陕西省渭南市校联考2025-2026学年高二第二学期期末质量评估数学试题 含答案解析

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．1.下列说法错误的个数是（）①根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联”；②对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为；③当样本相关系数的绝对值等于时，样本数据无相关性；④在一组数据中插入一个数后，该组数据的方差变大A.个 B.个 C.个 D.个2.若函数的反函数为，那么（）A. B. C. D.3.已知函数，则是（）A.偶函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是增函数C.偶函数，且在上是减函数 D.奇函数，且在上是减函数4.已知，，，则（）A. B. C. D.5.对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随.则当和伴随，则和伴随的充要条件是（）.A. B.C. D.6.已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（）A. B. C.9 D.57.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.8.某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．9.已知，若，则下列说法正确的是（）A. B.C.除以6所得余数为1 D.10.某校为了解课后体育锻炼与体质测试达标是否有关，随机调查了80名学生，得到如下列联表：体质测试达标体质测试未达标合计经常参加课后体育锻炼301040不经常参加课后体育锻炼202040合计503080从参加调查的学生中随机抽取一人，记事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，事件B为“该学生体质测试达标”，则（）附：，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.B.C.根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关D.根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关11.已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________．13.已知实数，，成等比数列，则其公比是__________.14.若，，不等式恒成立，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16～17题15分，18～19题17分．15.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表：准确率（%）频数102030（1）求的值，并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数；（2）若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率.16.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围．17.某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y．（1）求；（2）求；（3）求．18.已知数列的首项为，点在函数的图象上．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，．（i）求数列的前项和；（ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明．19.已知函数的图象在定义域上连续不断，，，在区间上单调递减，是的导数.（1）证明：是周期函数；（2）给定，设，证明：存在，使得；（3）若，，，设函数.（i）求的最大值；（ii）若存在，使得对恒成立，求实数的最小值.

数学本试卷共4页，满分150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求．1.下列说法错误的个数是（）①根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据独立性检验，可以认为“与没有关联”；②对具有线性相关关系的变量，，其经验回归方程为，样本中心点为，则样本点的残差为；③当样本相关系数的绝对值等于时，样本数据无相关性；④在一组数据中插入一个数后，该组数据的方差变大A.个 B.个 C.个 D.个答案：D解析：思路：对①根据独立性检验的定义判断可得，对②先由样本中心求得回归直线方程，再根据残差定义计算可得，对③根据相关系数的定义判断可得，对④直接计算插入数前后数据的方差可得.解答过程：对①：独立性检验中，当时，仅能说明在显著性水平下，没有充分证据推断与有关联，不能直接得出“与没有关联”的结论，故①错误；对②：经验回归直线过样本中心点，代入得，解得，即回归方程为.当时，，残差为，故②错误；对③：样本相关系数刻画的是变量间的线性相关程度，当时，仅说明变量间不存在线性相关关系，可能存在非线性相关关系，不能判定样本数据无相关性，故③错误；对④：原数据的均值，方差；插入数后，新数据的均值，方差，方差变小，故④错误.综上所述，个说法均错误.2.若函数的反函数为，那么（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用互为反函数的两个函数可以互相还原，先求出的反函数表达式，再和题干给出的原函数划等号，整理变形得到的关系式.解答过程：由知，，即函数的反函数为．因函数的反函数为，故；则B正确．3.已知函数，则是（）A.偶函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是增函数C.偶函数，且在上是减函数 D.奇函数，且在上是减函数答案：D解析：思路：根据函数奇偶性和函数单调性的定义判断得到结果；解答过程：已知函数，定义域为，关于原点对称.，故是奇函数.，因为且在上单调递增.所以在上单调递增，进而在上单调递减.故在上单调递减.综上，是奇函数，且在上是减函数.4.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：，，令，求导得，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；因为，所以，所以，即，综上，．5.对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随.则当和伴随，则和伴随的充要条件是（）.A. B.C. D.答案：C解析：思路：设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论.解答过程：设，，，，则，，当和伴随，有或，又，，若和伴随，则或，所以和伴随的充要条件是，即.6.已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（）A. B. C.9 D.5答案：B解析：思路：根据，结合已知条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，把求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可．解答过程：设数列的公差为，设数列的公差为.因为等差数列和的前项均为正整数，且公差均不为0，所以首项和公差为整数，即，若数列是递增数列，则，这样，已知，此时，与题意不符，故数列是递减数列，即，而，，若要求的最小值，只需求的最小值，若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为，时，，下面分析最小值：当时，，此时，即最小值必定大于等于；当时，递减数列最小项，即，解得，结合得，解得，由于且为整数，故，则，因为，得，若，满足题干所有条件，若，则，，，则，，则，故，结合为整数，，故，则，综上，的最小值为．7.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：不等式整理为，构造函数，用导函数判断函数单调性，再取对数变量分离，再令，求导函数进而求最值可得.解答过程：由，得，令，则不等式变形为在上恒成立.因为，再令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；，即，所以在上单调递增，因此，由得，即，所以不等式在上恒成立.设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以.因此实数的取值范围为.8.某种酵母菌发酵过程中，发酵原液浓度，定义浓度对应的代谢函数，满足代谢变化率，已知原液浓度时，．现经过小时后，发酵液浓度变为，若要求，求实数的取值范围（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：通过构造函数，判断其单调性，通过变形将不等式转化为求解.解答过程：设，则，因为，所以，所以在上单调递增..由，所以，即，因为在上单调递增，所以，即，所以的取值范围是.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分．9.已知，若，则下列说法正确的是（）A. B.C.除以6所得余数为1 D.答案：BCD解析：思路：令，可求得，从而得，对于A，利用赋值法即可判断；对于B，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于C，由题意可得，利用二项式展开式的通项公式，即可判断；对于D，对函数的两个解析式分别求导，再令，即可判断.解答过程：令，则有，因为，则得，解得，所以，对于A，令，则有，所以，故A错误；对于B，因为，其展开式的通项为：，令，得，所以，故B正确；对于C，因为，其展开式为：，所以除以6所得余数为1，故C正确；对于D，因为，求导得，令,得；又因为，则，令,得，所以，故D正确.10.某校为了解课后体育锻炼与体质测试达标是否有关，随机调查了80名学生，得到如下列联表：体质测试达标体质测试未达标合计经常参加课后体育锻炼301040不经常参加课后体育锻炼202040合计503080从参加调查的学生中随机抽取一人，记事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，事件B为“该学生体质测试达标”，则（）附：，0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879A.B.C.根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关D.根据小概率值的独立性检验，可以认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关答案：ABC解析：解答过程：选项A：事件A为“该学生经常参加课后体育锻炼”，总调查人数为80，经常参加锻炼的共40人，故，A正确；选项B：为体质测试达标条件下，学生经常参加锻炼的概率，体质达标的学生共50人，其中经常参加锻炼的有30人，故，B正确；选项C：代入卡方公式计算得，根据的独立性检验，可认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关，C正确；选项D：，根据的独立性检验，不能认为经常参加课后体育锻炼与体质测试达标有关，D错误.11.已知函数对任意的，满足，则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.答案：AC解析：思路：构造函数，根据题意，求得在单调递增，结合选项，利用函数的单调性和特殊角的三角函数值，即可求解.解答过程：构造函数，可得，因为，可得，又因为，所以，在单调递增，对于A，由，可得，即，可得，所以，所以A不正确；对于B，由，可得，即，可得，所以，所以B不正确；对于C，由，可得，所以，可得，所以C正确；对于D，由，可得，所以，可得，所以D不正确.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若正项整数数列满足，，已知，则的所有可能取值的和为________．答案：24解析：思路：利用递推关系进行求解．解答过程：因为，当时，，解得，当时，，解得或，当时，，解得或或，则的所有可能取值的和为：．13.已知实数，，成等比数列，则其公比是__________.答案：解析：解答过程：设数列的三项分别为，，，设等比数列的公比为，则通项为，，，所以,,则.14.若，，不等式恒成立，则________．答案：1解析：思路：若，不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，利用导数分析的单调性，即可求得的值.解答过程：若，，不等式恒成立，则恒成立，即，即恒成立.令，则在上单调递减..令，得，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以.又，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤；15题13分，16～17题15分，18～19题17分．15.人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量.很多学校已经推出基于豆包的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新.某探究小组利用豆包解答完成100份不同的模拟试卷，统计其解答准确率，整理得到如下频数分布表：准确率（%）频数102030（1）求的值，并估计豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数；（2）若按比例分配的分层随机抽样的方法从准确率在，的两组中抽取7份试卷，再从这7份试卷中随机抽取2份试卷，求这2份试卷来自同一组的概率.答案：（1），第62百分位数为（2）解析：思路：（1）

先依据总频数为求解，再通过百分位数定义计算可得豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数；（2）先借助分层随机抽样定义求出从组及组抽出的份数，再利用列举法分别求出从这7份试卷中随机抽取2份试卷的所有可能种数及这2份试卷来自同一组的可能种数即可得.（1）；由，，故豆包解答这100份试卷准确率的第62百分位数为；（2），，故从组抽取份，从组抽取份，设从组抽取的份分别为，从组抽取的份分别为，则从这份试卷中随机抽取份试卷，有、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共种可能，其中来自同一组的情况有、、、、、、、、，共种可能，故从这7份试卷中随机抽取2份试卷，这2份试卷来自同一组的概率为.16.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调，且存在，使得，求实数a的取值范围．答案：（1）的极小值为，无极大值（2）解析：思路：代入参数值，求导求得函数极值；求出导函数并因式分解，转为求更简单的函数值域，利用函数单调性求的初步范围，利用存在性条件和函数最值进一步缩小的范围得出结论.（1）当时，，定义域为，则，，，当时，，则，单调递减，当时，，则，单调递增，故时，有极小值：，没有极大值.（2），在区间上单调，在上不变号，此时，，令，则在上，恒成立或恒成立，若在区间上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，即，若在区间上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，即.则当时，因在上单调递增，，令，解得，故得；当时，因在上单调递减，，令，即，也即，比较和大小：，且，，.故实数a的取值范围是.17.某互动智能屏的屏幕中央有一个圆形图案，其圆周上等距分布着6个感应点．点击“开始”后，每个感应点被点亮的概率均为，各感应点的显示结果相互独立．记被点亮的感应点的个数为随机变量X，以被点亮的感应点为顶点构成的直角三角形的个数为随机变量Y．（1）求；（2）求；（3）求．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先根据题意进行几何转化，再利用点亮数服从二项分布建模，对进行等价转化，进而求出相应概率；（2）对应3种互斥情况，求出相应概率，进而利用条件概率公式计算求解；（3）先定义指示变量，再利用期望线性性计算求解．（1）圆周上6个等距点对应正六边形顶点，由圆周角定理，直角三角形的斜边为圆的直径，共3条直径，每条直径与其余4个点分别构成4个直角三角形，共计个直角三角形，随机变量，即，当且仅当恰好点亮3个点，且3个点恰好构成1个直角三角形，总共个直角三角形，每个直角三角形对应“3个点亮、其余3个不亮”的互斥事件，单个直角三角形被点亮的概率：，故．（2），仅发生在时，即4个点恰好是2条直径的端点，则，，仅发生在时，即5个点恰好是2条直径的端点，每条直径对应3个直角顶点，共6个直角三角形，则，，仅发生在时，3条直径全部完整，共个直角三角形，，则，且，由条件概率公式得．（3）设个直角三角形对应指示变量，其中表示第个直角三角形的三个顶点全被点亮，否则，则，对每个，3个顶点全被点亮的概率为，故，由线性期望得：．18.已知数列的首项为，点在函数的图象上．（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，．（i）求数列的前项和；（ii）试确定所有的正整数，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，并证明．答案：（1）因为点在函数的图象上，所以，即，整理得，又，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，整理得；（2）（i）；（ii），设数列从第项开始，连续项的和为，，，数列的项全部为正奇数，因此要求为奇数，即为奇数，因为恒为奇数，所以必须为奇数，题意等价于存在正整数，使得③，当为正偶数时，令，，因此，，即是的倍数，所以是偶数，与必须为奇数矛盾，即为正偶数均不满足条件，当为正奇数时，令，，奇次幂保持余数，，即除以余，所以为奇数，证明如下：取（取数列第一项为连续段起点），代入③得，解出，为奇数，则为偶数，设，，，，所以能被整除，为整数，又，代入得，即是正整数，所以对任意正奇数，取时，总能找到对应的正整数，使连续项和，满足题意，即满足条件的正整数是全体正奇数，即．解析：思路：（1）由点在函数图像上得递推式，取倒数变形构造，证得等比后利用等比通项反解出；（2）（i）代入化简求出，再算出，得到等差乘等比型数列，采用错位相减法求前项和；（ii）设