新疆维吾尔自治区和田地区皮山县2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.2.已知，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，264.设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，，则m，n为异面直线B.若，，则C.若，，则D.若，，，则5.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（）A.9，3 B.9，8 C.9，7 D.10,86.长方体中，，，则二面角为（）A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）A.事件乙和事件丙互斥 B.事件丙和事件丁互为对立C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立8.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在复平面内，是原点，表示的复数分别为，则（）A.表示的复数为 B.表示的复数为C.表示的复数为 D.10.下列说法正确的是（）A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（）A. B. C.的面积为 D.的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，的夹角为，，，则______.13.一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________.14.如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________．四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在中，分别是边的中点，，（1）用表示向量；（2）求证：三点共线．16.甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.17.在直三棱柱中，D，E分别是，的中点.（1）求证：平面；（2），，，求二面角的正切值.18.在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长19.新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制.为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有120000人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100人的成绩进行统计，其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）成绩不低于90分的人就能获得积分奖励，求所有参赛者中获得奖励的人数；（3）根据频率分布直方图，估计这次知识竞赛成绩的平均分.

数学满分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据复数的四则运算，即可运算结果.解答过程：可知.故选：B.2.已知，，且，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由向量垂直转化为数量积为0，得出，然后由数量积的定义可得向量的夹角．解答过程：因为，所以，，而向量的夹角在上，所以．故选：C．3.某校高三年级有810名学生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分层随机抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则抽取男生和女生的人数分别为（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，26答案：A解析：思路：根据分层抽样原理求出抽取的人数．解答过程：根据分层抽样原理知，，，所以抽取男生40人，女生32人．故选：A.4.设m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A.若，，则m，n为异面直线B.若，，则C.若，，则D.若，，，则答案：B解析：思路：利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案.解答过程：对A，若⊆，⊆，则，可能平行、相交、异面．故A错误；对B，若⊥，则垂直平面内所有的直线，又∥，所以⊥．故B正确；对C，若∥，∥，则，可能相交，平行．故C错误；对D，若⊥，⊆，⊆，则，可能平行、相交、异面．故D错误．故选：B．方法提示：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.5.若一组数据的平均数为5，方差为2，将每一个数都乘以2，再减去1，得到一组新数据，则新数据的平均数和方差分别为（）A.9，3 B.9，8 C.9，7 D.10,8答案：B解析：解答过程：根据新数据与原数据平均数与方差的关系直接求解，即得结果．【解答】设这组数据为，依题意，，所得新数据为，新数据的平均数为，方差为.6.长方体中，，，则二面角为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算.解答过程：由图可知，，所以是二面角的平面角，，所以.故选：D7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，观察朝上面的点数．设事件甲=“第一次点数小于3”，事件乙=“第一次点数为偶数”，事件丙=“两次点数之和为8”，事件丁=“两次点数之和是奇数”，则（）A.事件乙和事件丙互斥 B.事件丙和事件丁互为对立C.事件甲与事件丙相互独立 D.事件乙与事件丁相互独立答案：D解析：思路：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，列出所有情况，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义对选项逐一分析即可.解答过程：用表示第一枚骰子向上的点数，表示第二枚骰子向上的点数，则两枚骰子的情况用数对表示，则所有可能的情况有：，，，，，，共36种情况，对于：事件乙可以和事件丙同时发生，如出现，所以事件乙和事件丙不互斥，故错误；对于：事件丙和事件丁的所有情况不是总的样本空间，如事件丙和事件丁不包括，所以事件丙和事件丁不互为对立，故错误；对于：第一次点数小于3的情况有，，共12种情况，所以，两次点数之和为8的情况有，共5种情况，所以，第一次点数小于3且两次点数之和为8的情况有，所以，，所以事件甲与事件丙不相互独立，故错误；对于：第一次点数为偶数的情况有18种，所以，两次点数之和为奇数的情况共有18种，所以，第一次点数为偶数且两次点数之和为奇数的情况共有9种，所以，，所以事件乙与事件丁相互独立，故正确.故选：.8.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据半圆的弧长与圆锥底面圆的周长相等，可求得底面圆的半径，进而得高，然后由圆锥的体积公式，得解．解答过程：解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，圆锥的高为，则，所以，解得，所以圆锥的高，所以体积．故选：B．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.在复平面内，是原点，表示的复数分别为，则（）A.表示的复数为 B.表示的复数为C.表示的复数为 D.答案：BC解析：思路：由向量的运算结合复数的加减运算依次求解即可判断ABC；由向量的运算结合复数模的运算即可判断D.解答过程：根据题意，由复数的几何意义可知，，，，对于A，，即表示的复数为，故A错误；对于B，，即表示的复数为，故B正确；对于C，，即表示的复数为，故C正确；对于D，，则，故D错误．10.下列说法正确的是（）A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大答案：ACD解析：思路：直接利用统计学中的基本概念逐个分析判断即可解答过程：解：对于A，在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法，所以A正确，对于B，一组数的平均不可能大于这组数据中的每一个数据，所以B错误，对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势，所以C正确，对于D，方差是衡量一组数据波动的大小，方差越小，数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确，故选：ACD11.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（）A. B. C.的面积为 D.的周长为答案：ABD解析：思路：利用正余弦定理和已知条件，解三角形，验证各个选项.解答过程：由，有，得，选项A正确．因为，由正弦定理有，，得，选项B正确．的面积为，选项C错误．因为，由余弦定理，解得，故的周长为，选项D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，的夹角为，，，则______.答案：解析：思路：根据计算可得结果.解答过程：.故答案为：.13.一组数据：2、3、4、5、6、7、8、9、11、12的分位数是__________.答案：解析：思路：根据百分位数的定义求解即可.解答过程：数据组共10个数据且从小到大顺序排列，，原数据组的第分位数为

，即

.故答案为：14.如图所示，已知空间四边形中，与所成角为，且，，分别为，的中点，则________．答案：1或解析：思路：取一边中点构造中位线，将已知的两条异面直线所成角转化为三角形中的角，再利用余弦定理分两种情况求出所求线段的长度.解答过程：如图，取的中点，连接，，由题可知，，，，．因为与所成的角为，所以或，当时，为等边三角形，所以；当时，由余弦定理得，，所以．综上，或．故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在中，分别是边的中点，，（1）用表示向量；（2）求证：三点共线．答案：（1），，（2）由（1）知，所以．又因为有公共点，所以三点共线．解析：思路：（1）由向量的线性运算法则求解；（2）用表示向量、，证明它们共线即可得证．（1）如图，延长到点，使，连接，则四边形是平行四边形，所以，所以，因为，所以，（2）略.16.甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.答案：（1）0.38；（2）0.6864.解析：思路：(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”；E分解为3个互斥事件：，这三个互斥事件内部也是相互独立事件，从而进行计算；(2)一名学生被该高校预录取指笔试和面试均合格，这两次考试过程相互独立，分别计算出三名学生各自被录取的概率，首先求出三人均未被录取的概率，然后由对立事件的概率性质即可得解.解答过程：（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则即恰有一人通过笔试的概率是0.38.（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，则.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，，于是.即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率是0.6864.方法提示：利用互斥事件、对立事件的概率公式求概率，属于中档题.17.在直三棱柱中，D，E分别是，的中点.（1）求证：平面；（2），，，求二面角的正切值.答案：（1）证明：连接交于于，连接，因为E，F是中点，所以，且，又因为是的中点，所以有，且，所以，且，因此四边形是平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）解析：思路：（1）连接交于于，连接，证明四边形是平行四边形，可得即可证得.（2）法一：建立空间坐标系，求出平面与平面的法向量，求得二面角的余弦值，结合三角函数关系式，即可其正切值.法二:利用勾股定理和直线和平面垂直的性质可证得与，从而得到二面角的平面角是，在中，即可求出，从而得出答案.（1）略；.（2）法一：（建系）因为三棱柱为直三棱柱，所以，，因为，所以以为原点，分别以、、为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，所以，，，则，，设平面的一个法向量为，所以，得，令，则，所以，而平面的一个法向量为，则，设二面角的大小为，则为锐角，所以，因此，所以.故二面角的正切值为.法二：因为，，，所以，，同理可得，因此，即，又，，，则，所以，所以是二面角的平面角，因为，，平面，所以平面，而平面，因此，因为平面，而平面，所以，因为，，平面，所以平面，而平面，所以，所以为直角三角形，因为，，所以.故二面角的正切值为.18.在中,内角所对的边分别为,已知,,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求的周长答案：(1)；(2)解析：思路：（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到