重庆外国语学校2025-2026学年高一第二学期6月检测数学试题 含答案解析

数学满分（150分，120分钟完成）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C.2 D.2i2.在中，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，

，且，则（）A. B. C. D.4.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（）A.与，与均相互独立 B.与相互独立，与互斥C.与，与均互斥 D.与互斥，与相互独立5.已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12，高为7，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.6.某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290则下列说法错误的是（）A.甲种水稻产量的众数为250B.乙种水稻产量的极差为70C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差7.已知菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O到直线AC距离的取值范围为（）A.[，] B.[，]C.[，] D.[，]8.中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设、为不重合的平面，、为不重合的直线，则下列结论中正确的是（）A.，，，则B.，，，则C.，，，则D.，，，则10.已知,,其中，则以下结论正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则11.如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（）A.存在，使得B.当时，三棱锥的外接球表面积为C.当时，异面直线和所成角的余弦值为D.过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售，，三种医用外科口罩，甲、乙购买，，三种医用口罩的概率分别如表所示，且甲、乙选择购买口罩的种类相互独立.

购买种医用口罩购买种医用口罩购买种医用口罩甲

0.10.4乙0.3

0.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为________.13.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为___________.14.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，的最大值为.（1）求的值；（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．16.2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响.相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品扫码抢购优惠促销活动，活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每人每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元.活动第一天，就有1370人参与了抢购，其中，有120人抢购商品不足三种，其余都抢购三种商品.为了更好地推行促销活动，商场经理将抢购三种商品成功所获得优惠金额整理得下表：抢购成功商品件数0件一件二件三件优惠金额0300500800800110013001600频数5050200150200200频率（1）①求表格中、、的值；②用频率估计概率，求抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率；（2）在抢购三种商品且至少抢购成功一件商品的人群中，按照抢购成功的件数分层抽样抽取6人，再在这6人中任意抽取2人，求抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率.17.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.（1）证明：平面DEF；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.18.从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________．（1）证明：________；（2）求的面积．注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；（2）设平面与平面的交线为，证明面；（3）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.

数学满分（150分，120分钟完成）第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（）A. B. C.2 D.2i答案：A解析：思路：根据复数的乘法可得，结合复数概念即可得到答案．解答过程：，则虚部为故选：A．2.在中，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据正弦定理与余弦定理求解即可解答过程：由正弦定理知．设则故选：B3.已知向量，

，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.解答过程：，，则，即，解得.故选：C.4.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件，“第二枚为正面”记为事件，“两枚结果相同”记为事件，那么事件与，与间的关系是（）A.与，与均相互独立 B.与相互独立，与互斥C.与，与均互斥 D.与互斥，与相互独立答案：A解析：思路：利用互斥事件，独立事件的定义即得.解答过程：由题意得，，所以.所以与，与均相互独立，与，与均不互斥.故选：A.5.已知一个圆台的上下底面半径分别为5和12，高为7，则它的外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由圆台上下底面圆心与球心位置关系，设球心到一个圆心距离，结合已知得到方程求，进而求外接球半径，即可求外接球的表面积.解答过程：由圆台上下底面圆心与球心在同一直线上，设球心到上底面圆心的距离为，则到下底面的距离为，由题设，球体半径为R，则，解得，所以，故外接球的表面积为.故选：A6.某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下：甲/kg260250210250280乙/kg220260230250290则下列说法错误的是（）A.甲种水稻产量的众数为250B.乙种水稻产量的极差为70C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差答案：C解析：思路：根据数表求出众数、极差判断A，B；求出平均数判断C；求出方差判断D作答.解答过程：根据给定数表知，甲种水稻产量的众数为250，乙种水稻产量的极差为，A，B都正确；甲种水稻产量平均数为，乙种水稻产量平均数为，C错误；甲种水稻产量方差为，乙种水稻产量方差为，D正确.故选：C7.已知菱形ABCD边长为8，∠BAD＝60°，对角线AC与BD交于点O，将菱形ABCD沿对角线BD翻折成平面角为θ的二面角，若θ∈[90°，120°]，则翻折后点O到直线AC距离的取值范围为（）A.[，] B.[，]C.[，] D.[，]答案：B解析：思路：根据菱形结合图形分析可得∠AOC＝θ，利用几何知识可得点O到AC的距离，结合题意运算求解．解答过程：∵AO⊥BD，CO⊥BD，∴由二面角的定义知∠AOC＝θ，θ∈[90°，120°]，∵菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，∴AO＝CO＝，∴点O到AC的距离，当∠AOC＝θ＝90°时，d取得最大值，当∠AOC＝θ＝120°时，d取得最小值，∴点到直线AC的距离的取值范围为[，]．故选：B．8.中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长即可.解答过程：在△ABC中，由余弦定理得：设，，因为，所以，即，因为A、B、D三点共线，所以，解得：，所以，即因为AB=5，所以AD=3，BD=2在三角形ACD中，由余弦定理得：，因为，所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.设、为不重合的平面，、为不重合的直线，则下列结论中正确的是（）A.，，，则B.，，，则C.，，，则D.，，，则答案：CD解析：思路：利用已知条件判断线线、线面的位置关系，可判断AB选项；利用面面垂直的判定定理可判断C选项；利用线面平行与垂直的性质可判断D选项.解答过程：对于A选项，因为，，，则、的位置关系不确定，A错；对于B选项，因为，，则或，又因为，则与的位置关系不确定，B错；对于C选项，因为，，则，又因为，则，C对；对于D选项，因为，，则，因为，过直线的平面与平面的交线记为，，，，则，，，则，故，D对.故选：CD.10.已知,,其中，则以下结论正确的是（）A.若，则B.若，则或C.若，则D.若，则答案：BCD解析：思路：对于A，由得，得或或，故A不正确；对于B，由得，得或，故B正确；对于C，根据平面向量数量积的运算律求出，故C正确；对于D，根据平面向量数量积的运算律求出，故D正确.解答过程：对于A，若，则，则，因为，所以，则或或，故A不正确；对于B，若，则，则，因为，所以，所以或，所以或，故B正确；对于C，，则，故C正确；对于D，若，则，则，则，即，所以，故D正确.故选：BCD.11.如图，在正三棱柱中，，，P为线段上的动点，且，则（）A.存在，使得B.当时，三棱锥的外接球表面积为C.当时，异面直线和所成角的余弦值为D.过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条答案：BD解析：思路：过P作交于Q，证明判断A；过中点作与平面的平行截面，求截面与底面间的正三棱柱外接球半径计算判断B；时，作出异面直线所成的角计算判断C；分析过且与直线AB和都成角的直线条数判断D作答.解答过程：对于A，过P作交于Q，连，依题意，对任意位置的点P，，则，为等腰三角形，为锐角，即不垂直于，也不垂直于，A不正确；对于B，当时，，过点P作与底面平行的正三棱柱的截面，则三棱柱是棱长为1的正三棱柱，它与三棱锥有相同的外接球，球心到平面的距离，的外接圆半径，则球半径，于是得三棱锥的外接球表面积为，B正确；对于C，当时，，记此时点P为，过作交于D，连，则是异面直线和所成的角或其补角，，，而，在中，由余弦定理得：，C不正确；对于D，因，则过点与直线AB和直线都成角的问题转化为过点与直线AB和直线都成角的问题，显然的平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线有2条，的邻补角平分线所在与直线AB和都成角，在由直线与确定的平面内将绕点B旋转，旋转过程中的每一位置的直线与直线AB和都成角，，当时，由旋转方向的不同，这样的直线有2条，此时，过点与直线AB和直线所成角都是的直线只有1条，即直线，综上得过且与直线AB和直线所成角都是的直线有三条，D正确.故选：BD方法提示：关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售，，三种医用外科口罩，甲、乙购买，，三种医用口罩的概率分别如表所示，且甲、乙选择购买口罩的种类相互独立.

购买种医用口罩购买种医用口罩购买种医用口罩甲

0.10.4乙0.3

0.2则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为________.答案：0.28解析：解答过程：由表知：甲购买A口罩概率为，乙购买B口罩概率为，所以甲、乙购买同一种口罩的概率.13.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为___________.答案：.解析：思路：设圆锥底面半径为r，母线为l，根据题意可得，代入圆心角公式，即可得答案.解答过程：设圆锥底面半径为r，母线为l，则圆锥的侧面积为，由题意得，解得，所以圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长为，所以该扇形的圆心角.故答案为：.14.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，，，，，点为的中点，过点作球的截面，则截面面积的取值范围是________.答案：解析：思路：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，求出外接球的半径，取的中点，当截面时，截面的面积最小，利用勾股定理求出截面圆的半径，即可得解；解答过程：解：依题意三棱锥的外接球即为以，，为邻边的长方体的外接球，∴，∴，取的中点，∴为的外接圆圆心，∴平面，如图，当截面时，截面的面积最小，∵，此时截面圆的半径为，∴截面面积为，当截面过球心时，截面圆的面积最大为，故截面面积的取值范围是.故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，的最大值为.（1）求的值；（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质求解即可；（2）利用三角函数的平移公式求出，再根据正弦函数的图象和性质求解即可.（1）因为，其中，，所以，又因为，解得.（2）由（1）可得，将的图象向右平移个单位可得，由得，即函数的单调增区间为.16.2021年12月，新冠疫情的严重反弹，扰乱了西安市民乃至陕西全省人民正常的生活秩序，各行各业的正常生产、运营受到严重影响.相关部门，为了尽快杜绝疫情的扩散，果断实施了小区封控、西安市区封城、市民足不出户等有效措施.2022年1月下旬小区相继解封.某销售商场为尽快弥补疫情带来的损失，推行高档电器“大屏幕电视机、冰箱和洗衣机”三种商品扫码抢购优惠促销活动，活动规则是：人人都可以参加三种商品的抢购，但每人每种商品只能抢购一次一件；优惠标准是：抢购成功者，大屏幕电视机优惠800元；冰箱优惠500元；洗衣机优惠300元.活动第一天，就有1370人参与了抢购，其中，有120人抢购商品不足三种，其余都抢购三种商品.为了更好地推行促销活动，商场经理将抢购三种商品成功所获得优惠金额整理得下表：抢购成功商品件数0件一件二件三件优惠金额0300500800800110013001600频数5050200150200200频率（1）①求表格中、、的值；②用频率估计概率，求抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率；（2）在抢购三种商品且至少抢购成功一件商品的人群中，按照抢购成功的件数分层抽样抽取6人，再在这6人中任意抽取2人，求抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率.答案：（1）①，；.②（2）解析：思路：（1）①根据表格中的数据进行计算可得结果；②根据可求出结果；（2）根据分层抽样求出各层抽取人数，再利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.（1）抢购三种商品的人数共有（人）.①，，.②用频率估计概率，抢购三种商品抢购成功所获得优惠金额不低于800元的概率为.（2）抢购成功一件、二件、三件商品分别有400人、600人、200人.分层抽样抽取6人，抢购成功一件抽取2人（记为m，n）、抢购成功二件的抽取3人（记为1，2，3）、抢购成功三件的抽取1人（记为d）.从6人中任意抽取2人所有可能结果有mn，m1，m2，m3，md，n1，n2，n3，nd，12,13，1d，23，2d，3d，共15种，其中恰有2人是抢购成功商品的件数相同的结果有mn，12，13，23共4种所以抽取的2人抢购成功商品的件数相同的概率为.17.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.（1）证明：平面DEF；（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）通过证明和，得证平面DEF；（2）由三棱锥的体积最大，确定两点的位置，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.（1）证明：如图，连接AE，由题意知AB为的直径，所以.因为AD，EF是圆柱的母线，所以且，所以四边形AEFD是平行四边形.所以，所以.因为EF是圆柱的母线，所以平面ABE，又因为平面ABE，所以.又因为，DF，平面DEF，所以平面DEF.（2）由（1）知BE是三棱锥底面DEF上的高，由（1）知，，所以，即底面三角形DEF是直角三角形.设，，则，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，下面求二面角的余弦值：法一：由（1）得平面DEF，因为平面DEF，所以.又因为，，所以平面BEF.因为平面BEF，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则.故，所以二面角的余弦值为.法二：由（1）知EA，EB，EF两两相互垂直，如图，以点E为原点，EA，EB，EF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则.由（1）知平面DEF，故平面DEF的法向量可取为.设平面BDF的法向量为，由，，得，即，取，得.设二面角的平面角为θ，则，由图可知θ为锐角，所以二面角的余弦值为.18.从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________．（1）证明：________；（2）求的面积．注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答