天津市部分区2025-2026学年高一第二学期7月期末练习数学试题 含答案解析

天津市部分区2025-2026学年高一下学期7月期末练习数学试题一、单选题1．是虚数单位，复数（

）A． B． C． D．2．已知向量，.若，则实数的值为（

）A． B．2 C． D．3．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有2个白球，3个黑球，从袋中任取2个球，则与事件“所取的2个球都是白球”互斥而不对立的事件是（

）A．所取的2个球颜色相同 B．所取的2个球颜色不相同C．所取的2个球至多有一个是红球 D．所取的2个球至少有一个是红球4．已知一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（

）A．20 B．22 C．24 D．255．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则（

）A． B． C． D．6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（

）A．若，，则 B．若，，，，则C．若，，则 D．若，，，则7．如图，以直角梯形的下底所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体．若，，，则该几何体的体积为（

）A． B． C． D．8．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．9．柜子里有双不同的鞋，分别用，，，，，表示只鞋．如果从中有放回地随机取只，则取出的鞋不成双的概率为（

）A． B． C． D．10．如图，在正方体中，为棱的中点，为线段上的动点，则下列说法中正确的个数是（

）①；②平面截正方体所得的截面图形是菱形；③平面；④三棱锥的体积为定值．A．个 B．个 C．个 D．个二、填空题11．已知，，且，互斥，则________．12．一组数据为27，28，30，32，33，则这组数据的方差为___．13．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且三点共线，则实数________．14．如图，在三棱锥中，，，，是棱的中点，则直线与所成角的余弦值为________；若点在底面上的投影是，则点到平面的距离为________．15．在平行四边形中，，，，，，记，，用，表示________；若是线段上的一个动点，则的最小值为________．三、解答题16．已知是虚数单位，复数，．(1)当时，求；(2)若是纯虚数，求的值；(3)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．17．为庆祝中国共产党成立105周年，某中学举办“薪火相传·筑梦前行”有奖问答活动，每轮活动由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮回答正确的概率是，乙每轮回答正确的概率是．在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．(1)求在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率；(2)求在首轮活动中，甲、乙两人中恰有一人答对的概率；(3)求在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率．18．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心．为增强居民的环境保护意识，特向全区征召100名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，并将这100人按年龄分成5组：，，，，，整理得到如下频率分布直方图．(1)估计这组数据的中位数；(2)求这100名志愿者中，年龄在内的人数；(3)若按年龄进行分层，用分层随机抽样的方法从这100名志愿者中抽取20名参加某社区宣传活动，再从参加该活动且年龄在内的志愿者中依次选取2名做环保知识宣讲，写出此试验的样本空间，并求这2名志愿者中至少有1名年龄在内的概率．20．如图，在斜三棱柱中，与交于点，四边形是矩形，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)若，，，求直线与平面所成角的正弦值．

参考答案1．C【详解】.2．D【详解】，，解得故选：D3．B【详解】选项A：“所取的2个球颜色相同”与“所取的2个球都是白球”存在交集“2个球都是白球”，两个事件可以同时发生，不满足互斥条件，故选项A错误；选项B：“所取的2个球颜色不相同”只可能是1个白球，1个黑球，与事件“所取的2个球都是白球”不可能同时发生，两个事件为互斥事件，取出两个球有三种可能性，分别为1个白球和1个黑球，2个白球，2个黑球，因此当取到2个黑球时，“所取的2个球颜色不相同”和“所取的2个球都是白球”这两个事件都不发生，不是对立事件，故选项B正确；选项C：袋子中没有红球，“所取的2个球至多有一个是红球”为必然事件，与事件“所取的2个球都是白球”存在交集，不满足互斥条件，故选项C错误；选项D：袋子中没有红球，所以“所取的2个球至少有一个是红球”为不可能事件，不符合提议，故选项D错误.4．C【详解】一组数据为6，7，11，11，13，15，19，23，则这组数据的众数为，因为，所以第60百分位数为,则这组数据的众数与第60百分位数之和为5．B【详解】由正弦定理得.6．D【详解】对于A，若，，则或者，故A错误；对于B，若，，，，则或者相交，故B错误；对于C，若，，则或者为异面直线，故C错误；对于D，若，，则，又因为，则，故D正确.7．B【详解】该几何体是以为底面半径，高为的圆柱体加上一个以为底面半径，高为的圆锥，则其体积为8．C【详解】因为，所以，即，因为，，所以代入可得，因此向量在向量上的投影向量为.9．A【详解】设取出的鞋不成双为事件A，则事件为取出的鞋成双，因为每次均是有放回地随机取，则，所以取出的鞋不成双的概率.10．D【详解】对于①，连接，则因为在正方体中平面，且平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故①正确；对于②，取的中点，连接，取的中点，连接，，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，,因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，所以，,故四边形为平行四边形，所以平面截正方体所得的截面图形为平行四边形，不妨设正方体的边长为，所以，所以平行四边形为菱形，所以平面截正方体所得的截面图形是菱形，故②正确，对于③；连接因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面，因为平面，，所以平面，故③正确；对于④，由③可得平面，因为为线段上的动点，所以，由于三棱锥的体积为定值，所以三棱锥的体积为定值．故④正确.11．0.3/【详解】因为，互斥，所以，因为，又因为，，所以.12．【详解】平均数，方差．13．【详解】，已知，，所以，已知三点共线，则与共线，，且，不共线，所以存在一个实数，使得：，即，则，故.14．//【详解】如图，取中点为,连接,，，所以,因为，所以,,,,所以,所以因为平面,所以平面，所以在底面投影是的中点，取中点为,连接,则，所以直线与所成的角是直线与所成的角,,,在中，由余弦定理得所以直线与所成角的余弦值是；底面面积：是中点，；三棱锥体积中，所以，设到平面距离为，则所以，所以则点到平面的距离是.15．【详解】由向量的加法得.如图：以点为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直的直线为轴，则，因为，，所以.因为，所以是的三等分点，，因为，所以是的中点，所以因为是线段上的一个动点，设，则，所以，由向量的数量积公式，因为，所以，有最小值为.因此，有最小值为.16．(1)5(2)(3)【详解】（1）当时，，所以，所以．（2），因为复数是纯虚数，所以，解得，所以．（3）因为复数在复平面内对应的点位于第二象限，所以，即，所以，实数m的取值范围是．17．(1)(2)(3)【详解】（1）设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则由已知可得，，．“两人都答对”，由事件的独立性定义，得．所以在首轮活动中，甲、乙两人都答对的概率为.（2）设“首轮中甲答对”，“首轮中乙答对”，则“首轮中甲没有答对”，“首轮中乙没有答对”．由于两人答对与否相互独立，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．由已知可得，，，，．

“首轮中恰好有一人答对”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得

所以甲、乙两人中恰好有一人答对的概率为．（3）设，分别表示甲在两轮中答对1个，2个的事件；设，分别表示乙在两轮中答对1个，2个的事件．根据独立性假定，得，，，．

设“在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题”，则．所以在两轮活动中，甲、乙两人答对3个问题的概率为．18．(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，，.又因为，，所以由余弦定理可得，即，，解得．（2）由于，所以是锐角，所以.由（1）可知，，则．19．(1)(2)30(3)，【详解】（1）由频率分布直方图，年龄低于30岁的频率为，年龄低于35岁的频率为，假设中位数为t，则t在中，，解得，即中位数约为．（2）年龄在的频率为，所以年龄在内的人数为人.（3）由题意可知，年龄在内的人数为人；年龄在内的人数为人，分层随机抽样的抽样比为，所以年龄在内抽人，记为a，b，c，d．年龄在内抽人，记为e，f．从这6人中选2人的样本空间为，共包含30个样本点．设事件为“至少有1名年龄在内”，则，包含18个样本点，所以，即2名环保知识宣讲志愿者中至少有1名年龄在内的概率为.20