陕西省商洛市2025-2026学年高二第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.3.已知向量，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.4.某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（）A. B. C. D.5.若函数的最大值为，则的最小正周期为（）A. B. C. D.6.已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（）A.0.3 B.0.15 C.0.85 D.0.77.已知函数若，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限10.一质点的运动方程为，其中是时间（单位：），是位移（单位：），若该质点在时的瞬时速度为，瞬时加速度为，则（）A. B. C. D.11.在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（）A.的最小值是B.正方体内切球的表面积为C.当时，的最小值为D.当取得最小值时，四棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式的常数项为54，则________．13.已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．14.对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”．已知为等差数列，，，且是的“和数列”，则________，数列的前项和________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时）与课堂注意力状况，整理数据后得到下表：单位：人课堂注意力睡眠时长在内在内在内集中一般

分散（1）以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在、内的概率；（2）若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集中”，根据所给数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？单位：人课堂注意力状况睡眠时长合计少于8小时不少于8小时正常

不集中

合计

附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.设等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：．17.在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，．（1）求四棱锥的体积．（2）若为的中点，点满足，证明：平面．（3）求平面与平面夹角的余弦值．18.水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种鱼苗饲料测试合格．两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中）：适口性筛选通过率养殖存活率实测通过率甲乙（1）试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？（2）若，记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为，求的分布列与数学期望．19.（1）证明：．（2）已知函数．（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）若，求的取值范围．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据交集定义求解.解答过程：，又，所以.2.椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由椭圆方程知，故短轴长为.3.已知向量，，且，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据求出的值，再根据向量夹角的计算公式求出向量与的夹角的余弦值，最后求出夹角.解答过程：因为

，，所以，

解得，即.所以.故向量与的夹角为.4.某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由所求事件的对立事件的概率求解.解答过程：所求事件的对立事件是该督察队中没有男干部，由间接法，得所求概率.5.若函数的最大值为，则的最小正周期为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由的最大值求得，再根据周期公式求解.解答过程：由题意的最大值为，解得，所以其最小正周期是.6.已知事件与相互独立，的对立事件为，当时，，则（）A.0.3 B.0.15 C.0.85 D.0.7答案：D解析：思路：利用相互独立事件的性质得到事件的概率，再结合对立事件概率和为1计算P(N)解答过程：因为相互独立，所以，又，所以，所以.7.已知函数若，则的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意得，.若，即，，解得.若，即，，解得.综上所述，.8.已知抛物线的焦点为F，点B在C的准线上，且线段与C交于点A．若，则直线的斜率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，可得，利用勾股定理求出即可求解.解答过程：过点作抛物线准线的垂线，垂足为，所以，则，所以，解得：，所以根据对称性可得直线的斜率为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数，则（）A.的虚部为 B.C. D.在复平面内对应的点位于第二象限答案：BCD解析：解答过程：.选项A，虚部为，错误.选项B，，所以，正确.选项C，，正确.选项D，对应点，位于第二象限，正确.10.一质点的运动方程为，其中是时间（单位：），是位移（单位：），若该质点在时的瞬时速度为，瞬时加速度为，则（）A. B. C. D.答案：BC解析：思路：先求质点的运动方程的导函数，再求得时的导函数值，即可得到所求的瞬时速度；.解答过程：因为质点的运动方程为，所以

，即质点运动的速度为，所以该质点在时​的瞬时速度为，因此A错误，B正确；对速度求导得加速度：，​，因此C正确，D错误.11.在棱长为4的正方体中，点E在棱上，且，P是底面内的动点，则（）A.的最小值是B.正方体内切球的表面积为C.当时，的最小值为D.当取得最小值时，四棱锥的体积为答案：ABD解析：思路：对于A，作关于底面的对称点，连接交平面于点，可得的最小值为，利用勾股定理即可求解；对于B，由正方体内切球的半径为棱长的一半即可求解；对于C，先判断点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆弧，作点在平面的投影，可得的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，利用点与圆的位置关系即可求得的最小值；对于D，利用A项结论求出到平面的距离，结合四棱锥体积公式求解即可.解答过程：对于A，作关于底面的对称点，连接，交平面于点，此时易得,则取得最小值，由于，,则,故A正确；对于B，因正方体内切球的半径为正方体边长的一半，即,所以其表面积为,故B正确；对于C，连接,因平面,平面,则，当时，,即点的轨迹为以为圆心，半径为4的圆在正方形内的圆弧，设点是点在平面上的投影，则的轨迹为以为圆心，半径为的圆弧，所以，由点与圆的位置关系可知，，当最小时，则最小，即，故C错误；对于D，由A选项可知，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，则,即点为的中点，由于点到平面的距离为，点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，则四棱锥的体积为,故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若的展开式的常数项为54，则________．答案：3解析：解答过程：的展开式的通项为，，令，解得，可知常数项为，可得.13.已知双曲线：的右焦点为，是的一条渐近线上的点．若的最小值为2，且的实轴长为6，则的离心率为________．答案：##解析：解答过程：双曲线的一条渐近线方程为，即，而，则，因为的实轴长为6，所以，即，则，所以的离心率为.14.对于数列，，若（为常数），则称是的“和数列”．已知为等差数列，，，且是的“和数列”，则________，数列的前项和________．答案：①.②.解析：思路：根据已知及等差数列的通项公式求基本量，进而求得，结合数列新定义求得且，最后应用等比数列的前n项和公式求和即可.解答过程：设等差数列的公差为，则，而，，可得，因此，则，又，则，对任意都有，因此，则，即，则.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时）与课堂注意力状况，整理数据后得到下表：单位：人课堂注意力睡眠时长在内在内在内集中一般

分散（1）以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在、内的概率；（2）若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集中”，根据所给数据，完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？单位：人课堂注意力状况睡眠时长合计少于8小时不少于8小时正常

不集中

合计

附：，．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828答案：（1）0.25，0.75（2）与睡眠时长无关课堂注意力状况睡眠时长合计少于8小时不少于8小时正常6436100不集中16420合计8040120解析：解答过程：（1）由表知睡眠时长在内的频率为，睡眠时长在内的频率为，故该校学生睡眠时长在、内的概率估计值分别为0.25和0.75．（2）列联表如下：单位：人课堂注意力状况睡眠时长合计少于8小时不少于8小时正常6436100不集中16420合计8040120零假设为：课堂注意力状况与睡眠时长无关．，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为课堂注意力状况与睡眠时长无关．16.设等差数列的前项和为，已知，．（1）求的通项公式；（2）记，数列的前项和为，证明：．答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式计算即可.（2）根据裂项相消法证明即可.（1）解：因为，所以．又，所以公差，所以．（2）由（1）知，所以．17.在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，且，，．（1）求四棱锥的体积．（2）若为的中点，点满足，证明：平面．（3）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）（2）证明：过点作，交于点，连接．因为，所以．因为为的中点，，所以．又，所以四边形是平行四边形，则．因为平面，平面，所以平面，同理可证平面．因为，所以平面平面．因为平面，所以平面．（3）解析：解答过程：（1）解：因为梯形的面积，所以四棱锥的体积．（2）略（3）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．设平面的法向量为．由，得，取，则．易知平面的一个法向量为，所以，故平面与平面夹角的余弦值为．18.水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种鱼苗饲料测试合格．两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中）：适口性筛选通过率养殖存活率实测通过率甲乙（1）试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？（2）若，记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高（2）解析：思路：（1）根据题意可得，，结合二次函数最值分析判断即可；（2）可得，可知的可能取值为0，1，2，分别求对应的概率，即可得分布列和期望.（1）设甲、乙两种鱼苗饲料测试合格的事件分别为，，，，因为，则，当且仅当时，等号成立，且，所以，即甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高．（2）若，则由（1）可得，由题意可知的可能取值为0，1，2，则，，，所以的分布列为所以．19.（1）证明：．（2）已知函数．（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）若，求的取值范围．答案：（1）证明：令，则．当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即．（2）（i）（ii）解析：思路：（1）构造函数，通过求导分析单调性得到函数最小值为，进而证得不等式；（2）（i）求出函数在处的函数值与