山西省忻州市2025-2026学年高一第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

满分150分，考试时间120分钟．数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个4.设为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.6.在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（）A. B. C. D.37.从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（）A. B. C. D.8.正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（）A.众数为65 B.极差为7 C.平均数为65.4 D.80%分位数为67.510.已知平面直角坐标系中三个点，，，则（）A.B.在上的投影向量为C.是锐角三角形D.以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为811.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，，，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．13.已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________.14.如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．（1）求及；（2）若，求实数的值．16.在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点．（1）点，，，是否共面？请说明理由；（2）证明：平面．17.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率.18.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，求的值；（2）若，，求的面积．19.如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．

满分150分，考试时间120分钟．数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先化简复数,再根据虚部定义得结果.解答过程：因为,所以复数的虚部为，选A.方法提示：本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：因为向量，，且，则，解得.3.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中约有红球（）A.8个 B.10个 C.12个 D.14个答案：C解析：解答过程：设袋中红球有个，利用频率估计概率，可知随机摸出一个球摸到红球的概率约为0.6，由题意可得：，解得，所以袋中约有红球12个.4.设为实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由，可得或，“或”不能推出“”，而“”能推出“或”，∴“”是“”的充分不必要条件.5.已知圆锥的底面半径为4，高为3，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由圆锥的底面半径为4，高为3，得该圆锥的母线，所以该圆锥的侧面积为.6.在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（）A. B. C. D.3答案：A解析：思路：借助平面向量线性运算法则与数量积公式计算即可得.解答过程：由点E为上靠近点B的三等分点，则，故，则.7.从不超过20的质数中，任选两个不同的质数，，记，则事件“”的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据已知质数有，结合确定对应的情况数，及8个质数中任选2个的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.解答过程：不超过的质数有共8个，任选其中2个数差的绝对值小于4，有共6组，所以任选2个不同的质数差的绝对值小于4的情况有种，从8个质数中任选2个不同的质数有种，所以，所求概率为.8.正方体中，点在棱上，过点作平面的平行平面，记平面与平面的交线为，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由面面平行的性质可得，则与所成角大小等于与所成角的大小，证明线面垂直，求出，所以，即与所成角的大小为.解答过程：因为平面平面，平面平面，平面平面，则，则与所成角大小等于与所成角的大小，因为平面，平面，所以，又，且，，平面，所以平面，又平面，故，所以，即与所成角的大小为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（）A.众数为65 B.极差为7 C.平均数为65.4 D.80%分位数为67.5答案：ABD解析：思路：根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案.解答过程：由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，65出现次数最多，故众数为65，故A正确；极差为，故B正确；平均数，故C错误；，所以80%分位数为，故D正确．故选：ABD．10.已知平面直角坐标系中三个点，，，则（）A.B.在上的投影向量为C.是锐角三角形D.以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8答案：AD解析：思路：根据向量坐标的计算公式判断A，利用投影向量的定义计算判断B，先求出三边长，确定最大角，再由向量数量积的符号判断C；先由向量的夹角公式求出一个内角的余弦，再由三角形面积公式计算判断D.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因，则在上的投影向量为，故B错误；对于C，由，，可得，故角为的最大角，由可知角为钝角，故为钝角三角形，即C错误；对于D，由上分析，得，则，故，于是的面积为，而以A，B，C为顶点的平行四边形的面积都是的面积的两倍，故D正确.11.已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，，则D.若，，，，，则答案：BD解析：思路：举特例可判断A；根据面面垂直的判定定理可判断B；根据线面垂直的判定定理可判断C；根据面面平行的性质可判断D.解答过程：选项A，当直线同时平行于平面与时，与可能相交，例如：当直线平行于两平面的交线时，满足条件，但此次不能得出，故A错误；选项B，由、，根据线面垂直的性质得；又，根据面面垂直的判定定理，可得，故B正确；选项C，线面垂直需直线垂直于平面内两条相交直线，但题中未明确直线相交，所以不能推出，故C错误.选项D，由且，得直线是平面与的交线；由且，得直线是平面与的交线.已知，根据面面平行的性质定理：两平行平面被第三个平面所截，所得交线互相平行，故，故D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张，则抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为______．答案：解析：思路：利用古典概型的概率求解.解答过程：从分别写有0，1，2，3的四张卡片中不放回地抽取两张的基本事件有：共6种抽法；抽到的两张卡片上数字之和大于3的基本事件有共2种抽法，所以抽到的两张卡片上数字之和大于3的概率为.13.已知随机事件与对立，与相互独立，若，则___________.答案：0.18##解析：思路：根据对立事件的概率公式求出，根据独立事件的概率公式求出．解答过程：因为与对立，所以，又与相互独立，所以．故答案为：0.18．14.如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．答案：2解析：思路：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值．解答过程：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下：由已知条件可知，，，设，，则，，，，，，，，故答案为：2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．（1）求及；（2）若，求实数的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由向量数量积的定义，向量数量积的运算律即可求解；（2）法一：由列出等式求解即可；法二：通过，再结合即可求解.（1）由题意得，所以，所以．（2）法一：若，则，所以，即，解得．法二：如图：，，，则，则以，为邻边的平行四边形为菱形，即，又，，则，又，则，即.16.在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点．（1）点，，，是否共面？请说明理由；（2）证明：平面．答案：（1）点，，，共面，理由如下：连接因为分别为的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为分别为的中点，所以，所以，则四点共面（2）连接因为底面为正方形，所以，因为平面，平面，则，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因，所以因为底面为正方形，所以，易得，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面.解析：思路：（1）证明即可说明点，，，共面；（2）分别证明平面，平面，利用线面垂直的性质可得，，结合线面垂直的性质即可证明结论.（1）点，，，共面理由略（2）略17.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率.答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.（1）由频率分布直方图可得，，解得，；这50名学生的物理成绩的平均数为：；（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人，其中内有2人，设为，内有3人，设为，“从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：，而事件“2人成绩都在内”=，由古典概型概率公式可得，.即这2人成绩都在内的概率为.18.如图，在平面四边形中，，．（1）若，，求的值；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）在中由余弦定理求出，在中再由正弦定理可得到答案；（2）由余弦定理得、，根据求出，再利用平方关系求出，最后由三角形面积公式可得答案.（1）在中，，，由余弦定理得，所以，在中，，，，所以由正弦定理得，得，，得；（2）在中，，由余弦定理得，在中，，，由余弦定理得，因为，所以，解得，所以，因为，所以，所以的面积.19.如图，在三棱台中，..平面，，，，点是棱的中点，点是线段的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值．答案：（1）证明：如图，连接，交于点，连接．在三棱台中，，所以，又是棱的中点，是线段的中点，所