新高考高三数学 概率与统计 分层学习手册

高中数学·概率与统计分层学习手册适用对象：河南省2026届高三学生，使用全国新高考Ⅰ卷（数学满分150分，依据2019版人教A版教材“概率与统计”模块）。分值占比：本模块在新高考Ⅰ卷中通常占12%–15%（约18–22分），一般考查2道选择题+1道填空题，或2道选择/填空+1道解答题（解答题多为17分左右，常考“概率分布列与期望”“统计案例”）。三档说明：入门档（基础薄弱生）：目标“保底拿分”，覆盖最基础概念与必会公式，例题极细、可逐步行验算，争取选择题与填空不丢分。基础档（多数学生）：目标“稳拿中档分”，覆盖高考解答题常考题型，配解题模板，争取解答题前几问满分。精进档（优秀生）：目标“冲刺满分/压轴”，覆盖条件概率、全概率与贝叶斯、概率综合、统计案例等较难综合题，配思维模型。一、入门档（基础薄弱生）知识点：排列组合、古典概型、均值$E(X)$与方差$D(X)$、频率分布直方图、抽样1.排列与组合排列数（从n个中取m个排成一列）：A_n^m=n!/(n-m)!，当m=n时A_n^n=n!。组合数（从n个中取m个成一组，不计顺序）：C_n^m=n!/m!(n-m)!=A_n^m/A_m^m。常用性质：C_n^m=C_n^n-m，C_n^m+C_n^m-1=C_n+1^m。2.古典概型公式：P(A)=m/n，其中n为基本事件总数，m为事件A包含的基本事件数。前提：有限个、等可能。3.离散型随机变量的均值与方差均值（期望）：E(X)=x_1p_1+x_2p_2+·s+x_np_n=\sum_i=1^nx_ip_i。方差：D(X)=\sum_i=1^n(x_i-E(X))^2p_i=E(X^2)-[E(X)]^2。常用性质：E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a^2D(X)。4.频率分布直方图小矩形高=频率/组距；小矩形面积=频率。众数≈最高矩形底边中点；中位数、平均数用“面积（频率）累加”估计。平均数估计：\bar{x}≈\sum(组中值×频率)。5.抽样方法简单随机抽样（抽签法、随机数法）；系统抽样（等距）；分层抽样（按比例n_h=N_h/N·n）。例题1题目（排列组合计数）某班有5名男生、4名女生，现要从中选3人去打扫卫生，要求至少有1名女生，共有多少种选法？解析（分步）1.先算“从9人中任选3人”的总数：C_9^3=9×8×7/3×2×1=84种。2.再算“不符合要求（即3人全为男生）”的选法：C_5^3=5×4×3/3×2×1=10种。3.用“排除法”：至少1名女生=总数−全男生=84-10=74种。4.（验算：直接分类）1女2男：C_4^1C_5^2=4×10=40；2女1男：C_4^2C_5^1=6×5=30；3女：C_4^3=4；合计40+30+4=74，与上面一致。易错提醒不能直接算“C_4^1×C_8^2”——这样会重复计数（同一组合可能被不同女生“先选”而重复）。“至少1名”类问题优先用排除法最稳。答案：74种。例题2题目（古典概型·抽球）袋中有3个红球、2个白球，从中任取2个（不放回），求恰好取到1红1白的概率。解析（分步）1.基本事件总数（从5个球取2个）：n=C_5^2=5×4/2×1=10。2.“1红1白”包含的事件数：从3红取1、从2白取1，即m=C_3^1×C_2^1=3×2=6。3.由古典概型：P=m/n=6/10=3/5。4.（验算）也可算反面：“2红”C_3^2=3，“2白”C_2^2=1，同色共4种；则异色10-4=6种，P=6/10=3/5，一致。易错提醒不放回时总数用组合C_5^2，不要写成5×4=20（那是考虑顺序的排列，但若分子分母都按排列算也可，只是别混用）。“任取2个”默认不计顺序，用组合数。答案：3/5。例题3题目（频率分布直方图）某次测验成绩的频率分布直方图如下（组距均为10），各组的“频率/组距”分别为：|分组|[0,10)|[10,20)|[20,30)|[30,40)|[40,50)||---|---|---|---|---|---||频率/组距|0.005|0.015|0.035|0.025|0.020|（1）估计众数；（2）估计中位数；（3）估计平均分。解析（分步）1.先验证频率和为1：各组频率=频率/组距×组距(10)，即0.05,0.15,0.35,0.25,0.20，和为1.00✓。2.众数：最高矩形在[20,30)，组中值25，故众数≈25。3.中位数：频率累计0.05,0.20,0.55,\dots，中位数落在[20,30)（因为累计到前两组为0.20<0.5，到第三组末为0.55>0.5）。中位数=20+0.5-0.20/0.035×10=20+0.30/0.035×10≈20+8.57=28.57。4.平均分（平均数）：用组中值加权：\bar{x}≈5×0.05+15×0.15+25×0.35+35×0.25+45×0.20=0.25+2.25+8.75+8.75+9.00=29.00。易错提醒中位数不是“最高的那组中点”，而要用频率累计找到累计达0.5的位置再线性插值。直方图纵轴是“频率/组距”，面积才等于频率，不能直接把纵轴数值当频率相加。答案：众数≈25；中位数≈28.57；平均分≈29.00。例题4题目（均值与方差）已知离散型随机变量X的分布列：|X|0|1|2|3||---|---|---|---|---||P|0.1|0.3|0.4|0.2|求E(X)与D(X)。解析（分步）1.先验证\sumP=0.1+0.3+0.4+0.2=1.0✓。2.均值：E(X)=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=0+0.3+0.8+0.6=1.7。3.先算E(X^2)：E(X^2)=0^2×0.1+1^2×0.3+2^2×0.4+3^2×0.2=0+0.3+1.6+1.8=3.7。4.方差：D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=3.7-1.7^2=3.7-2.89=0.81。5.（验算）用定义式：D(X)=(0-1.7)^2×0.1+(1-1.7)^2×0.3+(2-1.7)^2×0.4+(3-1.7)^2×0.2=2.89×0.1+0.49×0.3+0.09×0.4+1.69×0.2=0.289+0.147+0.036+0.338=0.81✓。易错提醒用D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2时，是[E(X)]^2（先求期望再平方），不是E(X^2)内部平方。计算前务必先检查概率和是否为1。答案：E(X)=1.7，D(X)=0.81。二、基础档（多数学生）知识点：分布列与期望、二项分布、正态分布、线性回归、独立性检验（配模板）模板1：求离散型随机变量分布列1.确定X的所有可能取值；2.逐个求P(X=k)（常结合组合/超几何）；3.验证\sumP=1；4.列表；5.算E(X)、D(X)。模板2：二项分布识别与计算特征：①n次独立重复；②每次只有“成功/失败”两结果；③每次成功概率p不变。记X\simB(n,p)，则P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k，E(X)=np，D(X)=np(1-p)。模板3：正态分布对称法若X\simN(μ,σ^2)，图象关于x=μ对称；常用：P(X<μ)=P(X>μ)=0.5；经验值：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973。模板4：线性回归\hat{b}=\frac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}=\frac{\sumx_iy_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sumx_i^2-n\bar{x}^2}，\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}，回归直线必过点(\bar{x},\bar{y})。模板5：独立性检验（2×2列联表）统计量K^2=n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d。判断：K^2>3.841有95%把握有关；K^2>6.635有99%把握有关。例题1（分布列与期望·中等）盒中有3个红球、2个白球，从中不放回地任取2个，记X为取到红球的个数。（1）求X的分布列；（2）求E(X)、D(X)。解析1.X可能取0,1,2，总数C_5^2=10。2.P(X=0)=C_3^0C_2^2/C_5^2=1/10；P(X=1)=C_3^1C_2^1/10=6/10=3/5；P(X=2)=C_3^2C_2^0/10=3/10。3.分布列：|X|0|1|2||---|---|---|---||P|1/10|3/5|3/10|4.E(X)=0·1/10+1·3/5+2·3/10=0+0.6+0.6=1.2；亦可由超几何期望E=n·M/N=2·3/5=1.2验证。5.E(X^2)=0+1·3/5+4·3/10=0.6+1.2=1.8；D(X)=1.8-1.2^2=1.8-1.44=0.36。6.（验算）超几何方差D=n·M/N·N-M/N·N-n/N-1=2·3/5·2/5·3/4=0.36✓。答案：分布列如上；E(X)=1.2，D(X)=0.36。例题2（二项分布·中等）已知随机变量X\simB(n,p)，且E(X)=6，D(X)=2.4。（1）求n,p；（2）求P(X=8)。解析1.由二项分布：E(X)=np=6，D(X)=np(1-p)=2.4。2.两式相除：np(1-p)/np=1-p=2.4/6=0.4，故p=0.6。3.代回：n·0.6=6⇒n=10。4.P(X=8)=C_10^8(0.6)^8(0.4)^2=45×0.6^8×0.4^2。0.6^2=0.36,0.6^4=0.1296,0.6^8=0.01679616；0.4^2=0.16。=45×0.01679616×0.16=45×0.0026873856≈0.1209。答案：n=10,p=0.6；P(X=8)≈0.121。例题3（正态分布·中等）设X\simN(2,3^2)，即μ=2,σ=3。求：（1）P(X>2)；（2）P(2<X<5)。（已知P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827）解析1.正态曲线关于x=μ=2对称，故P(X>2)=0.5。2.5=μ+σ，所以P(2<X<5)=P(μ<X<μ+σ)=1/2P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827/2=0.34135。3.（验算）对称性：P(X<2)=0.5，P(2<X<5)=0.34135，则P(X>5)=0.5-0.34135=0.15865，与右尾一致。答案：P(X>2)=0.5；P(2<X<5)≈0.3414。例题4（线性回归·中等）已知5组数据：|x|1|2|3|4|5||---|---|---|---|---|---||y|2|4|5|4|5|求回归直线方程\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}。解析1.\bar{x}=1+2+3+4+5/5=3，\bar{y}=2+4+5+4+5/5=4。2.算\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})：偏差：x-3=(-2,-1,0,1,2)，y-4=(-2,0,1,0,1)；乘积：4,0,0,0,2；合计S_xy=6。3.算\sum(x_i-\bar{x})^2=4+1+0+1+4=10，故\hat{b}=6/10=0.6。4.\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=4-0.6×3=4-1.8=2.2。5.回归直线：\hat{y}=0.6x+2.2。6.（验算）代入\bar{x}=3得\hat{y}=0.6×3+2.2=4=\bar{y}，必过点(\bar{x},\bar{y})✓。答案：\hat{y}=0.6x+2.2。例题5（独立性检验·中等）为了解“是否喜欢运动”与“性别”是否有关，调查200名学生，得到列联表：||男生|女生|合计||---|---|---|---||喜欢|40|30|70||不喜欢|30|100|130||合计|70|130|200|能否有99%的把握认为“喜欢运动与性别有关”？解析1.设a=40,b=30,c=30,d=100,n=200。2.K^2=n(ad-bc)^2/(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(40×100-30×30)^2/70×130×70×130。3.ad-bc=4000-900=3100，平方得9610000。4.分子200×9610000=1922000000；分母70×130×70×130=9100^2=82810000。5.K^2=1922000000/82810000≈23.21。6.因为23.21>6.635，所以有99%的把握认为“喜欢运动与性别有关”。答案：能，有99%的把握认为两者有关（K^2≈23.21）。三、精进档（优秀生）知识点：条件概率、全概率与贝叶斯、概率综合、统计案例（配模型）模型1：条件概率定义：P(B\midA)=P(AB)/P(A)(P(A)>0)。乘法公式：P(AB)=P(A)P(B\midA)=P(B)P(A\midB)。独立判定：A,B独立\LeftrightarrowP(AB)=P(A)P(B)\LeftrightarrowP(B\midA)=P(B)。模型2：全概率与贝叶斯（树状图）若A_1,\dots,A_n互斥且完备（P(A_i)>0,\sumA_i=Ω），则全概率：P(B)=\sum_i=1^nP(A_i)P(B\midA_i)；贝叶斯：P(A_k\midB)=\dfrac{P(A_k)P(B\midA_k)}{\sum_i=1^nP(A_i)P(B\midA_i)}。模型3：概率综合（递推/对称）轮流博弈、无限序列求和常化为等比数列：S=a_1/1-q(|q|<1)。“先命中者胜”“至少一次成功”常转化为1-P(全失败)。模型4：统计案例（分布+决策）将正态、二项、期望结合：先由正态分布求某事件概率p，再令计数变量Y\simB(n,p)做决策。例题1（全概率与贝叶斯·较难）某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占总产量的30\%,50\%,20\%；其次品率分别为3\%,1\%,2\%。现从总产品中任取一件。（1）求取到次品的概率；（2）若已知取到的是次品，求它来自甲生产线的概率。解析1.设A_1,A_2,A_3分别表示“来自甲、乙、丙线”，B表示“取到次品”。2.已知P(A_1)=0.3,P(A_2)=0.5,P(A_3)=0.2；P(B\midA_1)=0.03,P(B\midA_2)=0.01,P(B\midA_3)=0.02。3.（全概率）P(B)=\sumP(A_i)P(B\midA_i)=0.3×0.03+0.5×0.01+0.2×0.02=0.009+0.005+0.004=0.018。4.（贝叶斯）P(A_1\midB)=P(A_1)P(B\midA_1)/P(B)=0.009/0.018=0.5。5.（验算）若取1000件：甲300件含次品300×0.03=9件；乙500件含5件；丙200件含4件；总次品18件，其中甲占9/18=0.5✓。答案：（1）0.018；（2）0.5。例题2（条件概率与独立性·较难）已知P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(A\cupB)=0.8。求：（1）P(AB)；（2）P(A\midB)与P(B\midA)；（3）判断A,B是否独立。解析1.由加法公式P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(AB)，得0.8=0.6+0.4-P(AB)，故P(AB)=0.2。2.P(A\midB)=P(AB)/P(B)=0.2/0.4=0.5；P(B\midA)=P(AB)/P(A)=0.2/0.6=1/3。3.独立判定：P(A)P(B)=0.6×0.4=0.24\neqP(AB)=0.2，故A,B不独立。4.（延展验算）P(A\mid\bar{B})=\dfrac{P(A)-P(AB)}{P(\bar{B})}=0.6-0.2/0.6=2/3，与P(A\midB)=0.5不同，进一步说明不独立✓。答案：（1）0.2；（2）0.5,\frac13；（3）不独立。例题3（概率综合·较难）甲、乙两人轮流投篮，甲先投。甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，先投中者获胜（投篮直到有人投中为止）。求甲获胜的概率。解析1.甲在第1轮投中即胜：概率0.6。2.若甲第1轮不中（概率0.4）、乙也不中（概率0.5），则回到“甲先投”的初始状态，此概率0.4×