四川省眉山市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则5.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.6.折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（）A. B. C. D.7.若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.8.已知，函数，若，则（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2B.甲、乙两人在5次射击训练中，射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是甲C.若甲、乙、丙三种产品的数量比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取丙产品15个，则样本容量为30D.若一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为1210.已知复数，则下列命题正确的是（）A.若，则B.在复平面内，若对应的点位于第二象限，则C.若是的共轭复数，且与是实系数方程的两个虚数根，则D.若，且，则11.如图，在正三棱柱中，，是的中点，是上的动点，是的中点，是上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（）A.平面B.正三棱柱外接球的体积为C.当是的中点时，过点，，的平面截正三棱柱所得图形的面积为D.若点是上底面的一个动点，且直线与所成角为，则点的轨迹长度为三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值为__________．13.某景区的标志性建筑旁有一条南北走向的观景道，游客圆圆在观景道上的处测得在北偏东；继续沿观景道向北行走到达B处，又在处测得在南偏东，则从到观景道的最短距离为__________m．14.如图1，函数的图象与y轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角（图2），若折叠后，两点之间的距离为，则__________．15.为厚植学生家国情怀，普及航天发展成果．某校组织开展“航天知识挑战赛”、该挑战赛测试成绩满分为100分．为分析全体参赛学生的成绩状况，现随机抽取100名参赛学生的测试成绩作为样本；并将样本数据按照，，，分成4组，对应绘制得到如下所示的样本频率分布直方图．（1）求的值，并估计该校学生测试成绩的平均数；（2）学校计划给成绩排名前30%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数（精确到0.1）．16.如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的大小.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，且．（1）求；（2）若点满足，且，，，求的值．18.如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，与地面所成的角为，，，点到地面的距离为．（1）若，，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）记函数，若，函数在上单调递增，求的最小值．19.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面平面，，，，点，分别为棱，的中点，点在线段上．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离；（3）设直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为，求的最大值．

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求．1.复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.解答过程：由，可得虚部为.2.（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：3.为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度答案：C解析：解答过程：根据左加右减的原则，为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度.故答案为C．4.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：B解析：思路：根据线面平行得出线线关系判断A，C，D，结合线面垂直判定面面位置关系判断B.解答过程：，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，若，，则或异面，A选项错误；若且，所以，又因为，则，B选项正确；若，，，则可能成立，C选项错误；若，，，，则可能成立，D选项错误；5.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：应用投影向量的定义结合数量积的坐标公式计算求解.解答过程：因为点，，，所以，则在上的投影向量的坐标为6.折扇始于宋元、盛行于明清，寓向善之意，而扇面书画艺术于明清发展至巅峰．图1为故宫博物院藏明代文徵明的《兰花图》扇页，以金笺为底；水墨写意，格调高洁．若某扇页展开所得扇环恰为一圆台侧面展开图（图2），该扇环圆心角为，扇环外半径与内半径之差为，且圆台侧面积为，则圆台上底面半径与下底面半径之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：设扇环内半径为，外半径为，圆心角，扇环面积等于圆台侧面积：，则，已知，则，即，解得，又，故．7.若正方形边长为2，是的中点，于点，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：通过建立平面直角坐标系，求出各点坐标及E点坐标，逐一验证各选项即可解答过程：以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系：则，，则，设，则,因为，所以，故，因为E在直线上，所以存在唯一的实数使得，即，即，即，所以，则，对于A项，由，则，故A错误；对于B项，，故，故B错误；对于C项，，故C正确；对于D项，，故D错误.8.已知，函数，若，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用得，通过换元法，结合二倍角公式计算求解．解答过程：由得，，即，令，则由得，所以，故，，．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2B.甲、乙两人在5次射击训练中，射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是甲C.若甲、乙、丙三种产品的数量比为，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取丙产品15个，则样本容量为30D.若一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12答案：ACD解析：思路：根据众数的定义判断A，根据方差的性质判断B；根据分层抽样的定义判断C；根据极差和方差的定义计算判断D.解答过程：对于A，样本数据1，2，2，2，4，4的众数是2，故A正确；对于B，因为，所以射击成绩的平均数相等，方差分别为3.6和1.4，则这5次射击训练成绩较稳定的人是乙，故B错误；对于C，设样本容量为，则，解得，故C正确；对于D，设一组数据，，，的最大的数为，最小的数为，，则数据，，，的最大数为，最小数为，由题意可知，所以，若一组数据，，，的方差为3，则数据，，，的方差为，所以一组数据，，，的极差为6，方差为3，则数据，，，的极差和方差均为12，故D正确.10.已知复数，则下列命题正确的是（）A.若，则B.在复平面内，若对应的点位于第二象限，则C.若是的共轭复数，且与是实系数方程的两个虚数根，则D.若，且，则答案：AB解析：思路：根据复数的模、复平面内点的坐标、实系数一元二次方程虚根的特征、复数相等条件以及二次函数值域求解，逐项验证判断.解答过程：选项A：当时，，根据复数模的计算公式，，A正确；选项B：复平面内对应的点坐标为，第二象限的点满足实部小于0、虚部大于0，即，取交集得,B正确;选项C：实系数二次方程的虚根共轭，根据韦达定理，两根之和，得；两根之积，即，C错误;选项D：若，则对应实部、虚部分别相等：,代入整理得：，令，则，这是开口向下的二次函数，对称轴为，可得：最大值为，最小值为，即，D错误.11.如图，在正三棱柱中，，是的中点，是上的动点，是的中点，是上靠近点的四等分点，则下列说法正确的是（）A.平面B.正三棱柱外接球的体积为C.当是的中点时，过点，，的平面截正三棱柱所得图形的面积为D.若点是上底面的一个动点，且直线与所成角为，则点的轨迹长度为答案：ACD解析：思路：在中，由中位线可得到，从而判断A；根据正三棱柱外接球的半径、底面外接圆的半径，外接球球心到底面的距离构成直角三角形即可判断B；连接并延长交于点，连接，得到所截图形为，再利用，求出即可判断C；由题意可知点的轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，利用圆弧的弧长公式计算即可判断D.解答过程：对于A，如图所示，在中，是的中点，是的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，由于底面正三角形的边长为，由正弦定理可知底面外接圆半径，正三棱柱外接球的球心到底面的距离，由勾股定理可知，外接球的半径，因此正三棱柱外接球的体积，故B错误；对于C，连接并延长交于点，连接，则过点，，的平面截正三棱柱所得图形为，在正三棱柱中，是的中点，所以，，，由于交于点，所以平面，而平面，所以，取的中点，连接，由于是上靠近点的四等分点，则点是的中点，又是的中点，所以，，是的中点，所以，所以，所以，所以，所以，所以，即过点，，的平面截正三棱柱所得图形的面积为，故C正确；对于D，由题可知，点的轨迹是以为轴，母线与轴所成角为的圆锥的侧面与正三棱柱的表面的交线，当在上底面上运动时，其轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的圆弧，故点的轨迹长度为，故D正确.三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，，，则向量与夹角的余弦值为__________．答案：解析：思路：结合数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式求解即可.解答过程：由可得：，则，代入，得，解得.由，代入得：.13.某景区的标志性建筑旁有一条南北走向的观景道，游客圆圆在观景道上的处测得在北偏东；继续沿观景道向北行走到达B处，又在处测得在南偏东，则从到观景道的最短距离为__________m．答案：解析：思路：先确定的内角得直角三角形，再利用等面积法求边上的高，即为C到观景道的最短距离.解答过程：由题意得，在中，由内角和定理：，即为直角三角形，则到观景道的最短距离为边上的高，记为.在中，，又因为，即，所以.14.如图1，函数的图象与y轴交于点，将绘有该函数图象的纸片沿轴折成直二面角（图2），若折叠后，两点之间的距离为，则__________．答案：##解析：思路：过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，推导出平面，可得出，利用勾股定理可得出关于的方程，解出的值，再由函数在轴右侧附近单调递减，结合可求得的值，进而可得出函数的解析式，进而可求得的值.解答过程：如图，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，连接，因为的最小正周期，所以，又因为，所以，当折成直二面角时，即平面平面，因为，平面平面，平面，所以平面，因为平面，故，所以，解得（负值舍去），故，因为，且，所以或，又因为在轴右侧附近单调递减，所以，则，所以.15.为厚植学生家国情怀，普及航天发展成果．某校组织开展“航天知识挑战赛”、该挑战赛测试成绩满分为100分．为分析全体参赛学生的成绩状况，现随机抽取100名参赛学生的测试成绩作为样本；并将样本数据按照，，，分成4组，对应绘制得到如下所示的样本频率分布直方图．（1）求的值，并估计该校学生测试成绩的平均数；（2）学校计划给成绩排名前30%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数（精确到0.1）．答案：（1），平均数为分（2）分解析：思路：（1）利用频率分布直方图的性质

求，再利用各组中值乘以对应频率之和估计平均数；（2）确定前对应的分位数位置，根据频率比例计算具体分数即可.（1）由频率分布直方图性质可知，

，解得.则各组频率分别为：的频率为，

的频率为，的频率为

，

的频率为

.估计该校学生测试成绩的平均数为：（分）.（2）学校计划给成绩排名前的学生颁发优秀奖，即寻找第百分位数，使得成绩低于该分数的频率为.由（1）可知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，所以获奖学生的最低分数位于区间

内.设获奖学生的最低分数为，则，即，解得，所以.故估计获奖学生的最低分数为

分.16.如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的大小.答案：（1）取中点，连接、，由为的中点，底面为平行四边形，则且，由为的中点，则且，由直四棱柱性质可知且，故且，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；（2）解析：思路：（1）取中点，连接、，可得四边形是平行四边形，即可得，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）设中点为，由题意结合直四棱柱性质可得即为二面角的平面角，再利用锥体体积公式及正方形性质求出、，结合正切定义即可得解.（1）略（2）由，，故四边形为正方形，设中点为，连接，则，由直四棱柱性质可知底面，连接，则即为二面角的平面角，，即，，故，故，即二面角的平面角的大小为.17.已知，，分别为三个内角，，的对边，向量，，且．（1）求；（2）若点满足，且，，，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用向量垂直的数量积为0的性质，结合正弦定理、三角恒等变换和三角形内角和范围即可求解；（2）以为基底表示和，结合向量数量积运算律代入已知条件即可求解.（1）（1）由得，即，由正弦定理得，整理得，由和角公式得，因为，故，又因为，所以，所以，即，又，所以.（2）由，所以，又，所以，解得.18.如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，与地面所成的角为，，，点到地面的距离为．（1）若，，，求的值；（2）若，，求的最大值；（3）记函数，若，函数在上单调递增，求的最小值．答案：（1）4（2）（3）解析：思路：（1）过点作地面的垂线，得到，结合三角函数的定义即可求解；（2）由（1）得到，结合辅助角公式即可求解；（3）由的单调性，及得到，，再通过消参将转换成关于的一元二次函数，即可求解.（1）如图所示，过点作地面的垂线，分别和上下两条线相交于垂足分别为和，则．因为