山西省朔州市怀仁市第一中学校2026~2027学年高三上册摸底考试数学试题 含答案解析

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（）24681065432A. B. C. D.5.已知向量，，与的夹角为，则（）A.1 B. C.2 D.6.记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（）A.70 B.65 C.55 D.507.已知函数，则其图象大致是（）A. B.C. D.8.直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（）A.F的坐标为 B.若，则C.若，则 D.10.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A.B.的图象关于点对称C.将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合D.若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为11.已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______．13.已知数列满足，且，则________14.如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求；（2）若，，求△ABC的面积.16.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好30不爱好10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.17.设（1）求函数的单调递增、递减区间；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．18.如图，在四棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．19.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点．①求面积的最大值以及此时直线的方程；②若直线分别与轴交于两点，证明：为定值．

数学满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：依题意，复数，则，因此在复平面内对应的点位于第一象限.2.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可.解答过程：由题，，故，故D正确.3.已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：若过点有两条直线与圆相切，可知点在圆外，即可得的取值范围，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.解答过程：若过点有两条直线与圆相切，可知点在圆外，则，解得或，显然是的真子集，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：A.4.已知根据如下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（）24681065432A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据表格中的数据，求得样本中心点，将其代入回归直线方程，求得的值，即可得到答案.解答过程：由表格中的数据，可得，，又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程，可得，解得.故选：D.5.已知向量，，与的夹角为，则（）A.1 B. C.2 D.答案：D解析：解答过程：由题意得，即，，，故，可看出，解得，故.6.记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（）A.70 B.65 C.55 D.50答案：B解析：思路：根据等差数列的基本量与性质求解公差，从而可得通项公式，再由等差数列的前项和公式求解.解答过程：由等差数列，设，为公差，由于，则，化简得，由于数列单调递增，因此，解出，因此，则.故选：B.7.已知函数，则其图象大致是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由函数解析式结合奇函数定义证明为奇函数，再说明当时，，由此确定结论.解答过程：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，当时，，选项ACD都不能同时满足以上要求，选项B满足以上要求，故函数的图象大致是选项B中的图象，故选：B.8.直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.解答过程：设，，由图可知因为线段的中点为，所以，，所以，两式相减可得：，即，所以，即，所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：，化简为：，经检验符合题意.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（）A.F的坐标为 B.若，则C.若，则 D.答案：BD解析：思路：根据抛物线方程，结合抛物线的定义可判断A；结合抛物线的焦半径公式可判断BCD.解答过程：因为抛物线方程为，故，选项A：易得F的坐标为，故A错误；选项B：由得，故，故B正确；选项C：由，得，从而，故，故C错误；选项D：由于，又，故，故D正确.故选：BD10.已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（）A.B.的图象关于点对称C.将的图象向右平移个单位长度后所得函数图象与的图象重合D.若的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为答案：ABD解析：解答过程：对于A，因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以对于都有，即恒成立，所以，因为，所以，A正确；对于B，，所以的图象关于点对称，B正确；对于C，由A选项可知，将其图象向右平移个单位长度后所得函数为，与的图象不重合，C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度后所得函数为，因为关于轴对称，所以，解得，因为，所以当时，的最小值为.11.已知和分别为函数的极小值点和极大值点，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，答案：AC解析：思路：当时，利用导数可以得到的单调性，从而得到，且和，即可判断AB；当时，联立可以得到，再代回即可判断C；由选项C得到，代入即可判断D.解答过程：对于A，当时，函数，则，令，则，令，解得，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以的最小值在处取得，最小值为，又因为时，；时，，因此先正再负后正，即先正再负后正，所以先单调递增，再单调递减，最后单调递增，因此有极小值点和极大值点，满足和，并且，当时，恒成立，且，，所以，又因为，，所以，所以，故A正确，对于B，由选项A可知，，由于，且二次函数在上单调递增，且最大值趋近于，但，所以，故B错误；对于C，已知函数，，当时，即fx1=ax1所以x12lna=2代入，可得ax1令，则e2-t=4t2⟹t2e2-t=4对于D，由选项C可知，，，方程ax-1lna=2x⟹e2x-1⋅2=2x⟹e2x-2所以，当时，在上递增，最大值趋近于，但，所以，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若展开式共有11项，则展开式中的常数项为______．答案：45解析：解答过程：因为的展开式共有11项，所以，则展开式的通项公式为，令，则，所以展开式中的常数项为：．13.已知数列满足，且，则________答案：1解析：思路：由与递推关系逐项求出，得到周期规律，再利用周期求解即可.解答过程：因为，且，则，，，所以是以6为周期的数列.因为，所以.故答案为：.14.如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________．答案：##解析：思路：根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建立空间直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可.解答过程：取的中点为，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为，，所以，因此，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面，而平面，所以，，.在平面内，过作，交于点，所以，所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，于是有，设，显然有，所以有，所以球的半径为，所以球的体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量与平行.（1）求；（2）若，，求△ABC的面积.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案.（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可.（1）（1）向量与平行，所以，由正弦定理可知：，，，所以，，可得；（2），，由余弦定理可得：，可得，解得或（舍），的面积为．16.“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工的爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取100名员工男女各半进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性总计爱好30不爱好10总计100（1）请将上面的列联表补充完整，试根据小概率值的独立性检验，分析爱好运动与性别是否有关；（2）若从这100人中的不爱好运动的人中随机抽取2人参加体育培训，记抽到的男性人数为，求的分布列､数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.答案：（1）列联表如下：

男性女性总计爱好304070不爱好201030总计5050100无关（2）的分布列为012的数学期望为解析：思路：（1）首先补充列联表，再计算，根据临界值参考数据，即可判断；（2）根据超几何概率公式求解概率，再写出分布列，并求解期望.（1）根据男，女员工各50人，可以补充列联表，

男性女性总计爱好304070不爱好201030总计5050100零假设为：爱好运动与性别相互独立，即爱好运动与性别无关，由已知数据可求得，根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即爱好运动与性别无关，由此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）的取值可能为.，所以的分布列为012的数学期望为.17.设（1）求函数的单调递增、递减区间；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．答案：（1）单调递增区间为和，递减区间；（2）.解析：思路：（1）求导，分别由和求解.（2）根据时，恒成立，则由求解即可.解答过程：（1），令，解得或，当或时，，为增函数，当时，，为减函数综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.（2）当时，恒成立，只需使在上最大值小于m即可由（1）知最大值为、端点值中的较大者.∴在上的最大值为,∴，所以实数m的取值范围是方法提示：方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.18.如图，在四棱锥中，平面平面，且．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.（1）由题意，则，因为，所以，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，因为平面，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，