四川省乐山市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题 含答案解析

数学（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C. D.2.已知点，，，下列向量运算结果为的是（）A. B. C. D.3.某班级进行了一次数学测验，满分为150分．设事件A表示“学生成绩及格（分数分）”，事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”．若，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.74.已知，，则（）A. B. C. D.5.若，则（）A. B. C. D.6.下列命题中，正确的个数是（）①若直线，那么平行于经过的任何平面②若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则平面与平面平行③若平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面④已知平面，，，且，，，则A.0 B.1 C.2 D.37.已知所在平面内一点，满足，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.8.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，，且满足，，，记样本的方差为，则的最大值是（）A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.25二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的定义域为 B.在定义域内单调递减C.当时，的最小值为 D.的图象关于点中心对称10.设是所在平面内一点，则（）A.若，则点是的外心B.若，则点是的重心C.若，则点是的内心D.若，则点在的角平分线上11.如图，正方体的棱长为2，点、、分别是棱，，的中点，则（）A.平面B.平面C.过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为D.能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象过点，则__________．13.在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．14.夹江竹纸是国家级非物质文化遗产．用其制成的折扇扇面可以抽象成如图所示的扇形，其中，．点在弧上（含端点），连接交弧于点，记，．当取得最小值时，__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15.柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，其中下标为1代表左脚鞋，下标为2的代表右脚鞋，从中随机抽取2只．（1）记事件“取出的鞋都是左脚的”，求；（2）记事件“取出的鞋不成双”，求．16.如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．（1）用基底分别表示向量，，；（2）若，用平面向量证明，，三点共线．17.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图．（1）计算直方图中的值．（2）在被调查的用户中，用电量落在以上的户数为多少？（3）为引导居民节约用电，电力公司拟采用分层定价策略：设定一个月用电量参考值，使小区约半数用户用电量低于该值、半数高于该值，并据此对低于者执行基础电价、高于者执行阶梯加价．请根据频率分布直方图估计该参考值（精确到0.01）．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，求周长最大值．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的四棱锥，其底面为正方形，且平面，点为棱上的一动点．（1）如图1，若点为棱上靠近点的一个三等分点，、分别为、的中点，证明：平面；（2）如图2，若四棱锥在点处的离散曲率为且，过、、三点的平面交棱于点，证明：平面平面；（3）若四棱锥在点、、、处的离散曲率和为，点为棱上一动点，求直线与平面所成角的取值范围．

数学（考试时间：120分钟试卷总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用平方差公式将分母实数化，再根据虚数的性质进行化简.解答过程：

已知，所以，根据平方差公式和虚数性质，化简可得：.2.已知点，，，下列向量运算结果为的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由向量加减的定义得，；；；.3.某班级进行了一次数学测验，满分为150分．设事件A表示“学生成绩及格（分数分）”，事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”．若，，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7答案：C解析：解答过程：因为事件A表示“学生成绩及格（分数分）”，事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”，则，即，因为，故.4.已知，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为，所以.所以..5.若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以，所以.6.下列命题中，正确的个数是（）①若直线，那么平行于经过的任何平面②若平面内有无穷多条直线都与平面平行，则平面与平面平行③若平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面④已知平面，，，且，，，则A.0 B.1 C.2 D.3答案：B解析：思路：对①根据线面平行及线线平行的关系判断可得，对②根据面面平行及线线平行关系判断可得，对③④根据面面垂直的性质判断可得.解答过程：命题①错误：若直线，可以在经过的平面内，并不平行于该平面，因此该说法错误；命题②错误：若与相交，交线为，则内所有平行于的直线都平行于，也满足“无穷多条直线平行于”，此时与不平行，因此该说法错误；命题③错误：平面平面，只有内垂直于两平面交线的直线才垂直于，在内与交线相交且不垂直或平行的直线都不垂直于，因此该说法错误；命题④正确：根据面面垂直的性质，在上取一点作的垂线，该垂线同时在和内，因此垂线就是，可得，说法正确.综上，正确的命题只有个.7.已知所在平面内一点，满足，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据已知条件得出点的位置，进而求出与，再根据投影向量的定义求解.解答过程：因为，设中点为，根据向量加法的平行四边形法则可知：，所以，即，表明为中点，所以，则，在中，，，所以是等边三角形，则，根据向量数量积公式可得：，根据投影向量的定义，向量在上的投影向量为，又因为，所以.8.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，，，，，且满足，，，记样本的方差为，则的最大值是（）A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.25答案：D解析：思路：由样本平均数和方差的计算公式代入数据求解即可.解答过程：设

，，由

，

得

，即

，又

，得

，且

，样本平均数：

，则，代入，化简可得：，是关于

的增函数，当

取最大值

时，

取得最大值

.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.的定义域为 B.在定义域内单调递减C.当时，的最小值为 D.的图象关于点中心对称答案：AD解析：思路：A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心.解答过程：令，解得，所以的定义域为，A正确；，在上单调递减，在上单调递减，B错误；在上单调递减，最小值不存在，C错误；因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确.10.设是所在平面内一点，则（）A.若，则点是的外心B.若，则点是的重心C.若，则点是的内心D.若，则点在的角平分线上答案：ABD解析：思路：A.向量模相等即到三顶点距离相等，符合外心定义；B.由向量和为零结合中线性质，推出点满足重心分比；C.由数量积相等推出垂直关系，说明为垂心而非内心；D.利用单位向量构造角平分线方向，证得与角平分线共线.解答过程：选项A：三角形外心是外接圆圆心，性质是到三个顶点距离相等，即，符合外心定义，A正确；选项B：若

，取中点，由向量中点性质得

，代入得，说明在中线上，且满足重心分中线为的性质，故是的重心，B正确；选项C：由

变形得，即；同理可得，，说明是的垂心，不是内心，C错误；选项D：设，，则分别是沿方向的单位向量，且，则题中条件为，即，又因为

，所以也垂直于，而的方向是的内角平分线方向，因此与角平分线共线，点在的角平分线上.11.如图，正方体的棱长为2，点、、分别是棱，，的中点，则（）A.平面B.平面C.过，，三点的平面与正方体相交形成的截面周长为D.能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为答案：BCD解析：思路：将过的截面补齐，可得平面与均过正方体的中心，所以与平面不平行，判断A错误；由正方体的性质及线面垂直的判定定理可证得平面，判断B正确；求出截面周长，判断C；利用等体积法求得能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值，判断D.解答过程：对于A，分别取的中点，连接，易知，，六边形为正六边形，其中心为正方体的中心，记作.所以平面过正方体的中心.正方体的体对角线过点，所以与平面不平行，故A错误；对于B，连接，由正方体的性质知平面.因为平面，所以.又，，平面.所以平面，因为平面，所以.因为分别为的中点，所以，所以.同理可得.因为平面，所以平面，故B正确.对于C，过，，三点的平面与正方体相交形成的截面为正六边形，其边长为，所以周长为，故C正确.对于D，平面分割该正方体所成的两个空间几何体对称，不妨求能放入含有顶点的空间几何体的球的半径最大值.由对称性可知该半径最大的球的球心在上，且该球为六棱锥的内切球.正六边形的面积为..所以.因为，所以.设该球的半径为，则，所以.即能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知幂函数的图象过点，则__________．答案：解析：解答过程：因为函数为幂函数，所以设，函数过点，所以，所以.13.在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为__________．答案：解析：思路：本题主要考查正棱台的体积计算.正三棱台的上下底面均为正三角形，先由边长求面积，再求高，最后代入台体体积公式，即得答案.解答过程：设下底面的中心为，上底面的中心为，连接，则即为棱台的高.下底面边长，其外接圆半径.上底面边长，其外接圆半径.在直角梯形中，底面，故。代入数据得，故.下底面面积.上底面面积.由台体体积公式，代入得14.夹江竹纸是国家级非物质文化遗产．用其制成的折扇扇面可以抽象成如图所示的扇形，其中，．点在弧上（含端点），连接交弧于点，记，．当取得最小值时，__________．答案：解析：思路：建立坐标系得各点坐标，将向量点积表示为含

的三角函数，化简后求其最值，从而得正切值.解答过程：如图，作，分别以为轴建立平面直角坐标系.由已知得，，则各点坐标为，，，，从而，.，​​要使最小，需使最大.对用辅助角公式变形得，其中​​，且，可知的最大值为，当且仅当时取得最大值，此时.因此当取得最小值时，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．15.柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，其中下标为1代表左脚鞋，下标为2的代表右脚鞋，从中随机抽取2只．（1）记事件“取出的鞋都是左脚的”，求；（2）记事件“取出的鞋不成双”，求．答案：（1）（2）解析：思路：列举出基本事件利用古典概型求概率.（1）样本空间．．．．．（2）解法1：由（1）得．．．解法2：∵事件的对立事件是“取出的鞋成双”，即．．．．16.如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，．（1）用基底分别表示向量，，；（2）若，用平面向量证明，，三点共线．答案：（1），，（2）因为，所以点在的延长线上，如图：又因为，，所以.，.由向量共线定理得，与共线，又与公共点为，，，三点共线．解析：思路：（1）直接根据向量的线性运算可得；（2）由条件可得，再由向量的加法可得，从而可证明三点共线.（1）因为，，所以．是中点．且在平行四边形中，，所以．．，所以．因此，，.（2）略17.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图．（1）计算直方图中的值．（2）在被调查的用户中，用电量落在以上的户数为多少？（3）为引导居民节约用电，电力公司拟采用分层定价策略：设定一个月用电量参考值，使小区约半数用户用电量低于该值、半数高于该值，并据此对低于者执行基础电价、高于者执行阶梯加价．请根据频率分布直方图估计该参考值（精确到0.01）．答案：（1）（2）40（3）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1列式求参数即可；（2）根据频率分布直方图可得后三组的频率为，即可得户数；（3）由频率分布直方图可得中位数在第三组内，根据中位数的定义列式求解即可.（1）因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1，可得，解得．（2）用电量在以上的频率为：．样本容量为100，则抽取的户数为．（3）由频率分布直方图可知：前两组的频率和为：；前三组的频率和为：，所有中位数在第三组内，设中位数为，则，解得．18.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，求周长最大值．答案：（1）（2）6解析：思路：（1）结合诱导公式，利用正弦定理对已知式进行边角互化（边化角），即可求得；或结合诱导公式，利用余弦定理对已知式进行边角互化（角化边）即可求得；（2）根据余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，从而得到周长最大值；或根据正弦定理将求转化成求，利用两角差的正弦公式及辅助角公式，求得其最大值，从而得到周长最大值.（1）解法1：，且，．由正弦定理得．又在中．化简得：．即，因为，所以．解法2：，且，．由余弦定理得．化简得．又．，因为，所以．（2）解法1：，，由余弦定理，得：．．由得，，当且仅当时等号成立.化简得．又在中，．周长最大值为6．解法2：，由正弦定理，得，．．又，．当，即时，取得最大值，此时取得最大值4．周长最大值为6．19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与相邻的顶点，且平面，平面，，平面为多面体的所有以为公共点的面．现给出如图所示的四棱锥，其底面为正方形，且平面，点为棱上的一动点．（1）如图1，若点为棱上靠近点的一个三等分点，、分别为、的中点，证明：平面；（2）如图2，若四棱锥在点处的离散曲率