，杆AB、轮B的角加速度及轮B上C点的加速度。图9-29例9-16半径为R的圆轮O在水平面上以匀角速度ωO做纯滚动。杆AO=l，其一端O与轮心铰接，另一端置于棱角D上，如图9-30(a)所示。图示瞬时杆AO的中点B恰与棱角D重合，求该瞬时杆AO的角速度和角加速度。例9-17半径为R的圆轮在水平面上做纯滚动。杆AB穿过套筒C后，其A端铰接于圆轮轮缘上，如图9-31(a)所示。若已知R=0.5m，轮心O的速度vO=1m/s，加速度aO=1m/s2，方向如图9-31（a）所示。当θ=30°时，求该瞬时杆AB的角速度和角加速度。例9-18如图9-32(a)所示机构，曲柄OA以匀角速度ωO转动，已知OA=BO′=r，OA⊥OO′，∠OAB=∠BO′O=45°。求此瞬时B点的加速度和杆BO′及杆AB的角加速度。例9-19如图9-33（a）所示，曲柄连杆机构带动摇杆O1C绕O1轴摆动。在连杆AB上装有两个滑块，滑块B在水平槽内滑动，而滑块D则在摇杆O1C的槽内滑动。已知曲柄长OA=50mm，绕O轴转动的匀角速度为ω=10rad/s。在图示位置时，曲柄与水平线间成90°角，∠OAB=60°，摇杆与水平线间成60°角，O1D=70mm。求摇杆O1C的角速度和角加速度。观察9-1中各种运动，找出他们的共同点。结合图9-2，说明刚体平面运动的简化。观察图9-4，试着将运动过程分成两部分。教师讲解基点法和速度投影法。学生解例题，并总结注意事项。通过图9-13，证明定理。教师讲解瞬心法。学生用瞬心法解例题，并总结出解题步骤。教学目标知识目标：牛顿三定律，直角坐标形式的质点运动微分方程，自然坐标形式的质点运动微分方程，质点动力学第一类基本问题，质点动力学第二类基本问题。能力目标：掌握动力学的基本定理素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点牛顿三定律教学难点牛顿三定律教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时2教学内容与教学过程设计注释第10章质点动力学基础〖理论学习〗10.1动力学基本定律动力学的基本定律是牛顿在总结人们对机械运动认识和实践基础上而给出的质点运动的三个定律，称为牛顿三定律。第一定律：不受力作用的质点将保持静止或匀速直线运动。牛顿第一定律指出了物体的这一基本属性，物体保持原有运动状态不变的固有属性称为惯性。因此，第一定律也称为惯性定律，物体处于静止或匀速直线运动状态通常称为惯性运动。第二定律：质点所获得的加速度的大小与其所受的力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与力同向。即ma=F(10-1)牛顿第二定律建立了质点运动与受力之间的关系，它是研究质点动力学的基础，此定律可以推导出动力学的普遍定理：动量定理、动量矩定理和动能定理。质量是物体惯性大小的度量，质量大的物体惯性大，质量小的物体惯性小。第三定律（作用与反作用定律）：物体间的作用力与反作用力总是大小相等、方向相反、沿着同一条直线，同时分别作用在这两个物体上。质点动力学的三个基本定律是在观察天体运动和生产实践中一般机械运动的基础而总结出来的，因此只在一定范围内适用。牛顿三定律和以此为基础的动力学定理仅适用于惯性参考系（匀速直线平移的参考系）。在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相对于地面做匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系，可以得到相当精确的结果。以牛顿三定律为基础的力学称为古典力学(又称经典力学)。在古典力学范畴内，认为质量是不变的，空间和时间是“绝对的”，与物体的运动无关。近代物理已经证明，质量、时间和空间都与物体运动的速度有关，但当物体的运动速度远小于光速（3×105km/s）时，物体的运动对于质量、时间和空间的影响微不足道，一般工程中的机械运动问题，应用古典力学都可得到足够精确的结果。10.2质点的运动微分方程10.2.1直角坐标形式的质点运动微分方程当选用直角坐标系描述质点的运动时，如图10-1所示，质点的加速度为a=d2r/dt2=（d2x/dt2）i+（d2ydt2）j+（d2z/dt2）k将其代入式(10-3)中，然后等号两侧分别向直角坐标轴x、y、z上投影，得到直角坐标形式的质点运动微分方程(10-4)。10.2.2自然坐标形式的质点运动微分方程将式(10-3)等号两侧向如图10-2所示的自然轴系中τ、n、b方向分别投影，得自然坐标形式的质点运动微分方程(10-5)式中，ρ为质点运动轨迹的曲率半径。从式(10-5)中可以看出，质点受到的外力在副法线方向上是平衡的。图10-210.3两类动力学基本问题由质点运动微分方程可求解质点动力学的两类问题。(1)已知质点的运动，求作用于质点上的力，称为质点动力学第一类基本问题。此类问题在求解过程中需对运动方程求导。(2)已知作用于质点上的力，求质点的运动，称为质点动力学第二类基本问题。此类问题在求解过程中需进行积分运算，并根据具体问题的运动初始条件确定积分常数。在这两类问题基础上，有时也涉及两类问题的联合存在的情况，即混合问题。例10-1如图10-3(a)所示，小车A在倾角为θ的斜面上以加速度a沿斜面向上运动，物块B重P，在摩擦力作用下随小车一起运动，求物块B所受到的摩擦力。图10-3例10-2如图10-4所示质量为m的质点M在正交直角坐标平面Oxy内运动，已知其运动方程为x=acosωty=asinωt其中，a、b、ω均为常数，求质点M所受到的力。图10-4例10-3垂直于地面以初速度v0向上发射一物体，不计空气阻力和地球自转的影响，求该物体在地球引力作用下的运动速度与高度h的关系。例10-4高射炮沿与地面呈θ0角方向，以速度v0发射一枚质量为m的炮弹，炮弹运行过程中受到空气的阻力与速度的关系为F=－kv，k为常数。试求该炮弹的运动方程。例10-5圆锥摆如图10-7所示，质量为m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O上，并与铅垂线成角θ=60°。如小球在水平面内做匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。图10-7学生课下预习，课上说一说自己理解的牛顿三定律。举例说明三定律在实践中的应用。教师讲解质点的运动微分方程。通过例题理解两类动力学基本问题。教学目标知识目标：质点的动量，质点系的动量，常力的冲量，质点动量定理，冲凉定理，质点系动量定理，质点系动量守恒定理，质心运动定理，质心运动守恒定律，能力目标：理解掌握动量定理，动量守恒定律。素质目标：沟通、协作能力；观察、信息收集能力；分析总结能力。良好的职业道德和严谨的工作作风教学重点动量定理，动量守恒定律教学难点动量定理教学手段理实一体实物讲解小组讨论、协作教学学时4教学内容与教学过程设计注释第11章动量定理〖理论学习〗11.1动量与冲量11.1.1动量质点的动量：质点的质量与速度的乘积，记为mv。质点的动量是矢量，与质点速度的方向一致。它是状态量，具有瞬时性。在国际单位制中，动量的单位是kg·m/s。质点系的动量：质点系中各质点动量的矢量和，即(11-1)。与计算重心位置公式相似，定义质点系的质量中心(简称质心)C的矢径为(11-2)。质点系动量等于质点系质量与质心速度的乘积，其方向与质心速度的方向一致。此式也可理解为，质点系动量等于把质点系全部质量集中在质心处的一个质点的动量。如图11-1所示为几种常见的均质刚体和刚体系。图11-111.1.2冲量冲量是用来衡量力在一段时间内的累积效应，它是一个过程量，外力的冲量可以使物体的移动状态发生变化。如果作用力是常量，作用力与作用时间的乘积称常力的冲量。I=Ft(11-4)冲量是矢量，方向与力的方向相同。其量纲与动量的量纲相同，在国际单位制中的单位是N·s。若力F是变量，力F在微小时间间隔dt内的冲量称为元冲量，即dI=Fdt(11-5)力系的总冲量等于力系主矢的冲量。