一元二次方程的概念课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

一元二次方程的概念人教版九年级上册数学在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？让我们画出图形，解决这个问题．如图，雕像腰部以上的身长AC

与腰部以下的身长BC

应有如下关系：AC∶BC＝BC∶5，即BC2＝5AC．ACB2－xx这个方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是2，和一元一次方程不同。在本节课中，我们将围绕这个方程展开探究学习。设雕像腰部以下的身长BC为x

m，可得方程x2＝5(5－x)，整理得x2＋5x－25＝0．

方程x2＋5x－25＝0只含有一个未知数x，x的最高次数是2．像这样的方程有丰富的背景、广泛的应用，请看下面的问题．问题1

如图

1，有一块矩形铁皮，长100

cm，宽50

cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图

2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为3

600

cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？（只列方程）图

1图

2

解：设各角切去的正方形铁皮的边长为x

cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3

600

cm2，可列得方程(100－2x)(50－2x)＝3

600．

整理并化简，得x2－75x＋350＝0．这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？x1，2问题2要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？（只列方程）分析：全部比赛的场数为4×7＝28．设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛一场，则此次邀请赛共需进行

x(x－1)场．为什么需进行

x(x－1)场？若直接用x(x－1)计算，甲队对乙、乙队对甲会被算作两场，实际是同一场比赛，因此需要除以

2，避免重复计数。解：设应邀请x支球队参赛．列方程x(x－1)＝28．整理并化简，得x2－x－56＝0．这个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？1，2问题2要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？（只列方程）思考观察下列三个方程，找到它们的共同点：x2＋5x－25＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x－56＝0．1．方程两边都是________；2．只含有_______个未知数；3．未知数的最高次数是______．整式一2怎样定义有这些共同点的方程呢？等号两边都是______，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是____（二次）的方程，叫作一元二次方程．归纳整式一个2（1）“整式”应理解为未化简时，方程两边均是整式；（2）“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2”是对方程整理合并后而言的．一般地，任何一个关于x

的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当a＝0时，方程没有二次项．为什么规定a≠0？二次项一次项常数项二次项系数一次项系数使一元二次方程左右两边______的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．相等解新知一元二次方程的解满足的两个条件：（1）未知数的值；（2）使一元二次方程左右两边相等．例1

下列方程中，哪些是一元二次方程？（1）x2＝4；（2）y2－3y＋1＝0；（3）(y－1)2＝y2＋2；（4）x2－2y＋1＝0．解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程；（2）是一元二次方程；（3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程；（4）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程．所以（1）（2）是一元二次方程．归纳判断一元二次方程，理清“是”“否”是关键观察方程是不是整式方程不是一元二次方程使方程的右边为0，左边合并同类项观察是否满足“一元”和“二次”是一元二次方程不是一元二次方程否是是否特别提醒如果一个方程的二次项系数含有字母，必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为0时，该方程才是一元二次方程．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10．移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0．它的二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10．例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．方法总结化一元二次方程为一般形式的步骤第1步：去分母；第2步：去括号；第3步：移项；第4步：合并同类项．确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视（1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数．

（2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉．（3）特例：若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0．归纳

例3判断x＝2，x＝3是不是一元二次方程x2－x－5＝1的根．解：将x＝2

分别代入方程的左右两边，得左边＝－3，右边＝1，－3≠1，所以x＝2不是方程的根；将x＝3分别代入方程的左右两边，得左边＝1，右边＝1，1＝1，所以x＝3是方程的根．归纳判断是不是一元二次方程的根的妙招将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数值是方程的根；否则不是方程的根．一元二次方程的特殊形式a，b，c的取值方程的一般形式a≠0b