新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2025-2026学年高一第二学期7月期末质量监测数学试题 含答案解析

数学满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（）A.5 B.6 C.7 D.83.已知随机事件A，B相互独立，且满足，，则（）A. B. C. D.4.已知，，且，则等于（）A.2 B. C.1 D.5.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.在中，角的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（）A. B.2 C. D.47.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（）A. B.1 C. D.8.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（）米.A.. B. C. D.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分．）9.已知，，则（）A. B. C. D.10.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若A，B，C成等差数列，则B.若，则C.若，，则的外接圆的半径为4D.若，，则11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（

）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的分位数为______．13.在三角形中，若，，，则角的大小是_________________；14.已知，则在上的投影向量的坐标为_______；四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量和，且，求：（1）的值（2）的值（3）的夹角的余弦值.16.2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17.如图，在正方体中，是的中点.（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求和平面所成角的正弦值.18.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的值．（2）求的取值范围．19.如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示．在图2中：（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值．

数学满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的几何意义求解即可.解答过程：复数在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限故选：B2.一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了14人，则男运动员被抽取的人数为（）A.5 B.6 C.7 D.8答案：D解析：思路：根据分层抽样的抽样原则，按比例计算即可.解答过程：由题意得，男运动员被抽取的人数为；故选：D3.已知随机事件A，B相互独立，且满足，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用独立事件的乘法公式即可计算.解答过程：依题意，.4.已知，，且，则等于（）A.2 B. C.1 D.答案：C解析：思路：由向量平行的充要条件即可求解.解答过程：因为，，且，所以，解得.故选：C.5.已知平面，直线，直线不在平面上，下列说法正确的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则答案：A解析：思路：运用面面垂直判定定理可判断A，借助长方体举反例可判断BCD.解答过程：对于A，若，，则，且，则.故A正确.对于B,如图所示，，，，，此时，故B错误.对于C,如图所示，，，，，此时异面，故C错误.对于D,如图所示，，，，，此时，故D错误.故选：A．6.在中，角的对边分别为，已知，若，则的外接圆半径等于（）A. B.2 C. D.4答案：B解析：思路：根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，求得，得到，再结合正弦定理，即可求解.解答过程：因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，可得，即，因为，所以，又由，所以的外接圆的直径，可得，所以的外接圆的半径为.故选：B.7.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则（）A. B.1 C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，取为平面的一个基底，再利用向量的线性运算计算即得.解答过程：正方形ABCD中，M是BC的中点，则，则，于是，而，所以.故选：C8.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度（）米.A.. B. C. D.答案：A解析：思路：设，表示出，利用结合余弦定理列方程求解.解答过程：设，则.由得，由余弦定理得，解得，即OP为米．故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分．）9.已知，，则（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：对于A，使用复数的乘法法则即可判断；对于B，使用复数的平方运算即可判断；对于C，使用复数的四则运算法则即可判断；对于D，利用复数模的定义即可求解.解答过程：对于A,由，所以A正确；对于B，由，所以B错误；对于C,由，所以C正确；对于D，，故D正确.10.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若A，B，C成等差数列，则B.若，则C.若，，则的外接圆的半径为4D.若，，则答案：ABD解析：思路：根据正弦定理以及等差中项求解即可.解答过程：对于A，因为A，B，C成等差数列，所以，所以，，所以A正确；对于B，因为，则，由正弦定理有，B正确；对于C，设的外接圆半径为r，由，解得，C错误；对于D，因为，所以，所以由，得，故D正确.11.如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（

）A.圆锥的侧面积为B.三棱锥体积的最大值为C.的取值范围是D.若，为线段上的动点，则的最小值为答案：BD解析：思路：求出圆锥的母线长和底面半径，利用圆锥的侧面积公式可判断A选项；利用锥体的体积公式可判断B选项；求出的取值范围，结合可求出的取值范围；将以为轴旋转到与共面，得到，求出的长，即可得出的最小值，可判断D选项.解答过程：在中，，则圆锥的母线长，半径.对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误；对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，由基本不等式可得，可得，即，当且仅当时，等号成立，则三棱锥体积为：，即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：因为，故，当点与点重合时，；当点与点重合时，，又因为点与、不重合，则，又，可得，故选项C错误；对于选项D：因为，，，由可得.又，所以为等边三角形，则.将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，.如图，当、、三点共线时，取最小值.因为，，所以，，故选项D正确.故选：BD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了8个班的比赛得分如下：91，89，90，92，93，87，91，94，则这组数据的分位数为______．答案：93解析：思路：把给定8个得分由小到大排列，再利用分位数的定义求解即得.解答过程：将8个班的比赛得分由小到大排列为：87，89，90，91，91，92，93，94，由，得这组数据的分位数为93.故答案为：9313.在三角形中，若，，，则角的大小是_________________；答案：##解析：思路：利用正弦定理计算可得.解答过程：由正弦定理，即，解得，由，所以，所以.故答案为：14.已知，则在上的投影向量的坐标为_______；答案：解析：思路：根据题意，先由平面向量的坐标运算得到，然后由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.解答过程：因为，则在上的投影向量的坐标为：.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量和，且，求：（1）的值（2）的值（3）的夹角的余弦值.答案：（1）2（2）（3）解析：思路：（1）由向量数量积的定义即可求解；（2）由即可求解；（3）由向量夹角公式即可求解.（1）.（2），（3），16.2024年5月15日是第15个全国公安机关打击和防范经济犯罪宣传日，某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“与民同心，为您守护”的宣传活动，为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图：（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用组中值代替）；（2）现用分层抽样的方法从年龄在区间和两组市民中一共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中平均数计算规则计算可得；（2）首先求出年龄在区间和中抽取的人数，再列出所有可能结果，最后由古典概型的概率公式计算可得.（1）由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄为：；（2）样本中年龄在区间的频率为，年龄在区间的频率为，则年龄在区间抽取人，分别记作、、、，年龄在区间抽取人，分别记作、，从这6人中随机抽取2人进行电话回访可能结果有、、、、、、、、、、、、、、共个，其中满足抽取的2人的年龄差大于10岁的有、、、、、、、共个，所以“抽取的2人的年龄差大于10岁”的概率.17.如图，在正方体中，是的中点.（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求证：平面；（3）求和平面所成角的正弦值.答案：（1）（2）证明：连接，设直线交直线于点，连接，因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点，又因为为的中点，所以，又因为平面，平面，所以直线平面．（3）解析：思路：（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角即为异面直线和所成角，从而得解；（2）连接，设直线交直线于点，连接，即可得到，从而得证；（3）设正方体的棱长为，利用等体积法求出点到平面的距离，再由锐角三角函数计算可得.（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以或其补角即为异面直线和所成角，又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为；（2）略（3）设正方体的棱长为，则，又，，所以，设点到平面的距离为，则，即，解得，设和平面所成角为，则，所以和平面所成角的正弦值为.18.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的值．（2）求的取值范围．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据正弦定理和余弦定理求解即可.（2）根据（1），利用正弦定理和正弦函数的值域求解即可.（1）因为，则，由余弦定理，．又因为，所以．（2）由正弦定理可得，则.因为是锐角三角形，则，解得，则，可得，所以的取值范围是．19.如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示．在图2中：（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值．答案：（1）证明如下：由题意知，，，则，故，又，且，平面，故平面，而平面，故平面平