区间数不确定多属性决策方法：理论、应用与展望

区间数不确定多属性决策方法：理论、应用与展望一、引言1.1研究背景与意义在当今社会经济快速发展的背景下，人们面临的决策问题日益复杂多样。无论是个人生活中的选择，如购买房产、选择职业，还是企业运营中的战略决策，如投资项目选择、供应商评估，亦或是政府部门制定政策，如城市规划、资源分配等，都需要在多个相互关联且重要程度各异的属性或准则下进行权衡和抉择，这便构成了多属性决策问题。多属性决策作为现代决策科学的关键组成部分，旨在从多个属性的角度出发，对多个备选方案进行综合评价，从而选择出最优方案或对方案进行排序。然而，由于客观世界的复杂多变性、主观认知的局限性以及测量手段的有限性等因素，决策过程中所涉及的信息往往并非完全精确和确定，而是存在一定程度的不确定性。其中，区间数作为一种有效的不确定性信息表达形式，能够较好地刻画那些无法精确获取具体数值，只能确定其取值范围的信息。例如，在评估一个投资项目的收益时，由于市场环境的波动、原材料价格的变化以及竞争对手的策略调整等多种不确定因素的影响，很难准确预测其未来的具体收益数值，但可以根据市场调研和经验分析，估计出收益可能的取值区间。又比如在评价一个供应商的产品质量时，受到生产工艺的稳定性、原材料的批次差异等因素影响，产品质量指标难以用一个确切的数值来衡量，而用区间数表示则更为合理。在多属性决策中引入区间数不确定性因素，使得决策问题的解决面临新的挑战和机遇。一方面，区间数的存在增加了决策信息处理的难度，传统的基于精确数值的多属性决策方法不再适用，需要探索新的决策方法和模型来有效处理区间数形式的决策信息；另一方面，区间数能够更真实地反映决策问题中的不确定性，为决策者提供更全面、客观的决策依据，从而提高决策的科学性和可靠性。因此，研究区间数不确定多属性决策方法具有重要的理论意义和实际应用价值。从理论意义来看，区间数不确定多属性决策方法的研究有助于拓展多属性决策理论的研究范畴，丰富不确定性决策的理论体系。通过深入研究区间数的性质、运算规则以及区间数之间的比较方法，为建立合理有效的区间数不确定多属性决策模型提供坚实的理论基础。同时，该研究还能促进与其他相关学科领域，如模糊数学、灰色系统理论、概率论等的交叉融合，推动不确定性理论的进一步发展。从实际应用价值角度而言，区间数不确定多属性决策方法能够为众多领域的决策问题提供有力的支持。在经济管理领域，企业在进行投资决策、项目评估、风险分析时，常常面临诸多不确定因素，区间数不确定多属性决策方法可以帮助企业管理者更准确地评估各种方案的优劣，做出科学合理的决策，从而提高企业的经济效益和竞争力。在工程领域，如产品设计方案的选择、工程项目的可行性评估等，利用区间数不确定多属性决策方法可以综合考虑各种不确定因素对方案性能的影响，优化设计方案，降低工程风险。在社会发展领域，政府部门在制定公共政策、进行资源分配、环境评估等决策时，运用区间数不确定多属性决策方法能够充分考虑到社会各方面的不确定性因素，使政策制定更加科学合理，资源分配更加公平高效，促进社会的可持续发展。1.2研究目的与创新点本研究旨在深入探究区间数不确定多属性决策方法，构建更加科学、高效且实用的决策方法体系，以有效解决现实决策问题中广泛存在的区间数不确定性难题，提升决策的质量与可靠性。具体而言，研究目的主要涵盖以下几个关键方面：其一，系统剖析区间数的基本性质、运算规则以及区间数之间的比较方法，为后续区间数不确定多属性决策方法的构建奠定坚实的理论根基。明晰区间数的特性是运用其进行决策的基础，只有准确把握区间数的运算和比较方式，才能在多属性决策中合理处理不确定性信息。其二，全面梳理和深入分析现有的多属性决策方法，精准筛选出适用于处理区间数不确定性的方法，并对这些方法进行细致的改进和优化。通过对众多传统和现代多属性决策方法的研究，结合区间数的特点，找到能够充分发挥区间数优势、有效解决决策问题的方法，并对其进行针对性的改进，以适应复杂多变的决策环境。其三，基于对区间数和多属性决策方法的研究，创新性地提出一系列考虑区间数不确定性因素的决策模型。这些模型将综合运用多种理论和技术，充分考虑决策过程中各属性的权重、属性值的不确定性以及决策者的偏好等因素，实现对决策问题的全面、准确描述和求解。其四，运用实际案例对所提出的决策模型进行严格的测试和验证，深入分析模型的性能和实用性，及时发现并妥善解决可能存在的问题。通过实际案例的应用，能够直观地检验模型的有效性和可靠性，发现模型在实际应用中存在的不足之处，并通过进一步的研究和改进，提高模型的实用性和适应性。本研究的创新点主要体现在以下几个方面：在理论融合方面，创新性地将区间数理论与其他相关理论，如模糊数学、灰色系统理论等进行有机结合。模糊数学擅长处理模糊性信息，灰色系统理论则在处理少量数据、不确定性问题方面具有独特优势。将它们与区间数理论相结合，可以充分发挥各自的长处，更全面地处理决策信息中的不确定性，从而拓展区间数不确定多属性决策方法的理论边界，为决策问题的解决提供更丰富的理论工具。在算法改进上，对现有的决策算法进行了深入的优化。针对传统算法在处理区间数时存在的计算复杂度高、精度不足等问题，通过引入新的计算技巧和优化策略，降低算法的计算量，提高计算精度和效率。例如，在计算区间数的综合属性值时，采用更高效的加权集结算法，使计算结果更能准确反映各属性的重要程度和不确定性。在模型构建上，提出了一种全新的考虑决策者风险偏好的区间数不确定多属性决策模型。该模型充分认识到不同决策者在面对风险时具有不同的态度和偏好，通过引入风险偏好参数，能够根据决策者的风险偏好对决策结果进行调整。对于风险偏好型决策者，模型会更倾向于选择具有较高潜在收益但风险也相对较大的方案；而对于风险厌恶型决策者，模型则会更侧重于选择风险较低、收益相对稳定的方案。这种考虑风险偏好的模型能够更好地满足不同决策者的需求，使决策结果更符合实际情况。1.3研究方法与技术路线本研究综合运用多种研究方法，以确保对区间数不确定多属性决策方法进行全面、深入且系统的研究。具体而言，采用了以下几种主要研究方法：文献研究法：通过广泛搜集和查阅国内外相关领域的学术文献，包括学术期刊论文、学位论文、研究报告以及会议论文等。全面梳理和深入分析区间数不确定多属性决策方法的研究现状，了解该领域的发展历程、前沿动态以及存在的问题。在梳理过程中，对不同学者提出的区间数运算规则、比较方法以及多属性决策模型等进行细致分类和对比，总结现有研究的优势与不足，为后续研究提供坚实的理论基础和丰富的思路来源。例如，在研究区间数的比较方法时，通过对多篇文献的综合分析，明确了各种比较方法的适用条件和局限性。案例分析法：选取多个具有代表性的实际决策案例，涵盖不同领域，如经济管理领域的企业投资决策案例、工程领域的项目方案选择案例以及社会发展领域的公共政策制定案例等。运用所研究的区间数不确定多属性决策方法对这些案例进行详细分析和求解。通过实际案例的应用，直观地展示不同决策方法在处理区间数不确定性时的具体操作过程和效果，深入检验决策方法的实用性和有效性。在企业投资决策案例中，运用改进后的决策方法对多个投资项目进行评估和排序，与实际投资结果进行对比，分析决策方法的准确性和可靠性。数学建模法：依据区间数的特性和多属性决策的基本原理，运用数学工具构建科学合理的区间数不确定多属性决策模型。在模型构建过程中，充分考虑决策过程中各属性的权重、属性值的不确定性以及决策者的偏好等关键因素。利用数学模型对决策问题进行精确描述和定量分析，通过严密的数学推导和计算，求解出最优决策方案或对方案进行合理排序。例如，在构建考虑决策者风险偏好的决策模型时，引入风险偏好参数，运用数学公式将其与属性权重和区间数属性值相结合，建立起能够反映决策者风险态度的数学模型。研究的技术路线如下：首先，开展全面的文献研究工作，广泛收集国内外关于区间数不确定多属性决策方法的研究资料，对其进行系统梳理和深入分析，明确研究现状和存在的问题，确定研究的切入点和重点方向。其次，深入剖析区间数的基本性质、运算规则以及区间数之间的比较方法，同时全面梳理现有的多属性决策方法，筛选出适用于处理区间数不确定性的方法，并对这些方法的原理、特点和应用场景进行详细分析。然后，基于对区间数和多属性决策方法的研究，结合实际决策需求，运用数学建模方法创新性地提出考虑区间数不确定性因素的决策模型。在模型构建过程中，充分考虑各种不确定性因素和决策者的偏好，确保模型的科学性和实用性。接着，运用实际案例对所提出的决策模型进行测试和验证。详细分析案例中的决策问题，收集相关数据，运用决策模型进行求解，并对结果进行深入分析和讨论。通过与实际情况的对比，评估模型的性能和效果，及时发现并解决模型中存在的问题。最后，根据研究结果和案例分析的结论，总结区间数不确定多属性决策方法的特点、适用范围和应用效果，提出针对性的建议和实践经验，为实际决策提供科学、有效的支持和参考。同时，对研究成果进行总结和归纳，撰写学术论文，为该领域的理论发展做出贡献。二、区间数不确定多属性决策的理论基础2.1区间数的基本概念与运算规则在现实世界中，由于信息的不完整性、测量的误差以及认知的局限性等因素，我们常常难以获取精确的数值信息，而区间数作为一种有效的工具，能够很好地描述这种不确定性。区间数是指用一个具有上下界的闭区间来表示数值不确定性的方法，通常记作A=[a^-,a^+]，其中a^-表示区间的下界，a^+表示区间的上界，且a^-\leqa^+。当a^-=a^+时，区间数便退化为传统意义上的确定值。例如，在评估某产品的市场需求时，由于市场的复杂性和不确定性，无法准确预测具体的需求量，但可以通过市场调研和分析，估计出需求量可能在[100,200]这个区间范围内。区间数的运算规则是处理区间数不确定多属性决策问题的基础，其运算规则与普通实数的运算规则既有相似之处，又存在一些差异。以下是区间数的加、减、乘、除等基本运算规则：加法运算：设A=[a^-,a^+]和B=[b^-,b^+]为两个区间数，则它们的加法运算为A+B=[a^-+b^-,a^++b^+]。例如，若A=[1,3]，B=[2,4]，那么A+B=[1+2,3+4]=[3,7]。加法运算的本质是将两个区间的下界和上界分别相加，得到新的区间下界和上界，反映了在不确定性情况下，两个区间数相加后的取值范围变化。减法运算：区间数的减法运算定义为A-B=[a^--b^+,a^+-b^-]。例如，对于A=[5,8]，B=[2,4]，则A-B=[5-4,8-2]=[1,6]。减法运算中，用被减数区间的下界减去减数区间的上界，被减数区间的上界减去减数区间的下界，得到差区间的下界和上界，体现了在不确定性下两个区间数相减的取值范围。乘法运算：当A和B均为非负区间数，即a^-\geq0且b^-\geq0时，乘法运算为A\timesB=[a^-b^-,a^+b^+]。例如，若A=[2,3]，B=[4,5]，则A\timesB=[2\times4,3\times5]=[8,15]。对于一般情况，A\timesB=[\min\{a^-b^-,a^-b^+,a^+b^-,a^+b^+\},\max\{a^-b^-,a^-b^+,a^+b^-,a^+b^+\}]。这是因为在不确定性下，两个区间数相乘需要考虑所有可能的组合，取其最小和最大值作为新区间的上下界，以全面涵盖乘积的取值范围。除法运算：当0\notinB，即b^-\gt0或b^+\lt0时，除法运算为A\divB=[a^-\divb^+,a^+\divb^-]。例如，若A=[6,9]，B=[2,3]，则A\divB=[6\div3,9\div2]=[2,4.5]。除法运算通过用被除数区间的下界除除数区间的上界，被除数区间的上界除除数区间的下界，得到商区间的下界和上界，反映了在不确定性下区间数相除的取值范围。2.2多属性决策理论概述多属性决策（MultipleAttributeDecisionMaking，MADM），又称有限方案多目标决策，是现代决策科学的重要分支。它主要研究在多个属性或准则下，对有限个备选方案进行综合评价和排序，从而选择出最优方案的过程。在多属性决策中，每个备选方案都具有多个属性，这些属性从不同角度反映了方案的特征和性能。例如，在选择一款手机时，可能需要考虑价格、性能、拍照质量、电池续航、外观设计等多个属性。不同的属性对决策者的重要程度不同，而且各属性之间可能存在相互关联和冲突。因此，多属性决策的关键在于如何合理地处理这些属性信息，综合考虑各方面因素，以做出科学、合理的决策。多属性决策问题通常包含三个基本要素：备选方案、属性和决策者。备选方案是决策者可供选择的对象，它们构成了决策的方案集。属性是用来描述和评价备选方案的特征或指标，属性集则包含了所有用于评价方案的属性。决策者是进行决策的主体，其偏好和价值观在决策过程中起着至关重要的作用。例如，在企业投资项目选择中，不同的投资项目就是备选方案，投资回报率、风险程度、投资回收期、市场前景等是属性，而企业的管理者就是决策者。管理者需要根据自己对各属性的重视程度以及企业的战略目标，对不同投资项目进行评估和选择。在多属性决策领域，经过长期的研究和发展，已经形成了众多丰富多样的决策方法，这些方法各自基于不同的理论基础和假设前提，适用于不同类型和特点的决策问题。以下将对一些常见的多属性决策方法及其原理进行详细阐述。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）：由美国运筹学家托马斯・塞蒂（ThomasL.Saaty）于20世纪70年代提出。该方法的基本思想是将复杂的决策问题分解为多个层次，从上至下依次为目标层、准则层和方案层等。在目标层明确决策的总体目标；准则层包含实现目标所涉及的多个准则或属性；方案层则是可供选择的具体方案。通过两两比较的方式，确定各层次中元素之间的相对重要性，构建判断矩阵。例如，在选择旅游目的地的决策中，目标层是选择最佳旅游目的地，准则层可能包括风景优美度、旅游成本、交通便利性等属性，方案层则是各个具体的旅游城市。对于风景优美度和旅游成本这两个属性，决策者通过比较判断，确定它们对于选择旅游目的地的相对重要程度，从而构建判断矩阵。然后，通过计算判断矩阵的特征向量和特征值，得出各准则对于目标的权重以及各方案对于准则的相对权重。最后，综合这些权重，计算出各方案对于目标的总权重，根据总权重对方案进行排序，从而选出最优方案。AHP方法能够将定性与定量分析相结合，有效处理复杂决策问题中各因素的相对重要性判断，但其判断矩阵的构建依赖于决策者的主观判断，可能存在一定的主观性和不一致性。TOPSIS法（TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution）：即优劣解距离法，由黄和尹（HwangandYoon）提出。该方法的核心原理是基于各方案与理想解（正理想解和负理想解）之间的距离来进行方案排序。正理想解是指各属性值都达到最优的方案，也就是在效益型属性中取最大值，在成本型属性中取最小值；负理想解则是各属性值都达到最差的方案，即在效益型属性中取最小值，在成本型属性中取最大值。例如，在评估不同供应商的决策中，对于产品质量（效益型属性），正理想解就是所有供应商中产品质量最好的数值；对于供应价格（成本型属性），正理想解就是所有供应商中供应价格最低的数值。通过计算每个方案与正理想解和负理想解之间的欧几里得距离，得到各方案与理想解的接近程度。接近程度越大，说明该方案越接近正理想解且越远离负理想解，方案也就越优。TOPSIS法计算过程相对简单，能够充分利用原始数据信息，对方案进行全面评价，但该方法对数据的分布较为敏感，当数据存在异常值时，可能会影响评价结果的准确性。模糊综合评价法（FuzzyComprehensiveEvaluationMethod）：基于模糊数学的理论，用于处理决策过程中的模糊性和不确定性。该方法的原理是首先确定评价因素集和评价等级集。评价因素集是影响决策的所有因素的集合，如在评价一款汽车时，评价因素集可能包括动力性能、燃油经济性、安全性、舒适性等；评价等级集则是对各因素评价结果的等级划分，如优秀、良好、中等、较差、差。然后，通过模糊变换将各因素的评价信息进行合成，得到对方案的综合评价结果。具体来说，需要先确定各因素对不同评价等级的隶属度，构建模糊关系矩阵。例如，对于动力性能这一因素，通过市场调研、专家评价等方式，确定其对优秀、良好、中等、较差、差这五个评价等级的隶属度，从而构建出模糊关系矩阵。再结合各因素的权重，通过模糊合成算子对模糊关系矩阵进行运算，得到综合评价向量。最后，根据最大隶属度原则确定方案的评价等级。模糊综合评价法能够较好地处理模糊信息，将定性评价转化为定量评价，但在确定隶属度和权重时，也存在一定的主观性。2.3区间数不确定多属性决策的特点与难点区间数不确定多属性决策作为多属性决策领域中具有独特性质和重要研究价值的分支，与传统多属性决策相比，具有显著的特点和诸多亟待解决的难点。从特点来看，区间数不确定多属性决策最突出的特点便是充分考虑了决策过程中的不确定性。在现实决策场景中，由于信息的不完整性、获取信息的局限性以及决策环境的动态变化等因素，决策信息往往难以用精确数值来表示。区间数的引入能够有效地描述这种不确定性，它通过一个取值区间来刻画属性值，为决策者提供了更全面的信息。例如，在评估一个工程项目的成本时，由于原材料价格的波动、施工过程中可能出现的意外情况等不确定因素，很难准确预估成本的具体数值，但可以通过前期调研和经验分析，给出成本的大致区间，如[1000万元，1500万元]。这种表示方式能够更真实地反映决策问题的实际情况，避免了因使用单一精确值而忽略不确定性所带来的风险。此外，区间数不确定多属性决策具有更强的灵活性和适应性。传统多属性决策方法在面对不确定信息时，往往需要进行简化或近似处理，这可能导致信息的丢失或决策结果的偏差。而区间数不确定多属性决策方法能够直接处理区间数形式的信息，无需进行过度简化，能够更好地适应复杂多变的决策环境。在选择供应商时，不仅要考虑产品价格、质量等属性，还需考虑供应商的交货及时性、售后服务等不确定性因素。使用区间数来表示这些属性值，可以更全面地评估供应商的综合能力，从而做出更合理的选择。然而，区间数不确定多属性决策在实际应用中也面临着一系列难点。其中，权重确定是一个关键难点。在多属性决策中，权重反映了各属性对决策结果的相对重要程度。在区间数不确定多属性决策中，由于属性值本身是不确定的区间数，传统的权重确定方法难以直接应用。而且，权重的确定往往受到决策者主观偏好、决策环境等多种因素的影响，如何在不确定性条件下准确、合理地确定权重，成为了该领域研究的重点和难点。一种常用的主观权重确定方法是专家打分法，但在区间数环境下，专家对于各属性重要程度的判断也存在不确定性，如何将这种不确定性融入权重计算是一个挑战。而客观权重确定方法，如熵值法，在处理区间数数据时，也需要对其计算过程进行改进，以适应区间数的特性。区间数比较也是区间数不确定多属性决策中的一个难点。由于区间数是一个取值范围，不像精确数值那样具有明确的大小顺序，如何比较两个区间数的大小成为了决策过程中的关键问题。目前，虽然已经提出了多种区间数比较方法，如基于可能度的比较方法、基于均值和方差的比较方法等，但每种方法都有其局限性和适用条件。基于可能度的比较方法在计算可能度时，不同的计算公式可能会导致不同的比较结果，且对于复杂的区间数关系，可能度的理解和应用也存在一定难度。基于均值和方差的比较方法虽然考虑了区间数的集中趋势和离散程度，但在某些情况下，可能无法准确反映决策者的偏好和实际决策需求。因此，寻找一种更加科学、合理、通用的区间数比较方法，仍然是区间数不确定多属性决策领域需要深入研究的方向。三、区间数不确定多属性决策方法的类型与分析3.1基于可能度的多属性决策方法基于可能度的多属性决策方法，是处理区间数不确定多属性决策问题的重要手段之一，其核心在于通过定义区间数之间的可能度，来比较区间数的大小关系，从而实现对决策方案的排序和选择。在介绍具体的决策步骤之前，首先需要明确区间数比较的可能度公式及相关定理。设A=[a^-,a^+]和B=[b^-,b^+]为两个区间数，常用的可能度公式定义为：p(A\geqB)=\frac{\min\{1,\max(0,\frac{a^+-b^-}{(a^+-a^-)+(b^+-b^-)})\}该公式的含义是通过比较区间数A的上界与区间数B的下界之间的差值，以及两个区间数的长度之和，来确定A大于等于B的可能性程度。当a^+\geqb^-时，p(A\geqB)的值随着a^+-b^-的增大而增大，且最大值为1，表示A肯定大于等于B；当a^+\ltb^-时，p(A\geqB)的值为0，表示A肯定小于B。根据上述可能度公式，可以证明以下重要定理：定理1：p(A\geqB)+p(B\geqA)=1，这体现了可能度的互补性。即A大于等于B的可能性与B大于等于A的可能性之和为1。若p(A\geqB)=0.7，则p(B\geqA)=1-0.7=0.3。定理2：当且仅当p(A\geqB)=1且p(B\geqA)=0时，A\gtB。这明确了区间数严格大于关系的判断条件。只有当A大于等于B的可能性为1，且B大于等于A的可能性为0时，才能确定A严格大于B。定理3：对于三个区间数A、B和C，若p(A\geqB)\geq0.5且p(B\geqC)\geq0.5，则p(A\geqC)\geq0.5，这反映了可能度的传递性。在比较三个区间数的大小时，如果A大于等于B的可能性不小于0.5，且B大于等于C的可能性不小于0.5，那么A大于等于C的可能性也不小于0.5。基于可能度的多属性决策方法，其具体步骤如下：构建决策矩阵：对于某一多属性决策问题，假设有m个备选方案A_1,A_2,\cdots,A_m，n个属性C_1,C_2,\cdots,C_n。决策者对每个方案在各个属性下进行评估，得到属性值，从而构成决策矩阵X=(x_{ij})_{m\timesn}，其中x_{ij}=[x_{ij}^-,x_{ij}^+]为区间数，表示方案A_i在属性C_j下的取值。在评估不同投资项目时，可能涉及投资回报率、风险程度、投资回收期等属性，每个项目在各属性下的评估值可能以区间数形式给出。标准化决策矩阵：由于不同属性的量纲和取值范围可能不同，为了消除这些差异对决策结果的影响，需要对决策矩阵进行标准化处理。对于效益型属性（属性值越大越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{x_{ij}^-}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}},\frac{x_{ij}^+}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}}]对于成本型属性（属性值越小越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{\frac{1}{x_{ij}^+}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}},\frac{\frac{1}{x_{ij}^-}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}}]经过标准化处理后，得到标准化决策矩阵R=(r_{ij})_{m\timesn}。确定属性权重：属性权重反映了各属性在决策中的相对重要程度。权重的确定方法有多种，如主观赋权法（如层次分析法、专家打分法等）、客观赋权法（如熵权法、变异系数法等）以及组合赋权法。通过某种方法确定各属性的权重向量w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)，其中\sum_{j=1}^{n}w_j=1且w_j\geq0。在评估供应商时，若认为产品质量的重要性高于交货及时性，可能会通过层次分析法确定产品质量属性的权重为0.6，交货及时性属性的权重为0.4。计算综合属性值：利用加权平均算子（如加权算术平均（WAA）算子）对各方案的标准化属性值进行集结，求得各方案的综合属性值。对于方案A_i，其综合属性值z_i为：z_i=\sum_{j=1}^{n}w_jr_{ij}=[\sum_{j=1}^{n}w_jr_{ij}^-,\sum_{j=1}^{n}w_jr_{ij}^+]建立可能度矩阵：利用区间数比较的可能度公式，计算各方案综合属性值之间的可能度。设z_i和z_k分别为方案A_i和A_k的综合属性值，则它们之间的可能度p_{ik}=p(z_i\geqz_k)。通过计算所有方案综合属性值两两之间的可能度，建立可能度矩阵P=(p_{ik})_{m\timesm}。方案排序：根据可能度矩阵P，采用合适的排序方法对方案进行排序。常用的排序方法有行和法、特征向量法等。以行和法为例，计算可能度矩阵P中每一行的元素之和s_i=\sum_{k=1}^{m}p_{ik}，s_i的值越大，说明方案A_i优于其他方案的可能性越大。按照s_i的大小对方案进行排序，即可得到各方案的优劣顺序，从而选出最优方案。为了更清晰地展示基于可能度的多属性决策方法的应用过程，下面通过一个具体的案例进行说明。案例：考虑一个大学的学院评估问题，选择教学、科研和服务这3个属性作为评估指标。设有5个学院（方案）将被评估，并假定属性的权重向量为w=(0.3,0.4,0.3)。决策者以区间数这种不确定形式给出了各方案的属性值，其标准化决策矩阵如表1所示：学院教学科研服务学院1[0.2,0.3][0.4,0.5][0.3,0.4]学院2[0.3,0.4][0.3,0.4][0.2,0.3]学院3[0.1,0.2][0.5,0.6][0.4,0.5]学院4[0.4,0.5][0.2,0.3][0.1,0.2]学院5[0.3,0.4][0.4,0.5][0.3,0.4]计算综合属性值：利用加权平均算子计算各学院的综合属性值。z_1=0.3\times[0.2,0.3]+0.4\times[0.4,0.5]+0.3\times[0.3,0.4]=[0.3\times0.2+0.4\times0.4+0.3\times0.3,0.3\times0.3+0.4\times0.5+0.3\times0.4]=[0.31,0.39]z_2=0.3\times[0.3,0.4]+0.4\times[0.3,0.4]+0.3\times[0.2,0.3]=[0.3\times0.3+0.4\times0.3+0.3\times0.2,0.3\times0.4+0.4\times0.4+0.3\times0.3]=[0.27,0.37]z_3=0.3\times[0.1,0.2]+0.4\times[0.5,0.6]+0.3\times[0.4,0.5]=[0.3\times0.1+0.4\times0.5+0.3\times0.4,0.3\times0.2+0.4\times0.6+0.3\times0.5]=[0.35,0.45]z_4=0.3\times[0.4,0.5]+0.4\times[0.2,0.3]+0.3\times[0.1,0.2]=[0.3\times0.4+0.4\times0.2+0.3\times0.1,0.3\times0.5+0.4\times0.3+0.3\times0.2]=[0.23,0.33]z_5=0.3\times[0.3,0.4]+0.4\times[0.4,0.5]+0.3\times[0.3,0.4]=[0.3\times0.3+0.4\times0.4+0.3\times0.3,0.3\times0.4+0.4\times0.5+0.3\times0.4]=[0.34,0.42]建立可能度矩阵：利用可能度公式计算各学院综合属性值之间的可能度。p_{12}=p(z_1\geqz_2)=\frac{\min\{1,\max(0,\frac{0.39-0.27}{(0.39-0.31)+(0.37-0.27)})\}=\frac{\min\{1,\max(0,\frac{0.12}{0.08+0.1})\}=\frac{\min\{1,\frac{0.12}{0.18}\}\approx0.67以此类推，计算出所有可能度，得到可能度矩阵P：P=\begin{pmatrix}1&0.67&0.33&0.89&0.44\\0.33&1&0.11&0.78&0.22\\0.67&0.89&1&0.94&0.56\\0.11&0.22&0.06&1&0.06\\0.56&0.78&0.44&0.94&1\end{pmatrix}方案排序：采用行和法对学院进行排序。s_1=1+0.67+0.33+0.89+0.44=3.33s_2=0.33+1+0.11+0.78+0.22=2.44s_3=0.67+0.89+1+0.94+0.56=4.06s_4=0.11+0.22+0.06+1+0.06=1.45s_5=0.56+0.78+0.44+0.94+1=3.72按照s_i从大到小的顺序排列，得到学院的排序为：学院3＞学院5＞学院1＞学院2＞学院4。因此，学院3的综合评估结果最好。基于可能度的多属性决策方法，通过合理地定义区间数之间的可能度，能够有效地处理区间数不确定多属性决策问题。该方法具有较强的逻辑性和可操作性，在实际应用中能够为决策者提供较为科学的决策依据。然而，该方法也存在一定的局限性，例如可能度公式的选择会对决策结果产生影响，不同的可能度公式可能导致不同的排序结果。在确定属性权重时，主观因素的影响可能较大，不同的权重确定方法也可能使决策结果存在差异。因此，在实际应用中，需要根据具体问题的特点和需求，合理选择可能度公式和权重确定方法，以提高决策的准确性和可靠性。3.2基于投影模型的多属性决策方法基于投影模型的多属性决策方法，从向量空间的角度出发，通过计算方案向量在理想点向量上的投影来衡量方案与理想状态的接近程度，进而实现对方案的排序和选择。在介绍该方法的具体步骤之前，首先需要明确一些关键概念，如加权标准化决策矩阵、区间型正理想点、向量的模以及投影等。对于某一多属性决策问题，假设有m个备选方案A_1,A_2,\cdots,A_m，n个属性C_1,C_2,\cdots,C_n，属性权重向量为w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)，其中\sum_{j=1}^{n}w_j=1且w_j\geq0。决策者对各方案按属性进行测度，得到决策矩阵X=(x_{ij})_{m\timesn}，其中x_{ij}=[x_{ij}^-,x_{ij}^+]为区间数，表示方案A_i在属性C_j下的取值。首先构造加权标准化决策矩阵Z=(z_{ij})_{m\timesn}，其中z_{ij}=w_jr_{ij}，r_{ij}为标准化后的属性值。对于效益型属性（属性值越大越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{x_{ij}^-}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}},\frac{x_{ij}^+}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}}]对于成本型属性（属性值越小越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{\frac{1}{x_{ij}^+}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}},\frac{\frac{1}{x_{ij}^-}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}}]通过上述标准化处理，消除了不同属性量纲和取值范围的差异对决策结果的影响。定义区间型正理想点Z^+=(z_1^+,z_2^+,\cdots,z_n^+)，其中z_j^+=[\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]。区间型正理想点代表了各属性下的最优取值范围，是所有方案都期望达到的理想状态。设Z_i=(z_{i1},z_{i2},\cdots,z_{in})和Z_j=(z_{j1},z_{j2},\cdots,z_{jn})是两个向量，向量Z_i的模定义为\vertZ_i\vert=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(z_{ik}^+)^2+(z_{ik}^-)^2}。向量的模反映了向量的长度或大小，在投影模型中，它与向量之间的夹角余弦值一起，用于全面衡量向量之间的接近度。定义向量Z_i在向量Z^+上的投影为p(Z_i,Z^+)=\frac{\sum_{j=1}^{n}(z_{ij}^-z_j^{+,-}+z_{ij}^+z_j^{+,+})}{\vertZ^+\vert}。投影值越大，表示向量Z_i与向量Z^+之间越接近，即方案A_i越贴近区间型正理想点。基于投影模型的多属性决策方法的具体步骤如下：构建决策矩阵并标准化：决策者对所有方案按各属性进行测度，得到决策矩阵X=(x_{ij})_{m\timesn}，然后按上述标准化公式将其转化为标准化矩阵R=(r_{ij})_{m\timesn}。在评估不同品牌的笔记本电脑时，属性可能包括价格、性能、重量、电池续航等，每个品牌在各属性下的评估值构成决策矩阵，经过标准化处理后得到标准化矩阵。构造加权标准化决策矩阵：利用属性权重向量w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)和标准化矩阵R=(r_{ij})_{m\timesn}，构造加权标准化决策矩阵Z=(z_{ij})_{m\timesn}，其中z_{ij}=w_jr_{ij}。若价格属性的权重为0.3，某品牌笔记本在价格属性上的标准化值为[0.2,0.3]，则其在加权标准化决策矩阵中的值为0.3\times[0.2,0.3]=[0.06,0.09]。确定区间型正理想点：根据加权标准化决策矩阵Z=(z_{ij})_{m\timesn}，利用公式z_j^+=[\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]确定区间型正理想点Z^+=(z_1^+,z_2^+,\cdots,z_n^+)。计算方案在区间型正理想点上的投影：利用投影公式p(Z_i,Z^+)=\frac{\sum_{j=1}^{n}(z_{ij}^-z_j^{+,-}+z_{ij}^+z_j^{+,+})}{\vertZ^+\vert}，求出每个方案A_i对应的向量Z_i在区间型正理想点Z^+上的投影p(Z_i,Z^+)。方案排序或择优：依据投影值p(Z_i,Z^+)对方案进行排序，投影值越大，说明方案越贴近区间型正理想点，方案也就越优。从而可以选择出最优方案或对所有方案进行优劣排序。为了更清晰地展示基于投影模型的多属性决策方法的应用过程，下面以雷达接收机维修性设计方案选择为例进行说明。案例：现拟对某雷达接收机3个维修性设计方案进行选样，考虑的指标（属性）有：C_1寿命周期费用（万元）；C_2平均寿命（小时）；C_3平均维修时间；C_4可用度；C_5综合性能。决策矩阵如表2所示，已知属性权重向量为w=(0.2,0.3,0.1,0.2,0.2)。方案寿命周期费用平均寿命平均维修时间可用度综合性能方案1[100,120][5000,6000][2,3][0.8,0.9][8,9]方案2[80,100][4000,5000][1,2][0.7,0.8][7,8]方案3[120,150][6000,7000][3,4][0.9,1.0][9,10]标准化决策矩阵：在各项指标中，寿命周期费用C_1和平均维修时间C_3为成本型，其他均为效益型。对于效益型属性对于效益型属性C_2（平均寿命），以方案1为例，标准化计算如下：r_{12}=[\frac{5000}{\sqrt{5000^2+4000^2+6000^2}},\frac{6000}{\sqrt{5000^2+4000^2+6000^2}}]\approx[0.53,0.64]对于成本型属性C_1（寿命周期费用），以方案1为例，标准化计算如下：r_{11}=[\frac{\frac{1}{120}}{\sqrt{(\frac{1}{100})^2+(\frac{1}{80})^2+(\frac{1}{120})^2}},\frac{\frac{1}{100}}{\sqrt{(\frac{1}{100})^2+(\frac{1}{80})^2+(\frac{1}{120})^2}}]\approx[0.42,0.50]经过类似计算，得到标准化决策矩阵如表3所示：|方案|寿命周期费用|平均寿命|平均维修时间|可用度|综合性能||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.42,0.50]|[0.53,0.64]|[0.32,0.40]|[0.50,0.56]|[0.49,0.55]||方案2|[0.50,0.60]|[0.42,0.53]|[0.40,0.50]|[0.44,0.50]|[0.43,0.49]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]||方案|寿命周期费用|平均寿命|平均维修时间|可用度|综合性能||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.42,0.50]|[0.53,0.64]|[0.32,0.40]|[0.50,0.56]|[0.49,0.55]||方案2|[0.50,0.60]|[0.42,0.53]|[0.40,0.50]|[0.44,0.50]|[0.43,0.49]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.42,0.50]|[0.53,0.64]|[0.32,0.40]|[0.50,0.56]|[0.49,0.55]||方案2|[0.50,0.60]|[0.42,0.53]|[0.40,0.50]|[0.44,0.50]|[0.43,0.49]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]||方案1|[0.42,0.50]|[0.53,0.64]|[0.32,0.40]|[0.50,0.56]|[0.49,0.55]||方案2|[0.50,0.60]|[0.42,0.53]|[0.40,0.50]|[0.44,0.50]|[0.43,0.49]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]||方案2|[0.50,0.60]|[0.42,0.53]|[0.40,0.50]|[0.44,0.50]|[0.43,0.49]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]||方案3|[0.32,0.40]|[0.64,0.75]|[0.25,0.32]|[0.56,0.63]|[0.55,0.61]|构造加权标准化决策矩阵：利用属性权重向量w=(0.2,0.3,0.1,0.2,0.2)和标准化决策矩阵，计算加权标准化决策矩阵。以方案1的寿命周期费用为例：z_{11}=0.2\times[0.42,0.50]=[0.084,0.100]经过计算，得到加权标准化决策矩阵如表4所示：|方案|寿命周期费用|平均寿命|平均维修时间|可用度|综合性能||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.084,0.100]|[0.159,0.192]|[0.032,0.040]|[0.100,0.112]|[0.098,0.110]||方案2|[0.100,0.120]|[0.126,0.159]|[0.040,0.050]|[0.088,0.100]|[0.086,0.098]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]||方案|寿命周期费用|平均寿命|平均维修时间|可用度|综合性能||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.084,0.100]|[0.159,0.192]|[0.032,0.040]|[0.100,0.112]|[0.098,0.110]||方案2|[0.100,0.120]|[0.126,0.159]|[0.040,0.050]|[0.088,0.100]|[0.086,0.098]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]||----|----|----|----|----|----||方案1|[0.084,0.100]|[0.159,0.192]|[0.032,0.040]|[0.100,0.112]|[0.098,0.110]||方案2|[0.100,0.120]|[0.126,0.159]|[0.040,0.050]|[0.088,0.100]|[0.086,0.098]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]||方案1|[0.084,0.100]|[0.159,0.192]|[0.032,0.040]|[0.100,0.112]|[0.098,0.110]||方案2|[0.100,0.120]|[0.126,0.159]|[0.040,0.050]|[0.088,0.100]|[0.086,0.098]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]||方案2|[0.100,0.120]|[0.126,0.159]|[0.040,0.050]|[0.088,0.100]|[0.086,0.098]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]||方案3|[0.064,0.080]|[0.192,0.225]|[0.025,0.032]|[0.112,0.126]|[0.110,0.122]|确定区间型正理想点：z_1^+=[\max\{0.084,0.100,0.064\},\max\{0.100,0.120,0.080\}]=[0.100,0.120]z_2^+=[\max\{0.159,0.126,0.192\},\max\{0.192,0.159,0.225\}]=[0.192,0.225]z_3^+=[\max\{0.032,0.040,0.025\},\max\{0.040,0.050,0.032\}]=[0.040,0.050]z_4^+=[\max\{0.100,0.088,0.112\},\max\{0.112,0.100,0.126\}]=[0.112,0.126]z_5^+=[\max\{0.098,0.086,0.110\},\max\{0.110,0.098,0.122\}]=[0.110,0.122]所以区间型正理想点Z^+=([0.100,0.120],[0.192,0.225],[0.040,0.050],[0.112,0.126],[0.110,0.122])。计算方案在区间型正理想点上的投影：以方案1为例，计算其在区间型正理想点上的投影p(Z_1,Z^+)：p(Z_1,Z^+)=\frac{(0.084\times0.100+0.100\times0.120)+(0.159\times0.192+0.192\times0.225)+(0.032\times0.040+0.040\times0.050)+(0.100\times0.112+0.112\times0.126)+(0.098\times0.110+0.110\times0.122)}{\sqrt{(0.120)^2+(0.225)^2+(0.050)^2+(0.126)^2+(0.122)^2}}\approx0.37类似地，计算出方案2和方案3在区间型正理想点上的投影分别约为0.33和0.41。方案排序：根据投影值大小对方案进行排序，0.41＞0.37＞0.33，所以方案的排序为：方案3＞方案1＞方案2。故最优方案为方案3。基于投影模型的多属性决策方法，从向量投影的角度为区间数不确定多属性决策问题提供了一种有效的解决途径。该方法通过将决策问题转化为向量空间中的投影计算，直观地反映了方案与理想状态的接近程度。与其他决策方法相比，它能够充分利用向量的方向和模的信息，更全面地评估方案的优劣。在实际应用中，该方法具有较强的可操作性和实用性，能够为决策者提供清晰、准确的决策依据。然而，该方法也存在一定的局限性，例如在确定属性权重时，仍然面临着主观性较强的问题，不同的权重确定方法可能会导致决策结果的差异。在处理高维数据和复杂决策问题时，计算量可能会较大，需要进一步优化计算方法以提高决策效率。3.3逼近正理想点的多属性决策方法逼近正理想点的多属性决策方法，是一种基于方案与正、负理想点之间距离关系来进行决策的方法。在该方法中，首先需要定义区间型正、负理想点。设某一多属性决策问题，有m个备选方案A_1,A_2,\cdots,A_m，n个属性C_1,C_2,\cdots,C_n，属性权重向量为w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)，其中\sum_{j=1}^{n}w_j=1且w_j\geq0。决策者对各方案按属性进行测度，得到决策矩阵X=(x_{ij})_{m\timesn}，其中x_{ij}=[x_{ij}^-,x_{ij}^+]为区间数，表示方案A_i在属性C_j下的取值。定义区间型正理想点Z^+=(z_1^+,z_2^+,\cdots,z_n^+)，其中z_j^+=[\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]，这里z_{ij}是经过加权标准化后的属性值。区间型正理想点代表了各属性下的最优取值范围，是所有方案都期望达到的理想状态。定义区间型负理想点Z^-=(z_1^-,z_2^-,\cdots,z_n^-)，其中z_j^-=[\min_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\min_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]。区间型负理想点则表示各属性下的最差取值范围。逼近正理想点的多属性决策方法的具体步骤如下：构建决策矩阵并标准化：决策者对所有方案按各属性进行测度，得到决策矩阵X=(x_{ij})_{m\timesn}，然后按标准化公式将其转化为标准化矩阵R=(r_{ij})_{m\timesn}。对于效益型属性（属性值越大越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{x_{ij}^-}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}},\frac{x_{ij}^+}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(x_{ij}^+)^2}}]对于成本型属性（属性值越小越好），标准化公式为：r_{ij}=[\frac{\frac{1}{x_{ij}^+}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}},\frac{\frac{1}{x_{ij}^-}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{m}(\frac{1}{x_{ij}^-})^2}}]在评估不同品牌的汽车时，对于价格（成本型属性）和油耗（成本型属性）等属性，会按照相应的标准化公式进行处理；对于动力性能（效益型属性）和舒适性（效益型属性）等属性，则按照效益型属性的标准化公式进行计算。构造加权标准化决策矩阵：利用属性权重向量w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)和标准化矩阵R=(r_{ij})_{m\timesn}，构造加权标准化决策矩阵Z=(z_{ij})_{m\timesn}，其中z_{ij}=w_jr_{ij}。若价格属性的权重为0.3，某品牌汽车在价格属性上的标准化值为[0.2,0.3]，则其在加权标准化决策矩阵中的值为0.3\times[0.2,0.3]=[0.06,0.09]。确定区间型正、负理想点：根据加权标准化决策矩阵Z=(z_{ij})_{m\timesn}，利用公式z_j^+=[\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\max_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]确定区间型正理想点Z^+=(z_1^+,z_2^+,\cdots,z_n^+)；利用公式z_j^-=[\min_{1\leqi\leqm}z_{ij}^-,\min_{1\leqi\leqm}z_{ij}^+]确定区间型负理想点Z^-=(z_1^-,z_2^-,\cdots,z_n^-)。计算每个方案到正、负理想点的距离：计算每个方案A_i到区间型正理想点Z^+的距离d_i^+和到区间型负理想点Z^-的距离d_i^-。距离计算公式通常采用欧几里得距离公式，即：d_i^+=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}((z_{ij}^--z_j^{+,-})^2+(z_{ij}^+-z_j^{+,+})^2)}d_i^-=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}((z_{ij}^--z_j^{-,-})^2+(z_{ij}^+-z_j^{-,+})^2)}计算每个方案对理想点的贴近度：利用公式C_i=\frac{d_i^-}{d_i^++d_i^-}计算每个方案A_i对理想点的贴近度C_i。贴近度C_i的值越大，表示方案A_i越接近正理想点且越远离负理想点，方案也就越优。方案排序：按贴近度C_i值的大小对方案进行排序，C_i值越大，则方案A_i越优。从而可以选择出最优方案或对所有方案进行优劣排序。为了更清晰地展示逼近正理想点的多属性决策方法的应用过程，下面以某地区制革工业开发方案选择为例进行说明。案例：某地区盛产生皮，为了开发该地区的制革工业，考虑生产资源的分布情况及其他与制革工业有关因素（属性），其中所考虑的属性有：C_1能源需求量（100kw．h/d）；C_2水的需求量（10万加仑／天）；C_3废水排放方式（十分制）；C_4工厂和设备成本（百万美元）；C_5作业成本（百万美元/年）；C_6有关地区的经济发展（十分制）；C_7研究开发机会（十分制）；C_8投资报酬（以1为基数）。已知属性权重向量为w=(0.1,0.1,0.1,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1)。现有4个制革工业开发方案，决策矩阵如表5所示：方案能源需求量水的需求量废水排放方式工厂和设备成本作业成本有关地区的经济发展研究开发机会投资报酬方案1[10,12][8,10][7,8][20,25][15,20][7,8][6,7][0.8,0.9]方案2[8,10][6,8][8,9][18,22][12,16][8,9][7,8][0.9,1.0]方案3[12,15][10,12][6,7][22,28][18,22][6,7][5,6][0.7,0.8]方案4[9,11][7,9][7,8][19,23][14,18][7,8][6,7][0.8,0.9]标准化决策矩阵：在各项指标中，能源需求量C_1、水的需求量C_2、工厂和设备成本C_4和作业成本C_5为成本型，其他均为效益型。对于效益型属性对于效益型属性C_3（废水排放方式），以方案1为例，标准化计算如下：r_{13}=[\frac{7}{\sqrt{7^2+8^2+6^2+7^2}},\frac{8}{\sqrt{7^2+8^2+6^2+7^2}}]\approx[0.47,0.54]对于成本型属性C_1（能源需求量），以方案1为例，标准化计算如下：r_{11}=[\frac{\frac{1}{12}}{\sqrt{(\frac{1}{10})^2+(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{12})^2+(\frac{1}{9})^2}},\frac{\frac{1}{10}}{\sqrt{(\frac{1}{10})^2+(\frac{1}{8})^2+(\frac{1}{12})^2+(\frac{1}{9})^2}}]\approx[0.41,0.50]经过类似计算，得到标准化决策矩阵如表6所示：|方案|能源需求量|水的需求量|废水排放方式|工厂和设备成本|作业成本|有关地区的经济发展|研究开发机会|投资报酬||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.41,0.50]|[0.47,0.59]|[0.47,0.54]|[0.38,0.48]|[0.38,0.51]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案2|[0.50,0.60]|[0.59,0.71]|[0.54,0.61]|[0.42,0.53]|[0.47,0.63]|[0.54,0.61]|[0.56,0.64]|[0.54,0.61]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案|能源需求量|水的需求量|废水排放方式|工厂和设备成本|作业成本|有关地区的经济发展|研究开发机会|投资报酬||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.41,0.50]|[0.47,0.59]|[0.47,0.54]|[0.38,0.48]|[0.38,0.51]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案2|[0.50,0.60]|[0.59,0.71]|[0.54,0.61]|[0.42,0.53]|[0.47,0.63]|[0.54,0.61]|[0.56,0.64]|[0.54,0.61]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.41,0.50]|[0.47,0.59]|[0.47,0.54]|[0.38,0.48]|[0.38,0.51]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案2|[0.50,0.60]|[0.59,0.71]|[0.54,0.61]|[0.42,0.53]|[0.47,0.63]|[0.54,0.61]|[0.56,0.64]|[0.54,0.61]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案1|[0.41,0.50]|[0.47,0.59]|[0.47,0.54]|[0.38,0.48]|[0.38,0.51]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案2|[0.50,0.60]|[0.59,0.71]|[0.54,0.61]|[0.42,0.53]|[0.47,0.63]|[0.54,0.61]|[0.56,0.64]|[0.54,0.61]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案2|[0.50,0.60]|[0.59,0.71]|[0.54,0.61]|[0.42,0.53]|[0.47,0.63]|[0.54,0.61]|[0.56,0.64]|[0.54,0.61]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案3|[0.33,0.41]|[0.38,0.47]|[0.40,0.47]|[0.34,0.43]|[0.34,0.46]|[0.40,0.47]|[0.40,0.48]|[0.40,0.47]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]||方案4|[0.45,0.54]|[0.53,0.64]|[0.47,0.54]|[0.40,0.50]|[0.42,0.56]|[0.47,0.54]|[0.48,0.56]|[0.47,0.54]|构造加权标准化决策矩阵：利用属性权重向量w=(0.1,0.1,0.1,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1)和标准化决策矩阵，计算加权标准化决策矩阵。以方案1的能源需求量为例：z_{11}=0.1\times[0.41,0.50]=[0.041,0.050]经过计算，得到加权标准化决策矩阵如表7所示：|方案|能源需求量|水的需求量|废水排放方式|工厂和设备成本|作业成本|有关地区的经济发展|研究开发机会|投资报酬||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.041,0.050]|[0.047,0.059]|[0.047,0.054]|[0.076,0.096]|[0.076,0.102]|[0.047,0.054]|[0.048,0.056]|[0.047,0.054]||方案2|[0.050,0.060]|[0.059,0.071]|[0.054,0.061]|[0.084,0.106]|[0.094,0.126]|[0.054,0.061]|[0.056,0.064]|[0.054,0.061]||方案3|[0.033,0.041]|[0.038,0.047]|[0.040,0.047]|[0.068,0.086]|[0.068,0.092]|[0.040,0.047]|[0.040,0.048]|[0.040,0.047]||方案4|[0.045,0.054]|[0.053,0.064]|[0.047,0.054]|[0.080,0.100]|[0.084,0.112]|[0.047,0.054]|[0.048,0.056]|[0.047,0.054]||方案|能源需求量|水的需求量|废水排放方式|工厂和设备成本|作业成本|有关地区的经济发展|研究开发机会|投资报酬||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.041,0.050]|[0.047,0.059]|[0.047,0.054]|[0.076,0.096]|[0.076,0.102]|[0.047,0.054]|[0.048,0.056]|[0.047,0.054]||方案2|[0.050,0.060]|[0.059,0.071]|[0.054,0.061]|[0.084,0.106]|[0.094,0.126]|[0.054,0.061]|[0.056,0.064]|[0.054,0.061]||方案3|[0.033,0.041]|[0.038,0.047]|[0.040,0.047]|[0.068,0.086]|[0.068,0.092]|[0.040,0.047]|[0.040,0.048]|[0.040,0.047]||方案4|[0.045,0.054]|[0.053,0.064]|[0.047,0.054]|[0.080,0.100]|[0.084,0.112]|[0.047,0.054]|[0.048,0.056]|[0.047,0.054]||----|----|----|----|----|----|----|----|----||方案1|[0.041,0.050]|[0.047,0.059]|[0.047,0.054]|[0.076,0.096]|[0.076,0.102]|[0.047,0.054]|[0.048,0.05