山西省长治市学院附属太行中学校2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学满分150分.考试时间120分钟.一．单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，，则（）A. B.C. D.2.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.4.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是A. B. C. D.5.已知正实数满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.6.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（）A.1 B. C. D.07.已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.8.已知函数，设函数，则函数有6个零点的充要条件是（）A. B. C. D.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的有（）A.设，，若，则实数a的取值范围是B.“，”是“”成立的充分条件C.命题p：，，则：，D.“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件10.已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（）A. B.C. D.11.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A. B. C. D.三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.13.已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则__________.14.已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则__________.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.计算：（1）；（2）若，求及的值.16.已知函数，，.（1）是否存在，，使不等式的解集为?说明理由.（2）若，求不等式的解集.17.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）求不等式的解集.18.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．19.已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）讨论函数零点的个数；（3）当时，证明：当时，.

数学满分150分.考试时间120分钟.一．单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据题意，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解.解答过程：由不等式，可得，解得，可得集合，又由函数，可得，解得，可得集合，根据集合交集的定义与运算，可得2.下列各组函数表示同一函数的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根据两个函数是同一函数的条件逐项判断即可.解答过程：A选项，定义域为定义域为，两个函数定义域相同，对应的函数解析式不同，故A错误；B选项，由，可得定义域为，由可得定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故B错误；C选项，两函数定义域均为，虽然字母不同，但函数对应关系均相同，故为同一函数，故C正确；D选项，定义域为定义域为，两个函数定义域不同，故不为同一函数，故D错误.故选：C.3.函数的图象大致是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据函数为奇函数，可排除A、B选项，再根据指数函数与对数函数的增长趋势，得到时，，可排除C选项，即可求解.解答过程：由函数，都可其定义域为关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，可排除A、B选项；当时，；当时，；当时，，根据指数函数与对数函数的增长趋势，可得时，，可排除C选项.故选：D.4.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，所以，选B.5.已知正实数满足，则的最小值是（）A. B.4 C. D.答案：A解析：思路：由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可.解答过程：由，，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：A6.已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为（）A.1 B. C. D.0答案：A解析：思路：分离常数有，设，得到奇偶性，再利用对称性即可得到答案.解答过程：，令，定义域为，关于原点对称，则，所以函数为奇函数，因为在区间上的最大值为，最小值为，则在区间上的最大值为，最小值为，所以，即，所以，所以．故选：A．7.已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知在R上为奇函数，令，结合已知和单调性的定义及奇函数的对称性得在R上单调递减，并将不等式化为求解集.解答过程：由题设，即在R上为奇函数，令，在上，，所以，故在上单调递减，且，又，即在R上为奇函数，综上，在R上单调递减，由，则，所以，所以不等式的解集为.故选：D8.已知函数，设函数，则函数有6个零点的充要条件是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由题意通过数形结合在同一平面直接坐标系内画出直线与函数的图象，研究方程的根的分布情况，再接着结合关于的一元二次方程的根的个数分类讨论可得关于的一元二次方程的根的个数只能为2，由此不妨设或，根据二次函数的根的分布情况列出不等式或方程组即可求解.解答过程：由题意先来研究方程的根的分布情况，我们将其转换为直线与函数的图象的交点分布情况即可，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示，所以当时，方程有0个根；当时，方程有1个根；当时，方程有2个根；当或时，方程有3个根；当时，方程有4个根；而关于的一元二次方程的根的个数可能为0，1（两个相等的实数根），2，若关于的一元二次方程的根的个数为0，则函数的零点个数为0，若关于的一元二次方程的根的个数为1，则函数的零点个数至多为4个，所以关于的一元二次方程的根的个数只能为2，若函数有6个零点，且注意到在0，1，2，3，4这些数中，两个数之和为6只有两种情况：和，即设方程的两个根为，不失一般性，不妨设或，或，当且仅当此时满足题意，而若，且注意到二次函数开口向上，则当且仅当，解得；若，且注意到二次函数开口向上，则当且仅当，此时矛盾；若，则，此时无解，综上所述，函数有6个零点的充要条件是.故选：A.方法提示：关键点睛：关键是通过换元不断迭代，利用数形结合的思想来讨论方程的根或者函数的零点分布情况，由此即可顺利得解.二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.下列说法正确的有（）A.设，，若，则实数a的取值范围是B.“，”是“”成立的充分条件C.命题p：，，则：，D.“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件答案：BD解析：思路：分与两种情况讨论，求出参数的范围，即可判断A，根据不等式的性质及充分条件的定义判断B，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C，求出函数的导数，由恒成立求出的取值范围，再根据集合的包含关系判断D即可；解答过程：解：对于A：当，即，解得时满足，当，因为，所以，解得，综上可得，故A错误；对于B：由，则，故“，”是“”成立的充分条件，即B正确；对于C：命题p：，，则：，，故C错误；对于D：因为，所以，若在上单调递增，则恒成立，所以，解得，因为，所以“”是“函数是R上的单调增函数”的必要不充分条件，故D正确；故选：BD10.已知函数、定义域均为，且，为偶函数，若，则下面一定成立的是（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据条件判断关于中心对称和轴对称，可求出是函数的周期，利用函数的对称性和周期性进行转化求解即可.解答过程：由可得函数关于中心对称，且，又因为为偶函数，所以，令等价于，所以可知函数关于轴对称，再令替换，所以，所以知，，，所以，即是函数的周期，由，令，则，故A正确；因为，由已知条件无法求出，故C不正确；由可得，所以B不正确；由可得与关于中心对称，所以是函数的周期，，故D正确.故选：AD.方法提示：关键点点睛：根据条件判断函数，的对称性和周期性，利用函数的对称性和周期性进行转化求解时解决本题的关键.11.若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函为，与函数，为“同族函数”．下列函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是（）A. B. C. D.答案：BCD解析：思路：根据“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，结合各项函数的性质判断是否满足条件即可.解答过程：由题设，“同族函数”存在不同区间能取到相同值域，显然不符合，对于关于对称，必存在不同区间能取到相同值域，满足题设，对于在两侧各自递增，且值域均为R，满足题设；对于，在、上对应的值域相同，满足题设.故选：BCD三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________.答案：解析：思路：由的范围求出的范围，从而得到函数的定义域，由的定义域得到的范围，解出中的的范围，从而得到函数的定义域.解答过程：由，得，则函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为.故答案为：.13.已知函数，不恒为零，对于，满足，若，则__________.答案：解析：思路：根据所给的式子，利用赋值的方法求解即可.解答过程：因为，令，得，解得，令，得，解得，令，，得，即，令，得，即，又因为，所以，令，，得①，令，，得，整理得：，解得：，代入①式有：，解得，又因为，所以.故答案为：方法提示：方法点睛：抽象函数求函数值，往往利用赋值法求出函数的性质，再利用函数的性质求解.14.已知函数满足，函数，若与的图象恰有2024个交点，其坐标分别为，则__________.答案：4048解析：思路：根据等式得函数的图象关于点对称，再根据的图象也关于点对称，最后得出答案解答过程：在中，令，得，所以函数的图象关于点对称.，所以的图象也关于点对称，所以函数与图象的交点两两关于点对称，所以.故答案为：4048.四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.计算：（1）；（2）若，求及的值.答案：（1）（2），解析：思路：（1）根据指数幂的运算性质及对数的运算性质，计算求解即可.（2）由指数幂的运算和平方公式计算可得.（1）.（2）因为，所以，.16.已知函数，，.（1）是否存在，，使不等式的解集为?说明理由.（2）若，求不等式的解集.答案：（1）不存在，理由见解析.（2）答案见解析.解析：思路：（1）由不等式的解集，结合一元二次不等式与二次函数及方程的关系有，进而判断是否存在，.（2）讨论参数a的范围，应用一元二次不等式的解法求解集即可.（1）要使的解集为，即且的两个解为，∴，可得，显然与矛盾.∴不存在，，使不等式的解集为.（2）由题设，，∴当时有，即；当时，；当时有，即或；当时有，即；当时有，即或；17.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.（1）求函数的解析式；（2）判断的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）求不等式的解集.答案：（1）（2）函数在上单调递增，证明见解析（3）解析：思路：（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性即可；（3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，因为，所以，所以，所以当时，，当时，，则，综上所述，；（2）函数在上为增函数.证明：任取，且，则，因为，所以，，所以，即，故在上单调递增；（3）因为函数是定义在上的奇函数，所以，又由（2）知在上为增函数，所以，解得，故原不等式的解集为.18.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程；（3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值．答案：（1）（2）或（3）解析：思路：（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值.（1）由题意，因为，为直角三角形，所以.又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，,显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，联立消去得，，所以，即.且，因为，所以，所以，即，所以，整理得，即，化简得，即满足条件，所以直线的方程为或，即直线的方程为或.（3）由题意，,设直线的方程为,，则直线的方程为，，联立消去得，所以所以所以，同理联立消去得，所以所以所以，即的中点.所以，当且仅当，即时取等号，所以的面积最大值为.方法提示：关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综