陕西省咸阳市永寿县中学2026届高三上册开学考试数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试时间120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A.4 B. C.1 D.4.圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.6.已知函数，则函数（）A.最小正周期为 B.是奇函数C.在区间上单调递增 D.一条对称轴是7.已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形8.已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.取得最小值时 D.数列是等比数列10.一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（）A.的可能取值为0，1，2，3 B.C. D.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数有2个极值点B.函数无最小值C.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是D.函数有5个零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数是__________.13.已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）.14.已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.16.为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与女生的比例是，其中男生中有40%的同学近视，女生中有25%的同学近视.（1）若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少？（2）若抽取的学生总共100人，请完成下面的列联表.性别视力合计近视不近视男生

女生

合计

试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关.附：（的值保留三位小数）0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.87917.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19.“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：（Ⅰ）当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；（Ⅱ）当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在锐角中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）已知，点M为的费马点.①若，记，求；②求的取值范围.

数学满分150分，考试时间120分钟）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：根据复数的乘法运算即可求解对应的点的坐标.解答过程：,则对应的点为，故在第三象限，故选:C2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据交集的运算求解.解答过程：因为，，所以，故选：A.3.已知向量，，若，则（）A.4 B. C.1 D.答案：D解析：思路：利用平面向量平行的坐标表示计算即可.解答过程：由得，解得.故选:4.圆与圆的位置关系是（）A.相离 B.外切 C.相交 D.内切答案：B解析：思路：根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系.解答过程：对于圆，圆心为，半径；对于圆，圆心为，半径.两圆圆心距，又，所以，所以两圆外切.故选：B5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：由题意知关于对称，，再由在上单调递增可判断大小关系.解答过程：因为函数是定义在R上的偶函数，所以对，，所以关于直线对称，所以，又因为在上单调递增，所以.故选：B6.已知函数，则函数（）A.最小正周期为 B.是奇函数C.在区间上单调递增 D.一条对称轴是答案：D解析：思路：A选项，利用三角恒等变换得到，从而求出最小正周期；B选项，，，是非奇非偶函数；C选项，整体法求出在上单调递减，在上单调递增，C错误；D选项，整体法求出函数对称轴为，，D正确.解答过程：A选项，，最小正周期，故A错误；B选项，因为，，所以是非奇非偶函数，故B错误；C选项，令，，解得，，令得，，故在上单调递增，同理可得在上单调递减，故C错误；D选项，令，，即，，当时，，所以是的对称轴，故D正确.故选：D.7.已知正三棱锥，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，其中D，E分别是AB，BC的中点.如果直线平面DEFH，那么四边形DEFH是（）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形答案：C解析：思路：先根据线面平行得出四边形DEFH是平行四边形，利用线面垂直可得，从而可得四边形DEFH是矩形.解答过程：取AC的中点G，连接SG，BG.因为是正三角形，则.因为是正三棱锥，所以，则，平面SGB，故平面SGB，因为平面SGB，所以.因为平面DEFH，平面SAB，平面平面，所以，同理.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得，且，即且，所以四边形DEFH为平行四边形.又，，，所以，所以四边形DEFH为矩形.故选：C.8.已知双曲线的左、右顶点分别为点，，点在双曲线的右支上且异于点.若直线的斜率的取值范围是，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：由双曲线方程可得，，设，代入双曲线方程可得.结合斜率公式、不等式的性质及题干条件即可求解.解答过程：由双曲线方程可得，，设，则，即.所以，所以.又，所以.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（）A. B.C.取得最小值时 D.数列是等比数列答案：ABD解析：思路：联立方程，求出等差数列的首项和公差，结合等差数列的前项和公式以及等比数列的定义依次判断选项即可.解答过程：设等差数列的公差为d，则，解得，，所以，，当或时，有最小值，故A，B正确，C错误；因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确.故选：ABD.10.一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（）A.的可能取值为0，1，2，3 B.C. D.答案：BC解析：思路：由题可知服从超几何分布，且，，，，，即可判断选项A；根据离散型随机变量分布列概率的性质即可判断选项B；超几何分布的均值公式即可判断选项C；由离散型随机变量均值的性质即可判断选项D.解答过程：由题可知服从超几何分布，且，，，，.易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误；，故选项B正确；由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确；由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误.故选：BC.11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.函数有2个极值点B.函数无最小值C.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是D.函数有5个零点答案：AD解析：思路：对函数求导，即可得到函数的单调区间，然后得到函数的极值点，结合函数解析式画出函数大致图象，从而判断A、B、C；令解得的值，结合函数的极值点及函数图象得到零点个数，从而判断D.解答过程：，当时，；当时，，所以在，上为增函数，在上为减函数，当时，函数有极大值，当时，函数有极小值.由，即，得或，所以当时函数的图象在x轴上方，画出函数图象，如图由图知，A正确，B错误；若函数在上是减函数，实数a的取值范围是，故C错误；由得或.因为，，所以与，的图象共有5个交点，所以函数有5个零点，故D正确.故选：AD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数是__________.答案：10解析：思路：由二项式通项确定含的项求系数.解答过程：的二项式通项为，由，得，所以展开式中的系数为.故答案为：.13.已知数列的前n项和为，，，则__________（用数字作答）.答案：解析：思路：写出前11项的和，由等比数列的求和公式求解即可.解答过程：因为，，，，所以.故答案为：14.已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是__________.答案：解析：思路：结合指数函数性质证明函数在上单调递增，当时，，不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，令，结合基本不等式求的最小值，由此可得结论.解答过程：因为函数，在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以当时，，由已知在上恒成立，得，即在上恒成立，令，则，所以在上恒成立，所以，其中，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以a的取值范围是.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.答案：（1）（2）令，则，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以当时，有最小值为，所以当时，，即当时，.解析：思路：（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）将问题转化为，然后利用导数求出的最小值即可证明.（1）由题，，所以切线斜率为.因为切点为，所以切线方程为，即.（2）略16.为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的6月6日为“全国爱眼日”.某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与女生的比例是，其中男生中有40%的同学近视，女生中有25%的同学近视.（1）若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少？（2）若抽取的学生总共100人，请完成下面的列联表.性别视力合计近视不近视男生

女生

合计

试根据小概率值的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关.附：（的值保留三位小数）0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879答案：（1）（2）列联表：性别视力合计近视不近视男生243660女生103040合计3466100视力与性别无关解析：思路：（1）设事件，由题意写出对应事件的概率，然后由全概率公式得到结果；（2）作零假设，根据题意完成列联表，由表内数据计算及公式，对照表格得出结论.（1）记“抽取的学生是男生”，“抽取的学生是女生”，“抽取的学生近视”.由题意可知，，，，所以.（2）零假设为：视力与性别相互独立，即视力与性别无关.由题意可得下面的列联表：性别视力合计近视不近视男生243660女生103040合计3466100根据列联表中的数据，经计算得到，所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即视力与性别无关.17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据周长和离心率列出方程组可得方程；（2）联立方程结合韦达定理和向量数量积求出斜率，利用弦长公式可得答案.（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得，解得，，所以，所以椭圆C的方程为.（2）由题意可知直线l的斜率存在，设为k，所以直线l的方程为.设，，由，得，所以，，由得.由，得，满足，所以，，所以.18.如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.答案：（1）证明：因为平面，平面，则，在正方形中，，因，平面，则平面，因平面，则，又，点是的中点，则，又因为，平面，故平面.（2）（3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或解析：思路：（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论；（2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得；（3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标.（1）略（2）由（1）平面，因平面，则，因平面，平面，则，又，，平面，所以平面，因平面，则，又因为是的中点，，则，因，平面，则平面，因平面，则，因，平面，则平面，因为平面，则，即，即由（1）平面，因平面，则，即，又，则，则，因为