云南省玉溪市玉溪第一中学2025-2026学年高一第二学期7月期末考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.3.若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则5.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A. B.C. D.6.已知，，则的值为A. B. C. D.7.在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△外接圆的直径为（）A. B. C. D.8.设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列叙述正确的是（）A.若，则 B.若与的夹角为锐角，则C.若，则 D.与共线的单位向量10.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（）A.A与B互斥 B.A与C相互独立C. D.11.如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（）A.当M，P分别为线段，中点时，，B.取得最小值C.当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为D.对任意点M，平面平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为______.13.已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________.14.设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为____________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率．16.在中，是边上的中线.（1）求的面积；（2）求中线的长.17.如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.18.设函数．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在R上恒成立，求实数a的取值范围．19.近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的函数关系为（，k为常数）.记该合作社修建此沼气发电池的费用与16年所消耗的电费之和为（单位：万元）.（1）解释的实际意义，并写出关于的函数关系；（2）该合作社应修建多大容积的沼气发电池，可使最小，并求出最小值.（3）要使不超过140万元，求的取值范围.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：化简集合，根据交集运算直接求解即可.解答过程：由题知，，所以.故选：B2.在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解.解答过程：因为，所以，所以复数的虚部为,故选：C.3.若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题可知方程有实数解，即求.解答过程：由题知方程有实数解，∴，解得，故选：B.4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，，则 D.若，，则答案：C解析：思路：对于A，利用线面平行的性质判断；对于C，利用线面垂直的判定判断；对于C，利用线面垂直的性质判断；对于D，利用线面平行的判定判断即可解答过程：解：对于A，若，，则与可能平行，可能相交，也可能异面，所以A错误；对于B，若，，则直线与平面可能垂直，可能平行，也可能相交不垂直，所以B错误；对于C，若，，，则，所以C正确；对于D，若，，则与可能平行，也有可能直线在平面内，所以D错误，故选：C5.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.解答过程：解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.6.已知，，则的值为A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：所以，选D.7.在△中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则△外接圆的直径为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题设，，故，所以，则，故△外接圆的直径，故A正确.8.设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：令，分析函数的奇偶性与单调性，计算可得出，然后分情况解不等式，即可得出原不等式的解集.解答过程：对任意的，且，都有不等式，不妨设，则，令，则，即函数在上为增函数，因为函数的定义域上是奇函数，即，则，所以偶函数，所以函数在上为增函数，在上为减函数，因为，则，当时，即时，由可得，则，解得，当时，即时，由可得，则，解得，综上：不等式的解集是.故选：C.方法提示：思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则下列叙述正确的是（）A.若，则 B.若与的夹角为锐角，则C.若，则 D.与共线的单位向量答案：AB解析：思路：根据平面向量垂直、平行的坐标表示公式，结合平面向量数量积的性质、单位向量的定义逐一判断即可.解答过程：由，所以选项A正确；因为与的夹角为锐角，所以有且与不是同向向量，即，假设与是同向向量，故有，因为，所以方程组无实数解，因此选项B正确；由，所以有，所以选项C不正确；因为，所以与共线的单位向量为，即或，所以选项D不正确，故选：AB10.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（）A.A与B互斥 B.A与C相互独立C. D.答案：BC解析：思路：根据题意，由互斥事件的定义分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式分析C、D，综合可得答案．解答过程：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则，，，所以有，，对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；对于B，，A、C相互独立，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误．故选：BC．11.如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段，上的动点，则下列说法中正确的是（）A.当M，P分别为线段，中点时，，B.取得最小值C.当四面体的四个顶点在同一球面上时，若，则球体积为D.对任意点M，平面平面答案：BCD解析：思路：A.首先判断和的关系，即可判断A；B.将三角形和三角形展成一个平面，根据，即可求解；C.利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断C；根据几何关系，判断平面，判断D.解答过程：对于A.如图，，，，所以当点是的中点时，与不垂直，故A错误；对于B.如图，等腰直角三角形和直角三角形展成一个平面，当三点共线时，此时最小，为，，，，故B正确；对于C.四面体的外接球和四棱锥是同一个外接球，可以将四棱锥补成如图的长方体，所以外接球的直径，即，所以外接球的体积，故C正确；对于D.如图，平面，平面，所以，且，且，且平面，所以平面，平面，所以，同理，且，且平面，所以平面，平面，所以平面平面，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的值域为______.答案：解析：思路：利用倍角公式化简后换元求值域解答过程：利用，代入原函数：.令，则原函数转化为：，为开口向上的二次函数，对称轴;对称轴在区间的右边，即在单调递减.当(即)时，；当(即)时，，所以函数的值域为13.已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则__________.答案：1解析：思路：设正的边长为2，求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径，再利用体积、表面积公式计算即得.解答过程：依题意，设正的边长为2，则圆锥的底面圆半径为1，高为，母线长为2，因此，，球半径即为正的边心距，因此，，所以.故答案为：114.设函数，．若对任意的，存在，使得成立，则实数m的取值范围为____________．答案：解析：思路：由题可得，故原问题转化为存在，使得成立.解答过程：解：由题意可知，所以的最小值为2，所以存在，使得成立,假设对任意，都有成立，即，,从而有，,由于，当且仅当时取得等号所以，从而当存在，使得成立时，,综上可得实数m的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在内的频率；（2）估计本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段内的概率．答案：（1）（2）（3）.解析：思路：（1）频率分布直方图中各小长方形面积为概率，其和为1，由此可求解；（2）利用组中值根据求均值的计算方法可求平均分：（3）先按分层抽样确定分数段与分数段的人数各为2人和4人，从中任取2人共有15种基本事件，其中2人皆在分数段内包含6种基本事件，因此至多有1人在分数段包含15-6=9种基本事件，从而可求概率（1）分数在内的频率为．（2）估计平均分为．（3）由题意，分数段的人数为（人）在分数段的人数为（人）．∵用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在分数段内抽取2人，并分别记为；在分数段内抽取4人，并分别记为；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段内”为事件，则基本事件共有，共15个．则事件包含的基本事件有共9个．∴．16.在中，是边上的中线.（1）求的面积；（2）求中线的长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理求出，从而得到，最后利用三角形面积公式即可；（2）首先求得，再利用余弦定理即可.（1）在中，由正弦定理得，所以.解得.因为，所以，所以，所以.又，所以的面积.（2）在中，，因为是中点，所以，由余弦定理，得.所以.17.如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.答案：（1）由菱形可得，平面平面，平面平面，又正方形中，平面，又平面，，，平面，平面.（2）解析：思路：（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.（2）过作于，过作于，连接，利用线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角，在中直接求解即可.（1）略（2）过作于，则平面.过作于，连接，因平面，则，又平面，，故平面，又平面，所以，故为二面角的平面角，在中，设，，，，，，.即二面角的余弦值为.18.设函数．（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，①，求的最小值；②若在R上恒成立，求实数a的取值范围．答案：（1）（2）①9；②解析：思路：（1）利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可；（2）①利用基本不等式中“1”的应用求解即可；②把转化为在R上恒成立，利用判别式求解即可.（1）若不等式的解集，则，所以.解得.（2）若，即，.①，则，当且仅当，即时，等号成立.故的最小值为9，②在R上恒成立，即在R上恒成立，故，解得：故a的取值范围为19.近年来，某西部乡村农产品加工合作社每年消耗电费24万元.为了节能环保，决定修建一个可使用16年的沼气发电池，并入该合作社的电网.修建沼气发电池的费用（单位：万元）与沼气发电池的容积（单位：米3）成正比，比例系数为0.12.为了保证正常用电，修建后采用沼气能和电能互补的供电模式用电.设在此模式下，修建后该合作社每年消耗的电费（单位：万元）与修建的沼气发电池的容积（单位：米3）之间的