山东省淄博市2025-2026学年高二第二学期教学质量检测数学试题 含答案解析

数学一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中的第4项为（）A. B. C. D.2.记为等差数列的前项和，，，则（）A.5 B.4 C.6 D.73.已知，则（）A.e B.1 C. D.04.已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（）A. B.C. D.5.某班有5名男生和3名女生参加科技节开幕式，按照指定的8个连续座位就坐，其中女生互不相邻，那么不同的坐法种数为（）A.7200 B.120 C.2400 D.144006.若事件，满足，，，则（）A. B. C. D.7.记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（）A. B.是等差数列C.不是等差数列 D.当且仅当时，取到最小值8.甲、乙两名同学从6门选修课中各自任选3门，记为被甲或乙选中的选修科目数量，则数学期望为（）A. B. C. D.二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若随机变量服从二项分布，则B.若随机变量服从正态分布，则C.已知样本点的经验回归方程为，则样本点的残差为0.1D.在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好10.记为数列的前项和，，设，则（）A.B.数列的前2026项和为C.数列的前2026项和为D.若数列的最大值为，则的值为11.已知函数，，则（）A.曲线和曲线在点处有相同的切线B.若且，则C.若，则D.若，则的最大值为1三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现有甲、乙等6人分成、两个学习小组，要求每组3人，且甲、乙不能在一起，则不同的分配方案有__________种．13.一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则随机变量服从超几何分布，记作，则．现一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机不放回地摸出3个球作为样本，用表示样本中白球的个数，则__________．14.已知函数有两个极值点、，若，则实数__________．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.某公司研发了一款新型智能手环，一经投放市场颇受欢迎．为了更好地服务广大用户，该公司对这款手环的续航时长（单位：天，）与用户满意度（）进行调查统计，得到如下数据表：567890.550.500.600.650.70（1）求用户满意度关于续航时长的经验回归方程；（2）若该款手环的续航时长为10天，试预测该款手环的用户满意度．参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，16.已知，函数在处有极小值．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．17.已知为各项互异的数列，且（）．（1）若，且、、成等比数列，求数列的前项和；（2）求的值．18.某网约车平台上的车辆分为两类，普通车占比，优先车占比，普通车接单概率为，优先车接单概率为，各车是否接单相互独立．平台按就近原则依次派车，直至某车接单，记派车成功时的派车次数为．（1）求第一次派车就能成功接单的概率；（2）已知第一次派车失败，求后续派车次数超过3次才能接单成功的概率；（3）求数学期望．参考公式：若，对于，，19.已知函数，．（1）当时，，求的取值范围；（2）讨论的零点个数；（3）若为正整数，记此时的零点为．证明：．

数学一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.展开式中的第4项为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：展开式的通项公式为所以第4项为.2.记为等差数列的前项和，，，则（）A.5 B.4 C.6 D.7答案：C解析：思路：根据题意，求出等差数列的通项公式即可得解.解答过程：设等差数列首项，公差，则，解得，所以，则.3.已知，则（）A.e B.1 C. D.0答案：B解析：解答过程：由题可知，故.4.已知是等差数列的前项和，则下列选项中不可能是所对应的图象的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据等差数列的前项和公式对各选项分析即可.解答过程：等差数列的前项和公式为，这是关于的二次函数，且该二次函数图象过原点.当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确，当时，是过原点的抛物线上的点，所以选项A，D正确.故选：C.5.某班有5名男生和3名女生参加科技节开幕式，按照指定的8个连续座位就坐，其中女生互不相邻，那么不同的坐法种数为（）A.7200 B.120 C.2400 D.14400答案：D解析：思路：利用插空法求解.解答过程：先排5名男生，有种排法，这时形成6个空，选其中的3个空排女生，有种排法，所以不同的坐法种数为.6.若事件，满足，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由，，得，而，所以.7.记为数列的前项和，已知，，则下列说法正确的是（）A. B.是等差数列C.不是等差数列 D.当且仅当时，取到最小值答案：D解析：思路：根据给定的递推公式，利用构造法推理判断C；求出判断A；求出及求解判断BD.解答过程：对于C，由，得到，则数列是公差为2的等差数列，C错误；对于A，，A错误；对于B，，则，当时，，满足上式，因此，，不是等差数列，B错误；对于D，，因此当且仅当时，取到最小值，D正确.8.甲、乙两名同学从6门选修课中各自任选3门，记为被甲或乙选中的选修科目数量，则数学期望为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：设为第i门课是否被选中，利用独立事件乘法公式求解，再利用数学期望的线性性质求出.解答过程：将6门选修课编号为，设为第i门课是否被选中，，，则，又，，，所以．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）A.若随机变量服从二项分布，则B.若随机变量服从正态分布，则C.已知样本点的经验回归方程为，则样本点的残差为0.1D.在线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越大，则模型的拟合效果越好答案：ABD解析：解答过程：对于A，由于服从二项分布，则，故A正确；对于B，由于服从正态分布，则，所以，则，故B正确；对于C，当，预测值为，则样本点的残差为，故C错误；对于D，值越大，则模型的拟合效果越好，故D正确.10.记为数列的前项和，，设，则（）A.B.数列的前2026项和为C.数列的前2026项和为D.若数列的最大值为，则的值为答案：ACD解析：思路：利用已知关系和等比数列的公式法得到数列和的通项可得A；由裂项相消法可得BC，结合数列的单调性从初始值代入验证可判断D.解答过程：当时，，解得：；当时，，，，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，，对于A，，正确；对于B，，所以前2026项和为，错误；对于C，，所以的前2026项和为，正确；对于D，令，由于指数模型增长速度远高于一次型，且当时，单调递减，且，可考虑从初始值代入验证最值进行判断：当时，由，，因，显然不成立；当时，由，，则有，满足，符合题意；如此验证当时，求出值后代入后均不成立.故D正确.11.已知函数，，则（）A.曲线和曲线在点处有相同的切线B.若且，则C.若，则D.若，则的最大值为1答案：ACD解析：思路：利用导数的几何意义，分别计算两函数在处的函数值和导数值，进而求出切线方程判断选项A；构造函数，通过导数判断其在上的符号，结合在的单调性比较自变量大小，进而推出，判断选项B；利用同构变形结合在时单调递增，得出，借助不等式推出结论，判断选项C；利用C选项结论得出，把目标式转化为关于的函数，求导求出最大值，判断选项D．解答过程：对于A，，，求导得，因，则两曲线均过点，且，故两曲线在处的切线方程均为，故A正确；对于B，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故函数有极小值为，当时，，当时，，当时，，由且时，必有，构造函数，求导得，则严格单调递增，时，，故时，，即，，令，则，即，故，代入，结合得，由于且在单调递减，故，两边同时乘以负数，则，故B错误；对变形，则，由，得，时，在上有唯一解，故，令，求导得在处取得最小值，即，故，故C正确；由得，故，代入目标式得，令，求导得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，在处取得最大值，故D正确．三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.现有甲、乙等6人分成、两个学习小组，要求每组3人，且甲、乙不能在一起，则不同的分配方案有__________种．答案：12解析：解答过程：若甲分为A组，乙分为B组，有种，甲分为B组，乙分为A组，也有6种.因此总共有12种.13.一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则随机变量服从超几何分布，记作，则．现一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个黄球、6个白球，从中随机不放回地摸出3个球作为样本，用表示样本中白球的个数，则__________．答案：解析：解答过程：由题意可得试验符合超几何分布，且，则.14.已知函数有两个极值点、，若，则实数__________．答案：解析：思路：对函数求导，利用极值点的性质得出的表达式，结合极值点的表达式构造方程求出，进而求出的值．解答过程：函数求导得，极值点满足，故，已知，则，故，解得，故．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.某公司研发了一款新型智能手环，一经投放市场颇受欢迎．为了更好地服务广大用户，该公司对这款手环的续航时长（单位：天，）与用户满意度（）进行调查统计，得到如下数据表：567890.550.500.600.650.70（1）求用户满意度关于续航时长的经验回归方程；（2）若该款手环的续航时长为10天，试预测该款手环的用户满意度．参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，答案：（1）（2）解析：思路：（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，，从而得出答案；（2）将代入（1）得到的回归方程即可得出结论.（1）由题意知，，，，，则，，故经验回归方程为.（2）当时，预测值为.16.已知，函数在处有极小值．（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．答案：（1）（2）最大值是3，最小值是解析：思路：（1）根据函数在处有极小值，令，求得的值，并代回，利用的正负，检验是否是的极小值，从而确定的值.（2）结合（1）的结论，判断函数在区间上的单调性，比较极值与端点处的函数值，求得最大值与最小值.（1）函数的定义域为，，由函数在处有极小值，得，即，解得或．若，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以函数在处取得极大值，不符合题意，应舍去．若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以函数在处取得极小值，满足题意.故．（2）由（1）知，，根据单调性列表得x200↗↘0↗，所以函数在区间上的最大值是，最小值是．17.已知为各项互异的数列，且（）．（1）若，且、、成等比数列，求数列的前项和；（2）求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题意可知为等差数列，根据递推公式得出的通项公式，再用裂项相消法即可求解；（2）先根据题意化简，再结合递推公式即可求解.（1）由（）可知，为等差数列，令设的公差为，，由于成等比数列，所以即，所以，解得或，因为各项互异所以，即，因此，所以，数列的前项和.（2）由（）可知即，，所以，因此.18.某网约车平台上的车辆分为两类，普通车占比，优先车占比，普通车接单概率为，优先车接单概率为，各车是否接单相互独立．平台按就近原则依次派车，直至某车接单，记派车成功时的派车次数为．（1）求第一次派车就能成功接单的概率；（2）已知第一次派车失败，求后续派车次数超过3次才能接单成功的概率；（3）求数学期望．参考公式：若，对于，，答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据全概率公式即可求解；（2）根据条件概率公式计算即可求解；（3）根据题意求出，根据离散型随机变量的数学期望定义，令，利用错位相减法求出，然后取极限求值即可.（1）设事件A：“第一次派车就能成功接单”，事件B：“第一次派的是普通车”，事件C：“第一次派的是优先车”，则.（2）设后续派车次数超过3次，即前4次派车都失败，即，可得.（