四川省乐山市2025-2026学年高二第二学期教学质量监测数学试题 含答案解析

数学满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A.有3个零点 B.是的极小值点C.函数在区间上单调递减 D.的最大值是4.已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（）A. B. C.3 D.65.是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.108种8.已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（）A. B.C.是数列中的最大项 D.若，则的最小值为4051二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则（）A.与具有正的线性相关关系B.当父亲身高为时，女儿身高一定为C.若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加D.若残差越小，说明模型的拟合效果越好10.已知且，指数函数，对数函数，则（）A.若的图象过点，则B.函数的图象过定点C.若，则D.当时，对任意，，都有11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（）A.曲线围成的图形面积为B.曲线上任意两个顶点间的最大距离为C.若点在曲线上，则最小值为D.若直线与曲线有公共点，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________．13.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________．14.为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的点测得主峰顶点的仰角为，沿北偏东方向航行后到达点，测得的仰角为，且此时主峰位于点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为________（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15.已知是各项均为正数的等比数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．16.已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积．17.如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18.已知函数，．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）若有三个零点，求的取值范围．19.一场电影观影中，影院内有（）个座位，且每个座位均对应一名持票观众，现在观众依次检票进入影院．已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在个座位中随机选择一个位置坐下．后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；若位置被占据，则将在剩余的位置中随机选一个坐下．（1）若，求第3位进场的观众选对位置的概率；（2）若，记为电影院内最终坐错位置的人数，求的数学期望；（3）证明：无论取何值，最后一位进场的观众坐错位置的概率都相等．

数学满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据不等式的解法，求得集合，结合集合补集的定义与运算，即可求解.解答过程：由不等式，可得，解得，所以，因为，所以.2.复数的共轭复数是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案.解答过程：因为，所以其共轭复数是故选：A方法提示：本题考查复数的除法运算，还考查了求复数的共轭复数，属于基础题.3.已知函数的导函数的图象如图所示，则（）A.有3个零点 B.是的极小值点C.函数在区间上单调递减 D.的最大值是答案：C解析：思路：从导函数图象得到函数单调性，并由零点，极值点，最值的定义出发进行判断解答过程：从图象可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C正确；故不是的极值点，B错误；是的极大值，不是最大值，D错误；的零点个数不确定，A错误.4.已知，是两个不共线的向量，，．若与是共线向量，则实数（）A. B. C.3 D.6答案：A解析：解答过程：因为与共线，所以存在实数，使得.即.由于不共线，则得由第一式得，代入第二式，解得.5.是定义在R上周期为的奇函数，当时，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用周期性与奇函数性质求的值.解答过程：因为是定义在上周期为的奇函数，所以.故选：C.6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由诱导公式变形和同角三角函数关系可得答案解答过程：，因为，所以，故因为，所以，故.7.如图，现要对某市的5个区域地图进行着色，有4种颜色可供选择，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.48种 B.72种 C.96种 D.108种答案：B解析：思路：应用分步分类计数原理求不同着色方法数.解答过程：第一步涂：有种颜色可选，共种选择，第二步涂：与不同色，共种选择，第三步涂：与都不同色，共种选择，第四步涂、：分两类讨论，当与同色时，只有种，与相邻，只需排除两种颜色，共种，此情况总数，当与不同色时，需要排除三种颜色，共种，与相邻，需要排除三个不同颜色，共种，此情况总数，所以总着色方法为种.8.已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（）A. B.C.是数列中的最大项 D.若，则的最小值为4051答案：D解析：思路：根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误.解答过程：已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于1，一项小于1，又，故同号且，结合，若，则，矛盾，因此，数列单调递减，由此得，A：，，故，错误；B：等比中项公式得，因为，则，即，错误；C：因为，数列单调递减，又，当时，当时，所以⟹T2025>T2024因此最大项是，不是，错误；D：若，则最小值为，等比数列性质，，因为===，所以，已知，故；因为===，，故最小值为4051，正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知女儿身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程，则（）A.与具有正的线性相关关系B.当父亲身高为时，女儿身高一定为C.若父亲身高每增加，则女儿身高平均增加D.若残差越小，说明模型的拟合效果越好答案：AC解析：解答过程：选项A：由题目可知，所以与具有正的线性相关关系，故选项A正确；选项B：当父亲身高为时，则其女儿身高可能为，而不是一定，故选项B错误；选项C：由题目可知，即当父亲身高每增加，则女儿身高平均增加，故选项C正确；选项D：根据残差的定义可知，残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越好，并非残差，故选项D错误.10.已知且，指数函数，对数函数，则（）A.若的图象过点，则B.函数的图象过定点C.若，则D.当时，对任意，，都有答案：BCD解析：解答过程：对于A，因为的图象过点，所以，又，所以，所以，，所以，则，故A错误；对于B，，当时，，即函数的图象过定点，故B正确；对于C，因为，所以，解得，则在上单调递增，又，，则，故，故C正确；对于D，因为，所以，故D正确.11.我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫做“优美曲线”的顶点．对于“优美曲线”：，则（）A.曲线围成的图形面积为B.曲线上任意两个顶点间的最大距离为C.若点在曲线上，则最小值为D.若直线与曲线有公共点，则的取值范围为答案：ABD解析：思路：因为方程含绝对值，将方程转化为各象限内的圆的标准方程，结合对称性得到曲线的完整图形，因为图形关于坐标轴、原点对称，先计算第一象限内的图形面积，再乘以4，第一象限图形可拆为扇形和三角形面积之和；求顶点间最大距离时，联立对称轴和曲线方程得到所有顶点坐标，再计算两点间距离的最大值；求的最小值时，可转化为求曲线上的点到直线的距离的最小值，再乘以；求直线与曲线有公共点时的范围时，利用对称性先分析第一象限的曲线段与直线的位置关系，结合圆心到直线的距离不大于半径，以及直线与曲线段端点的连线斜率，得到的取值范围。解答过程：对配方得：

曲线关于轴、轴、原点对称，也关于、对称，本质是四个圆心为、半径为的圆拼接成的闭合曲线，逐个分析选项：A：连接曲线与坐标轴交点，得到中间正方形，正方形对角线长为，面积为：

,正方形每条边外对应一个半圆，半圆直径为，半径，四个半圆总面积为：

总面积，正确.B：根据定义，顶点是优美曲线和其所有对称轴的交点.曲线的对称轴为，求得所有顶点为.任意两顶点的最大距离为与（或与）的距离：

，B正确C：是点到直线的距离，即.曲线上离最近的点为，满足，确实在曲线上，代入得：

d=∣-1-1+3∣2=12⟹∣a+b+3∣=2D：直线恒过点，曲线上点的最大纵坐标约为，直线与曲线有公共点等价于圆心到直线距离小于等于半径.对上方两个圆心，相切时满足距离等于半径，计算得相切时；当时直线平缓，与曲线无交点，当时存在公共点，因此的范围为，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若抛物线：（）上一点到焦点的距离为9，则________．答案：6解析：解答过程：抛物线的焦点坐标为，准线为，点到焦点的距离为9，即点到准线的距离为9，所以，解得.13.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为________．答案：解析：解答过程：由题意可知：圆柱的高，底面半径，所以该圆柱的表面积.14.为测量某海岛主峰的海拔高度，勘测船在海平面上的点测得主峰顶点的仰角为，沿北偏东方向航行后到达点，测得的仰角为，且此时主峰位于点的正北方向，则该海岛主峰的海拔高度为________（海平面海拔视为0，结果保留最简根式）．答案：解析：思路：作出示意图，为海岛主峰，由题意可得，，，，设，求得，，在中，由余弦定理可得，求解即可.解答过程：作出示意图如图所示：为海岛主峰，由题意可得，，，.设，在中，，所以，在中，，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以，解得或（舍去），所以海岛主峰的海拔高度为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15.已知是各项均为正数的等比数列，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用等比数列通项把方程转化为公比的一元二次方程，结合正项数列舍去负根，再整理成指数幂统一形式；（2）对数化简后得到等差数列通项，验证首项、公差后，套用等差数列求和公式快速算出前项和.（1）设数列的公比为，，，．解得（舍去）或．因此数列的通项公式为．（2）由（1）得．当时，，又，故是首项，公差为-2的等差数列，则．16.已知椭圆：（）的离心率为，焦距为2．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据离心率和焦距可得，即可得，从而求得椭圆C的方程；（2）求直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合弦长公式求得，以及点到直线的距离，即可得面积.（1）因为椭圆：（）的离心率为，焦距为2，则，解得，可得，所以椭圆的方程为：．（2）由题意可知：，直线的斜率，且直线与椭圆必相交，则直线的方程为，联立方程，消去y可得，设，，则，，可得，且点到直线：的距离为．所以的面积为．17.如图，在四面体中，，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．答案：（1）法1：以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，由已知得，，，．由是中点，得．是中点，故．由，得，因此．平面的法向量为．因为，且平面，因此平面．法2：取的中点，连结、，由是的中点可得．由平面，平面，因此平面．由是的中点得，又．所以，而平面，平面，因此平面．由得，平面平面．因为平面，所以平面．（2）解析：思路：（1）法1：建系求出向量，利用它与底面法向量垂直，直接证线面平行；法2：构造中位线得到两组相交直线分别平行底面，由面面平行推出线面平行；（2）建立坐标系求出两个平面的法向量，套用夹角公式，取绝对值计算面面夹角的余弦值.（1）略（2）以为原点，分别以射线、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，不妨设，由已知得，，，．由是中点，得；是中点，故．由，得，因此．设平面的法向量为，已知，．由得，令，解得，，即．因为平面的法向量为．故．所以平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数，．（1）若，求函数在处的切线方程；（2）若在恒成立，求的取值范围；（3）若有三个零点，求的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）当时，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解；（2）根据题意，转化为，令，求得，得到函数的单调性和最小值，即可求解；（3）由，得到当时，方程有两个不同的非零解，转化为与的图象有两个非零交点，作出函数的图象，结合图象，即可求解.（1）当时，，可得，则，且，即切点为，切线的斜率为，所以函数在处的切线方程为，即．（2）由，即，因为，所以，即证，令，其中，可得，当，，单调递增；当，，单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为．（3）因为函数有三个零点，即有三个根，因为，所以0是的一个零点，所以当时，方程有两个不同的非零解，即当时，方程有两个不同的非零解，可转化为与的图象有两个非零交点，由（2）可知在单调递减，在单调递增，且又因为，且当时，；当时，，在同一坐标系中，画出函数与的图象，如图所示，当时，，解得，不满足非零条件，所以或，即实数的取值范围为．19.一场电影观影中，影院内有（）个座位，且每个座位均对应一名持票观众，现在观众依次检票进入影院．已知第一位进场的观众不慎将电影票落在了检票处且无法取回，该观众忘记了自己的座位号，他将在个座位中随机选择一个位置坐下．后面进场的观众，若位置未被占据，则将在自己的位置上坐下；