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第一节常微分方程的基本概念两个实例常微分方程的基本概念1一两个实例引例1一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①

得切线斜率为2x,求该曲线的方程.2引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:

设列车在制动后

t

秒行驶了s

米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:

利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求

s

=s(t).3二常微分方程的基本概念含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程.例

实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(n

阶显式微分方程)一般地,n

阶常微分方程的形式是的阶.或4且代入微分方程使方程成为恒等式，即则称函数为方程的解。例如为方程的解。为方程的解。5微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意通解:常数的个数与微分方程的阶数相同.特解:确定了通解中任意常数以后的解.微分方程的积分曲线:解的图象积分曲线族:通解的图象.

确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):定解条件：

6过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.7解例

验证:函数的解

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