四川省绵阳市绵阳中学2025-2026学年高一第二学期第二学月月考数学试题 含答案解析

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.2.若直线平面，直线平面，，则（）A.或与异面 B. C.与异面 D.与相交3.已知向量满足，且满足，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.44.中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（）A.顶角为的等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形5.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若，则“”是“”的必要条件B.若，，则“”是“”的充分条件C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件6.在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.7.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（）A.小时 B.小时 C.小时 D.1小时8.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（）A.线段上存在点､使得B.与的夹角为C.的面积与的面积相等D.三棱锥的体积为定值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.若z是关于x的方程的根，则10.已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且，则的最小值为9D.若，则三点共线11.四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（）A.存在点，使得B.的最小值为C.四棱锥的外接球表面积为D.点到直线的距离的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一物体在力的作用下，由点移动到点，则力对该物体所做的功为___________．13.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，，则小岛C、D相距为___________海里.14.如图，有一个直径AB等于2的半圆，过点A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS＝AB，点C为半圆上的一个动点，点M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥的体积最大时，SC与平面ABC所成角的大小为______．四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知．（1）求平行四边形对角线的长；（2）若存在轴上一点满足，求．16.的内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若，求锐角的面积的取值范围.17.如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，．（1）证明：∥平面PAB．（2）求三棱锥的体积．18.在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）.A.若B.若（1）求角的大小；（2）若在内部且满足，，求线段的长度；（3）求锐角的内切圆半径的最大值.19.如图，等边三角形和直角三角形，，，绕翻折，使点到达点．（1）当PD=2时，求证：平面⊥平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当三棱锥表面积最大时，求二面角的余弦值.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：，故D正确.2.若直线平面，直线平面，，则（）A.或与异面 B. C.与异面 D.与相交答案：B解析：思路：过作平面交平面于，过作平面交平面于，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出的位置关系.解答过程：如图，过作平面交平面于，过作平面交平面于，因为，所以.因为，所以.所以，又，所以，又，所以，所以.故选：B方法提示：本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力.3.已知向量满足，且满足，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：A解析：思路：利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将已知模长等式两边平方，代入已知模长数值即可求出的值.解答过程：将两边平方，得：

，代入已知，，可得，，且，代入上式得：

，整理计算得，即，因此的值为1.4.中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（）A.顶角为的等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形答案：C解析：思路：由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解.解答过程：如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，所以，即，于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此，从而得，综上，是等腰直角三角形.故选：C5.已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列说法错误的是（）A.若，则“”是“”的必要条件B.若，，则“”是“”的充分条件C.若，则“”是“”的充要条件D.若，则“”是“”的既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：利用线面垂直的性质可判断A；利用线面平行的判定和性质可判断B；利用线面垂直的性质和面面平行的判定可判断C；利用线面平行的性质可判断D.解答过程：对于A，若，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，，，则“”“”“m，n平行或异面，所以是的充分条件，故B正确；对于C，，则“”“”，则“”是“”的充要条件，故C正确；对于D，，则“”“或”，“”“m，n相交、平行或异面”，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.故选：A.6.在四面体中，已知，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：取中点，再根据平行得出异面直线所成角的正弦值即可求角.解答过程：取的中点，连结，．因为，分别为，的中点，所以，，所以为与所成的角或其补角．因为，所以在中，，所以，所以．故选:D．7.如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东、点北偏西的点有一艘船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里小时，则该救援船到达点最快所需时间为（）A.小时 B.小时 C.小时 D.1小时答案：A解析：思路：先在中用正弦定理得出，再在中用余弦定理得出，路程除以速度即可求得时间.解答过程：由题意，在中，，，，所以，由正弦定理可得，，则，又在中，，，由余弦定理可得，，所以，因此救援船到达点需要的时间为小时．8.如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点､，且，则下列结论中正确的是（）A.线段上存在点､使得B.与的夹角为C.的面积与的面积相等D.三棱锥的体积为定值答案：D解析：思路：对A，利用异面直线的定义；对B，根据线面垂直性质得直线夹角；对C，根据三角形的高不相等；对D，直接计算体积.解答过程：选项A，如图所示，与为异面直线，故与也为异面直线，A错误；选项B，连接在正方体中，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以，同理可得，，因为，所以平面，因为平面，所以，故两直线夹角为，B错误；选项C，由图可知，点B到EF的距离为，点A到EF的距离是底边上的高，因为，所以点A到EF的距离为，即点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；选项D，连结BD交AC于O，在正方体中，平面，因为平面，所以，因为，所以平面，即平面，则AO为三棱锥的高，，因为，所以三棱锥的体积为为定值，D正确；二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设复数，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.若z是关于x的方程的根，则答案：ACD解析：思路：根据复数的运算，模的定义，复数方程中根与系数的关系判断各选项.解答过程：A，，则，A正确；B，，B错；C，，C正确；D，若z是关于x的方程的根，则是另一根，所以，，，所以，D正确.10.已知三点A，B，C分别为，若存在点满足，则下列结论正确的是（）A.B.在方向上的投影向量为C.若所有满足条件的点组成的平面区域的面积为16，且，则的最小值为9D.若，则三点共线答案：ACD解析：思路：向量数量积坐标运算计算判断A；由投影向量计算公式计算判断B；由A可知，结合题意根据矩形面积计算公式可得，由基本不等式计算判断C；由平面向量线性运算可得，判断D；.解答过程：选项A，由题，则，A正确；选项B，，在方向上的投影向量为，B错误；选项C，由A可知，，所以可以作为平面内一组基底，，以为邻边的平行四边形面积为，设，过点作，过点C作且，设，连接并延长交于点，如图所示：由题意可知点组成的平面区域为图中矩形，其面积为，化简可得，由基本不等式可知，所以，因为，解得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，C正确.选项D，若，则，，即，所以，故，则三点共线，D正确；11.四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（）A.存在点，使得B.的最小值为C.四棱锥的外接球表面积为D.点到直线的距离的最小值为答案：ABD解析：思路：对于A，直接说明当是的中点时即可；对于B，先证明，再说明等号能够取到即可；对于C，直接求出外接球的半径，再计算其表面积即可，对于D，设为在底面上的投影，并将点到直线的距离表示为的函数，然后求该函数的最小值即可.解答过程：对于A，当是的中点时，记正方形的中心为，则分别为的中点，所以，而与底面垂直，所以与底面垂直.从而由在底面内，知，而，在平面内交于点，故垂直于平面.由于在平面内，故，从而A正确；对于B，由于垂直于平面，在平面内，故，而，和在平面内交于点，故垂直于平面.所以由在平面内，就有.而，故.从而到直线的距离为，同理到直线的距离为.所以.当时，由于，同理，故，，所以，所以的最小值是，故B正确.对于C，由于的外接球球心为的中点，故外接球的半径为的一半，即，所以外接球表面积为，故C错误；对于D，设在底面上的投影为，则，设，则到直线的距离，且当时，等号成立，所以D正确.故选：ABD.方法提示：关键点点睛：本题的关键点在于恰当利用几何体的对称性，从而降低工作量，并可利用对称性观察出函数取得最值的点.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.一物体在力的作用下，由点移动到点，则力对该物体所做的功为___________．答案：23解析：思路：先由平面向量减法的坐标运算得出，再根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可．解答过程：由题意得，所以力对该物体所做的功为．13.如图，某直径为海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，，则小岛C、D相距为___________海里.答案：解析：思路：根据给定条件，利用圆内接四边形性质及正余弦定理求解.解答过程：依题意，，则，在中，由正弦定理得，由余弦定理，得，即，而，解得，所以小岛C、D相距为10海里.14.如图，有一个直径AB等于2的半圆，过点A作这个半圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS＝AB，点C为半圆上的一个动点，点M、N分别为A在SB、SC上的射影．当三棱锥的体积最大时，SC与平面ABC所成角的大小为______．答案：##解析：思路：根据题中所给的条件，可以确定出平面，进一步确定出平面，再求得平面，从而得到为三棱锥的高，由于为定值，要使三棱锥的体积最大，只要底面的面积最大即可，因为是斜边确定的直角三角形，根据基本不等式可以确定最值，最后再求得相应的边长，从而得到答案．解答过程：由面ABC，得为SC与平面ABC所成的角，由面ABC，面ABC，得，又，，所以面SAC，又面SAC，得，因为A在SC上的射影为N，所以，又，得面SBC，又面SBC，面SBC，得，，因为A在SB上的射影为M，所以，又，得面AMN，因为AS＝AB＝2，所以，在中，，于是三棱锥S－AMN的体积，当且仅当时等号成立，三棱锥S－AMN的体积取最大值，此时，，即SC与平面ABC所成角的大小为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，已知．（1）求平行四边形对角线的长；（2）若存在轴上一点满足，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用平行四边形对角线向量等于两邻边向量之和，计算向量模长即得的长；（2）先设轴上点的坐标，通过向量点积为0求出的坐标，再用向量夹角公式计算.（1）由已知点坐标可得：，因为四边形为平行四边形，所以对角线，因此；（2）设，则，由得：，解得，即，进而得，根据向量夹角公式：.16.的内角的对边分别为，设.（1）求；（2）若，求锐角的面积的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由正弦定理和，可求解，求出；（2）是锐角三角形和（1）得到，再由三角形的面积和正弦定理求出，求出面积范围.（1）因为，所以由正弦定理可得，因为，则，可得，即，所以.（2）因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，因为，所以，由三角形面积公式得，又由正弦定理且，所以，因为，所以，故，则，所以，即面积的取值范围为.17.如图，在高为的四棱锥中，四边形ABCD是正方形，M，N分别是PD和BC的中点，．（1）证明：∥平面PAB．（2）求三棱锥的体积．答案：（1）如图，取PA的中点E，连接EB，EM，因为ME是△PAD的中位线，则∥，且又因为N是BC的中点，则∥，且，可得∥，且，可知四边形MEBN是平行四边形，则∥，且平面PAB，平面PAB，所以∥平面PAB．（2）解析：思路：（1）取PA的中点E，连接EB，EM，可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明；（2）由题意可知：三棱锥的高为，利用转换顶点法求锥体体积.（1）略（2）在高为的四棱锥中，因为M为PD的中点，可知三棱锥的高为，且，所以三棱锥的体积．18.在中，角的对边分别是，边长，______（在以下条件中任选1个，将序号补充在答题卡横线上，并加以解答；选择多个条件时以第1种计分）.A.若B.若（1）求角的大小；（2）若在内部且满足，，求线段的长度；（3）求锐角的内切圆半径的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先用正弦定理角化