四川省仁寿第一中学校（北校区）2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在的展开式中，含的项的二项式系数为（）A.6 B.16 C.24 D.2162.已知函数，则（）A. B. C. D.3.若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（）A. B. C. D.4.已知数列满足．若，则（）A. B. C. D.5.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.46.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.67.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（）A.360种 B.480种 C.540种 D.720种8.已知函数的最大值为1，则（）A. B.1 C. D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知在的展开式中，第6项为常数项，则（）A. B.的项的系数是C.有理项是第3项，第6项 D.通项为10.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.数列的公差为3B.数列是递增数列C.数列中的最小项为D.成等差数列11.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知二项式，则展开式中的系数为_____．13.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．14.已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性和极值点．16.在等差数列和等比数列中，，，（1）求和的通项公式；（2）若的前项和为，，求数列的前项和.17.某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示.（1）求该样本中学生分数为优秀的人数；（2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；（3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值.18.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．19.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在的展开式中，含的项的二项式系数为（）A.6 B.16 C.24 D.216答案：A解析：思路：根据展开项二项式系数的特点直接计算即可．解答过程：由题可知：的项的二项式系数为，故选：A．2.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：，，，，解得．3.若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由导数的几何意义可得，可求出的值，可求出的值，即可得出切点的坐标，再利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.解答过程：因为，则，因为函数在点处的切线与直线平行，由导数的几何意义可得，解得，所以，则，即切点为，故所求切线的方程为，即.4.已知数列满足．若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：逐项计算找到数列的周期即可.解答过程：由题意，，，，，…故数列周期为4，则.故选：B5.为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：B解析：思路：根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解．解答过程：由题可设，则，，所以，解得．所以．6.已知等差数列的前n项和为，且，则（）A.3 B.4 C.5 D.6答案：D解析：思路：根据等差数列的片段和的性质即可求解．解答过程：因为成等差数列，设其公差为，所以，所以，所以，所以．7.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（）A.360种 B.480种 C.540种 D.720种答案：C解析：思路：先将6个人分成3组，每组至少一人，求出总的分法数，再将这3组人，分配到3个活动项目中去，即可得答案.解答过程：将6个人分成3组，每组至少一人：当三组人数为4，1，1时，有种分法；当三组人数为3，2，1时，有种分法；当三组人数为2，2，2时，有种分法；所以一共有，将这三组人数分别分配到3个活动项目中去，所以共有种分配方式.8.已知函数的最大值为1，则（）A. B.1 C. D.2答案：B解析：解答过程：法1：（1）当时，由，解得，故函数定义域为.①当时，，当，则，故不存在最大值，不合题意；②当时，此时，，故最大值不为，不合题意；③当时，，当，则，故不存在最大值，不合题意；（2）当时，则，则函数定义域为.且由最大值为可知，，即对任意恒成立，且等号能取到.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；故，当且仅当时，，由对任意恒成立，可知，又当时，恒有，取不到等号，所以有，故选：B.法2：，由选项知，则定义域为，故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为，由，则由，可得①，且，即②，联立①②解得.验证：当时，，则，设，则，当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；，且，且当，；当，；作出函数的大致图象，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；则，满足题意，故.法3：由选项知，则定义域为，由，解得.同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得..法4：由选项知，则定义域为，由，解得.验证：当时，由不等式可得，故，当且仅当时等号成立，故满足题意，由选项唯一可得.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知在的展开式中，第6项为常数项，则（）A. B.的项的系数是C.有理项是第3项，第6项 D.通项为答案：BD解析：思路：利用二项式定理结合通项公式可一一判定选项.解答过程：易知的展开式的通项为，，又第6项为常数项，即时，，所以A项错误；则通项，，所以D项正确；含的项为时，，系数为，所以B正确；显然根据通项公式可知：当时均为有理项，故C错误.10.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.数列的公差为3B.数列是递增数列C.数列中的最小项为D.成等差数列答案：ABD解析：思路：利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项.解答过程：设等差数列的首项为，公差为；由可得，解得，所以数列的公差为3，即A正确；依题意可得，所以，即B正确；由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误；由，所以成等差数列，故D正确.故选：ABD11.已知函数，则（）A.有两个极值点 B.有三个零点C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线答案：AC解析：思路：利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.解答过程：由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知二项式，则展开式中的系数为_____．答案：解析：解答过程：展开式的通项，其中，令，得，的系数为．13.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________．答案：##．解析：思路：根据正态分布曲线的性质即可解出．解答过程：因为，所以，因此．故答案为：．14.已知函数．若函数有两个不同的零点，则的取值范围为__．答案：解析：思路：根据导数与单调性及极值的关系，分，两种情况讨论计算即可.解答过程：的定义域为，.当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去；当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个不同的零点，所以，解得.当时，，所以在上存在一个零点，因为，所以在上也存在一个零点.综上，.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设，函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性和极值点．答案：（1）（或写为）（2）当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点.解析：思路：（1）首先求出函数的导函数，即可求出即切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；（2）求出函数的导函数，再对参数分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间及极值点即可；（1）当时，，．且，．曲线在点处的切线方程为，即得．（2）．当时，，是增函数，无极值点；当时，令，解得．当时，；当，．所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点.综上，当时，在上单调递增，无极值点；当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值点为，无极大值点.16.在等差数列和等比数列中，，，（1）求和的通项公式；（2）若的前项和为，，求数列的前项和.答案：（1），（2）解析：思路：（1）列式计算等差数列的公差与等比数列的公比，从而写出通项公式；（2）计算，从而表示出，利用分组求和法与裂项相消法求和.（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则.所以，.（2），则，.17.某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示.（1）求该样本中学生分数为优秀的人数；（2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值；（3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值.答案：（1）（2）分布列012，（3）解析：思路：（1）直接根据频率和样本容量计算可得；（2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得；（3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得.（1）该样本中学生分数为优秀的频率故优秀的人数为人;（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈，其中分数在的人数为.若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为.则的分布列为：012所以.（3）由题意知，，则，.令，当，解得.因为，所以时，，当时，，所以当时，最大.18.已知函数，．（1）当时，求函数的极值；（2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）极小值，无极大值；（2）（3）解析：思路：（1）求导，确定单调性即可求解；（2）先求得曲线在点处的切线方程，在通过判别式即可求解；（3）通过和两段，结合参变分离求最值法即可求解.（1）当时，，令，解得，易知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故函数有极小值，无极大值；（2），则，又，所以在点处的切线方程为：，即，由，消去