工学《电路》第五版 课件 第3章

CHAPTER03《电路》第五版第3章电阻电路的一般分析电路理论基础·系统讲解四种通用分析方法Textbook电路（第五版）Topic电阻电路的一般分析Scene高校工科教学03ECIRCUITANALYSISCONTENTS本章内容导航ChapterNavigation·电阻电路的系统化分析方法01电路的图图论基础概念与拓扑关系02KCL和KVL的独立方程数确定方程独立性03支路电流法以支路电流为变量求解04网孔电流法平面电路的高效分析方法05回路电流法适用于非平面电路的通用方法06结点电压法以结点电压为变量的系统化方法CHAPTER01§3-1电路的图电阻电路的一般分析SECTIONDIVIDERCCIRCUITANALYSISFUNDAMENTALSGRAPHTHEORY电路的图：基本概念与定义拓扑抽象与独立方程组的理论基石电路的图是忽略元件特性、仅保留连接关系的抽象拓扑模型，用于研究KCL/KVL方程的独立性，是系统化电路分析的理论基石。图的构成图（Graph）由结点和支路组成，支路用线段表示，结点为支路连接点，允许孤立结点存在。移除规则移去结点时必须同时移去其关联的所有支路，但移去支路不影响其所连结点。连通性连通图中任意两结点间至少存在一条路径，非连通图无法定义完整的独立方程组。回路定义回路是起点终点重合且中间结点不重复的闭合路径，构成KVL方程的物理基础。H电路分析基础GRAPHTHEORYCONCEPTS有向图、连通图与回路DirectedGraph,ConnectedGraph&Loop赋予支路参考方向的有向图是列写代数方程的前提，连通性与回路数量直接决定独立KVL方程的上限。有向图为每条支路指定方向（通常取电流参考方向），使KCL/KVL可写成代数和形式。连通图保证所有结点参与同一方程组，非连通部分需分别处理或合并为多个子系统。回路回路必须满足"起点＝终点"且"中间结点唯一"两个条件，简单闭合路径才是有效回路。独立回路数b条支路、n个结点的连通图，最多有b−n+1个独立回路，对应KVL独立方程数。GRAPHTHEORYFUNDAMENTALS树、树支与连支树是包含全部结点且无回路的极小连通子图，树支数恒为n-1，连支数恒为b-n+1，二者之和等于总支路数b。01树的三个必要条件——连通、包含所有结点、不含回路，三者缺一不可。移去任一树支将使图分裂为两个子图，破坏连通性。02树支数定理——对于n个结点的连通图，任何树的树支数均为n−1，这是图论的基本定理之一。03连支与基本回路——连支是不属于所选树的剩余支路，数量为b−(n−1)。每条连支对应一个基本回路，是回路分析的基础。04树的非唯一性——同一图可有多种不同的树，但树支数和连支数始终不变，仅具体支路的归属（树支或连支）有所不同。n−1树支数b−n+1连支数b总支路数CIRCUITTHEORY基本回路与独立回路组FundamentalLoops&IndependentLoopSet基本回路是由一条连支和若干树支构成的唯一回路，所有基本回路组成独立回路组，其数量等于连支数b−n+1。01线性无关性每个基本回路只含一条连支，因此各基本回路的KVL方程线性无关，构成独立方程组。02树的选择不唯一选择不同树会得到不同的基本回路组，但每组都包含恰好b−n+1个独立回路。03网孔与基本回路平面电路中网孔即为一种特殊的基本回路组，便于直观识别和列方程。04最小完备集独立回路组是列写KVL方程的最小完备集，多余回路方程可由该组线性表出。CHAPTER02§3-2KCL和KVL的独立方程数电阻电路的一般分析SECTIONDIVIDERCIRCUITTHEORYKCLANALYSISKCL独立方程数：n−1个基尔霍夫电流定律的独立性与参考结点选择对n个结点的电路，仅有n-1个KCL方程相互独立，第n个方程必可由前n-1个线性组合得到，故参考结点不参与列方程。01参考结点与方程列写任选一结点作为参考结点（通常接地），其余n-1个结点各列一个KCL方程即可完备描述电流约束。02冗余性证明所有n个结点的KCL方程之和恒为零，证明其中一个是冗余的，独立数上限为n-1。03参考结点的选择策略参考结点的选择不影响最终解，但会影响中间方程的形式，通常选连接支路最多的结点简化计算。04核心结论KCL独立方程数仅取决于结点数n，与支路元件类型、电源配置无关。CIRCUITANALYSISKVLEQUATIONSKVL独立方程数：b-(n-1)个独立KVL方程·连支数·基本回路数·拓扑约束独立KVL方程数等于连支数b-n+1，也等于基本回路数，这是由图的拓扑结构决定的，与元件参数无关。基本回路的构建选取一棵树后，每条连支与树支构成一个基本回路，共b-n+1个，其KVL方程线性无关。线性组合与独立性任意其他回路的KVL方程均可由这b-n+1个基本回路方程线性组合得到，故为最大独立数。平面电路的网孔平面电路中网孔数恰好等于b-n+1，因此可用网孔代替一般基本回路列KVL方程。完整约束体系KVL独立方程数+KCL独立方程数(n-1)+VAR方程数(b)正好等于2b，构成完整约束。CIRCUITTHEORYPAGE11总独立方程数与VAR关系2b方程体系·KCL+KVL+VAR三位一体封闭求解完整描述b条支路电路需要2b个独立方程：n-1个KCL+b-n+1个KVL+b个VAR，三者缺一不可。01三重约束封闭KCL提供电流拓扑约束，KVL提供电压拓扑约束，VAR提供元件伏安特性，三者共同封闭求解。02联立求解条件消去b个支路电压变量后，剩下b个支路电流未知量，恰好由n-1个KCL和b-n+1个KVL联立求解。03降阶优化策略若引入网孔电流或结点电压等新变量，可减少未知量数目，从而降低方程阶数提高求解效率。04系统化方法基础理解2b方程结构是掌握所有系统化分析方法（支路法、网孔法、回路法、结点法）的共同基础。CHAPTER03§3-3支路电流法电阻电路的一般分析METHODOLOGY支路电流法原理与步骤BranchCurrentMethod·Principles&Steps支路电流法以b个支路电流为未知量，联立n-1个KCL方程和b-n+1个KVL方程直接求解，是最基础但方程数最多的方法。01标定参考方向标定各支路电流参考方向，选定n−1个独立结点和b−n+1个独立回路02列写方程组对n−1个独立结点列KCL方程，对b−n+1个独立回路列KVL方程（用Ri替代u）03联立求解将b个方程联立求解得各支路电流，再根据欧姆定律求支路电压和其他量方法特点概念直观、无需变换变量，但方程数等于支路数b，手算时仅适用于小规模电路E电路分析基础ANALYSIS支路电流法典型例题解析BRANCHCURRENTMETHOD—WORKEDEXAMPLE通过含3个结点6条支路的桥式电路演示支路电流法全流程，强调方程列写的规范性和符号一致性。01方程规模确定：例题电路含6条支路、4个结点，需列3个KCL方程和3个KVL方程，共6个方程求解6个支路电流。02KVL符号规则：沿回路绕行方向，电阻压降Ri与绕行同向取正、反向取负；电压源升压取正、降压取负。03方程组求解：代入已知电阻值和电源值后整理为标准线性方程组，可用克莱姆法则或矩阵法求解。04结果判读：电流值为正则实际方向与参考方向一致，为负则相反，务必在结果中标明实际流向。CIRCUITANALYSISMETHOD含电流源支路的处理方法CurrentSourceBranchProcessing当电路含理想电流源时，该支路电流已知，可减少一个未知量，但需注意KVL方程中该支路电压成为新未知量或避开该支路选回路。01减少未知量若电流源所在支路电流已知，则该支路不再作为未知电流变量，总未知量减一。02避开电流源选回路为避免引入电流源端电压新未知量，应选择独立回路时不包含电流源支路，或利用超网孔思想。03补充方程法也可保留电流源支路电压为未知量，同时增加该支路电流等于已知值的补充方程维持方程数平衡。04工程优先方案实际工程中常优先选用结点电压法处理含电流源电路，因其天然适配电流激励形式。CHAPTER04§3-4网孔电流法电阻电路的一般分析MESHANALYSISCIRCUITTHEORY·17网孔电流定义与方程建立将未知量从b条支路降至m=b−n+1个网孔核心洞察：网孔电流是假想沿平面电路每个网孔边界流动的环流，所有支路电流可表示为相关网孔电流的代数和，从而将未知量从b降至m=b-n+1。01辅助变量自动满足KCL—网孔电流是人为设定的辅助变量，自动满足KCL，只需对每个网孔列KVL方程即可求解。02共享支路的电流合成—某支路若被两个网孔共享，其电流等于两网孔电流之差（方向相同时）或之和（方向相反时）。03自阻与互阻的KVL表达—列KVL时将支路电压用网孔电流表示：自网孔电流乘自阻，相邻网孔电流乘互阻。04方程右边取电压源代数和—方程右边为该网孔内所有电压源的代数和，与网孔电流方向一致的电压升取负、电压降取正。CIRCUITANALYSIS网孔电流法标准形式与自互阻标准方程结构与阻值符号规则网孔方程呈对称形式Rkk·imk+ΣRkj·imj=usk，其中自阻Rkk恒为正，互阻Rkj符号由两网孔电流在公共支路上的相对方向决定。自电阻Rkk自电阻Rkk等于该网孔内所有电阻之和，永远取正值，反映本网孔电流产生的总压降。互电阻Rkj互电阻等于两网孔公共支路上的电阻，当两网孔电流在公共支路上方向相同时取正、相反时取负。解耦与互易对称性若无公共支路则互阻为零，方程解耦；互阻的对称性（Rkj=Rjk）源于电路的互易性。标准形式的意义标准形式便于记忆和编程实现，是后续矩阵形式电路方程的基础原型。ANALYSIS网孔电流法例题详解MeshCurrentMethod—WorkedExample以三网孔含双电压源电路为例，完整演示设网孔电流、列标准方程、求解并还原支路电流的全过程。01设定网孔电流DefineMeshCurrents设定三个顺时针网孔电流：im1、im2、im3识别自阻与互阻：R₁₁=R₁+R₅+R₄R₁₂=−R₅02列写KVL方程WriteKVLEquations列写三个标准KVL方程：R₁₁·im1+R₁₂·im2+R₁₃·im3=us1−us4R₂₁·im1+R₂₂·im2+R₂₃·im3=us2R₃₁·im1+R₃₂·im2+R₃₃·im3=us3依此类推完成方程组03求解方程组SolvetheSystem代入数值，用行列式或高斯消元法求解：im1=2Aim2=1.5Aim3=0.8A04还原支路电流RecoverBranchCurrents根据支路与网孔关系求各支路电流：i₅=im1−im2=0.5A注意方向一致性校验MESHANALYSISCIRCUITTHEORY含无伴电流源的网孔法处理UnaccompaniedCurrentSourceinMeshAnalysis当网孔中含有无并联电阻的理想电流源时，该网孔电流被强制等于电流源值，可减少方程数，但需注意跨网孔电流源需用超网孔法处理。01独占网孔边界若电流源独占一个网孔边界，则该网孔电流直接等于电流源值（考虑方向），无需列该网孔KVL。02跨网孔公共支路若电流源位于两网孔公共支路上，则不能单独确定任一网孔电流，需构造包围两网孔的超网孔。03超网孔KVL与约束超网孔KVL方程避开电流源支路，同时补充电流源两端网孔电流差等于源电流的约束方程。04本质与方法论此技巧本质是将电流约束转化为网孔电流间的代数关系，维持方程总数与未知量数匹配。H电路分析基础Chapter05CHAPTER0505§3-5回路电流法电阻电路的一般分析SECTIONDIVIDERANALYSIS回路电流法与网孔法的区别回路电流法是网孔法的推广，不限于平面电路，通过选择任意独立回路组作为分析对象，适用范围更广。01适用范围差异网孔法仅适用于平面电路，而回路电流法对平面和非平面电路均有效，通用性更强02物理意义明确回路电流可选择基本回路（单连支回路），此时回路电流即等于对应连支电流，物理意义明确03计算简化优势灵活选择回路可使某些互阻为零或方程解耦，从而简化计算，这是网孔法不具备的优势04特殊结构处理当电路含受控源或特殊结构时，恰当选择回路能避免复杂耦合，提升手工求解效率E电路原理METHODOLOGYOVERVIEW回路电流法一般步骤与特点回路电流法五步流程：选独立回路→设回路电流→列KVL→求解→还原支路量；其核心优势在于可通过回路选择优化方程结构。1选定独立回路—选定l=b−n+1个独立回路并标明绕行方向，优先选基本回路或能使互阻简化的回路2设定回路电流—设定各回路电流参考方向（通常与绕行一致），作为新的未知变量3列写KVL方程—对每个回路列KVL方程，左边为自阻乘本回路电流加互阻乘相邻回路电流，右边为电压源代数和4求解方程组—求解l个方程得各回路电流值5还原支路量—根据支路与回路关系合成各支路电流和电压APPLICATION回路电流法应用实例通过含6条支路4个结点的非平面电路示例，展示如何选择基本回路、列写方程并高效求解，凸显方法通用性。01选择基本回路选定树支{1,4,5}，则连支{2,3,6}对应三个基本回路：(2,1,4)、(3,5,4,1)、(6,4,5)02变量一一对应每个基本回路仅含一条连支，故回路电流il1=i2,il2=i3,il3=i6，变量与连支电流一一对应03列写KVL方程列写三个KVL方程时，互阻仅出现在共享树支的回路线之间，结构稀疏易解04求解全部电流解得回路电流后即得所有连支电流，树支电流由KCL从连支电流导出，全过程无需处理全部b个变量CHAPTER06§3-6结点电压法电阻电路的一般分析06ECIRCUITANALYSISPRINCIPLESNODALVOLTAGEMETHOD结点电压法原理与方程列写结点电压法以n-1个独立结点对参考结点的电压为未知量，自动满足KVL，仅需列n-1个KCL方程，特别适合含电流源的电路。01选定参考结点参考结点设定：任选一结点为参考结点（电位为零），其余n-1个结点电压即为未知变量，构成求解体系的基础。02支路电压表达欧姆定律代入：各支路电压可用结点电压差表示，再通过欧姆定律转为电导乘电压形式代入KCL方程。03列写KCL方程电流平衡：对每个独立结点列KCL——流出该结点的电流代数和为零，用电导和结点电压表达各支路电流。04方程标准形式自电导与互电导：方程左边为自电导乘本结点电压减去互电导乘相邻结点电压，右边为流入该结点的电流源代数和。CIRCUITTHEORY自电导与互电导规则Gkk&Gkj结点方程Gkk·unk-ΣGkj·unj=isk中，自电导Gkk恒为正且等于连到该结点的所有电导之和，互电导Gkj恒为负且等于两结点间直接相连的电导。01自电导Gkk连接到结点k的所有支路电导之和，永远取正值，反映该结点电压驱动的总流出电流。02互电导Gkj结点k与j之间直接相连支路的电导，在方程中以负号出现，体现邻点电压对本结点的流入贡献。03解耦与对称性若两结点间无直接电导连接，互电导为零，方程解耦；互电导对称Gkj=Gjk源于电路互易性。04电流源规则电流源流入结点取正、流出取负；与电流源串联的电阻不计入电导，因其不影响结点电压。CIRCUITANALYSIS§3.5典型例题结点电压法典型例题以四结点含双电流源电路为例，演示选参考结点、列标准方程、求解并计算支路量的完整流程。1选取参考结点列写KCL方程选结点④为参考，对①②③列方程。识别自电导如G₁₁=1/R₁+1/R₂+1/R₅，互电导如G₁₂=−1/R₂2确定方程右边电流源项结点①有iₛ₁流入取+iₛ₁，结点②有iₛ₂流出取−iₛ₂，结点③无电流源则为03求解方程组得结点电压代入电导值得3×3线性方程组，解得u_n1=12V，u_n2=8V，u_n3=5V4计算支路电流验证一致性i₁=u_n1/R₁=2.4A，i₂=(u_n1−u_n2)/R₂=0.8A等，验证KCL/KVL一致性CIRCUITANALYSIS029含受控源与电压源的处理结点电压法处理受控源时需增补控制量与结点电压的关系式；处理无伴电压源时可设其电流为新变量或改用改进结点法。01受控源当作独立源列方程，但其控制量（电压或电流）必须用结点电压表示，形成附加约束方程。方程组中新增的关系式确保受控源输出与控制量保持正确耦合。02例如VCCS的控制电压ux=una−unb，将其代入受控源表达式后，方程仍仅为结点电压的线性组合，不引入额外未知量。03理想电压源两端结点电压差固定，可直接消去一个变量；若电压源浮空（不接参考结点），需引入其电流为新未知量，同时增加一条约束方程。04改进结点法（MNA）