人教版八年级数学下册一次函数的应用题分类练习

人教版八年级数学下册一次函数的应用题分类练习一次函数作为初中数学的重要内容，不仅是代数学习的基础，更在解决实际问题中有着广泛的应用。八年级下册对一次函数的学习，重点之一便是如何将实际问题转化为数学模型，利用一次函数的性质来分析和解决问题。这类问题往往需要我们从实际情境中抽象出数学关系，建立函数模型，进而解决问题。下面，我们将针对人教版八年级数学下册中一次函数应用题的常见类型进行梳理，并配以相应的练习与解析，希望能帮助同学们更好地掌握这部分知识。一、行程问题行程问题是一次函数应用中最为常见的类型之一，涉及路程、速度和时间三个基本量，它们之间的关系为：路程=速度×时间。在具体问题中，常常会涉及到相遇、追及、变速行驶等不同情境，需要我们根据题意，找出其中的等量关系，建立一次函数表达式。例题1：甲、乙两地相距若干千米，一辆快车从甲地出发匀速驶向乙地，速度为60千米/小时。快车出发1小时后，一辆慢车从乙地出发匀速驶向甲地，速度为40千米/小时。设慢车行驶的时间为t小时，两车之间的距离为y千米。（1）求y与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围。（2）当两车相距100千米时，慢车行驶了多长时间？思路点拨：（1）首先要明确，慢车行驶t小时时，快车已经行驶了(t+1)小时。两车是相向而行，所以它们共同行驶的路程会使得两车之间的距离缩短。需要考虑两车相遇前和相遇后两种情况，因为这两种情况下，距离y的表达式会有所不同。同时，还要注意t的取值范围，慢车从出发到两车相遇，再到其中一车到达终点，t的取值是有限制的。（2）在第（1）问求出的函数关系式基础上，令y=100，解方程即可得到t的值，但要注意解出的t是否在相应的取值范围内。详细解答：（1）快车先出发1小时，行驶的路程为60×1=60千米，此时两车相距S-60千米（S为甲、乙两地距离，这里我们先不用具体数值，看后续是否需要）。慢车出发后，两车相向而行，它们的相对速度为60+40=100千米/小时。在慢车行驶t小时内，两车共同行驶的路程为100t千米。情况一：两车相遇前此时，两车之间的距离y=总距离-快车先行路程-两车共同行驶路程。但题目中没有给出甲、乙两地的具体距离，这说明我们可能需要换一种思路，或者题目中的“相距若干千米”并不影响，因为在后续计算相遇时间时可以消去，或者题目默认两车出发前的距离是可以通过它们的速度和行驶时间来体现的。实际上，当两车相遇时，快车行驶的总路程加上慢车行驶的路程等于甲、乙两地的距离。设相遇时慢车行驶了t₁小时，则：60(t₁+1)+40t₁=S但我们现在要表达的是y与t的关系，y是两车之间的距离。在相遇前，y=S-60(t+1)-40t。但S未知，这显然无法直接表示。因此，我们可以推断，题目中“甲、乙两地相距若干千米”可能是一个干扰信息，或者在本题中，当慢车出发时，两车之间的初始距离是可以通过后续两车相遇的条件来确定的，或者更有可能的是，题目默认我们不需要知道具体总距离，而是在慢车行驶过程中，两车从相距（设为D）开始，D=60×1+(60+40)t₀，当t=0时，y=D=60千米？不对，快车先开1小时，此时快车在距离甲地60千米处，慢车还在乙地，所以甲乙两地距离就是当t=0时，两车之间的距离y。设甲乙两地距离为L，则当t=0时，y=L-60×1=L-60。当两车相遇时，y=0，即：60(t₁+1)+40t₁=L同时，在相遇前，y=L-[60(t+1)+40t]=L-60-100t。当t=t₁时，y=0，所以0=L-60-100t₁=>L=60+100t₁。但L还是未知，这说明题目可能缺少条件，或者我的理解有误。哦，不对，题目可能是想让我们假设当慢车出发时，两车之间的距离就是初始距离，即快车出发1小时后，慢车才出发，此时两车相距的距离就是我们需要考虑的初始距离，设为d千米（d=L-60）。那么：相遇前：y=d-(60+40)t=d-100t。相遇后，两车继续行驶，此时两车之间的距离y=(60+40)(t-t₁)=100(t-t₁)，其中t₁=d/100。但题目中依然没有给出d的值。这说明我之前的分析可能偏离了方向。或许，题目中的“两车之间的距离为y千米”是指从慢车出发开始计时，两车之间的距离变化。我们重新审视题目，发现题目确实没有给出甲乙两地的具体距离，这意味着这道题可能是想让我们在不知道总距离的情况下，分析y与t的关系，或者可能题目隐含了两车最终会相遇并且继续行驶直到其中一车到达终点。考虑到这是一道八年级的练习题，通常甲乙两地的距离会使得两车在慢车行驶过程中能够相遇。我们不妨假设，当慢车行驶t小时后，快车一共行驶了(t+1)小时，慢车行驶了t小时。如果两车还未相遇，则y=总路程-60(t+1)-40t。如果两车已经相遇，则y=60(t+1)+40t-总路程。但总路程未知，这显然无法求解。因此，我判断此处可能是我在记录题目时遗漏了甲、乙两地的距离，或者题目本身就是开放性的，但根据常规，这类题目一定会给出具体距离。例如，假设甲、乙两地相距360千米（这个数字比较好算，60+100t=360=>t=3）。那么，我们就以甲、乙两地相距360千米为例来完成解答（因为没有具体数字无法计算，这应该是题目设定时的应有之义，可能是原始题目中有的，我这里假设补充一个合理的数字以便演示解题过程，实际出题时会给出）。设甲、乙两地相距360千米。快车先出发1小时，行驶了60千米，此时两车相距360-60=300千米。相遇前：0≤t<300/(60+40)=3小时。y=300-100t。相遇后：t≥3小时。此时两车共同行驶的路程超过300千米，y=100t-300。同时，要考虑快车和慢车谁先到达终点。快车从甲地到乙地总共需要时间：360/60=6小时，所以快车从慢车出发时算起，还需行驶6-1=5小时。慢车从乙地到甲地需要时间：360/40=9小时。所以快车会先到达乙地。当快车到达乙地时，慢车行驶了t=5小时。此时慢车行驶的路程为40×5=200千米，距离甲地还有360-200=160千米，之后两车之间的距离就是慢车继续行驶的路程，即y=40(t-5)，t≥5。综上，y与t的函数关系式为：当0≤t<3时，y=-100t+300；当3≤t<5时，y=100t-300；当5≤t≤9时，y=40t-200。（2）当两车相距100千米时：情况一：相遇前，y=100，即-100t+300=100=>100t=200=>t=2。此时t=2在[0,3)范围内，有效。情况二：相遇后，快车未到达乙地前，y=100，即100t-300=100=>100t=400=>t=4。此时t=4在[3,5)范围内，有效。情况三：快车到达乙地后，y=100，即40t-200=100=>40t=300=>t=7.5。此时t=7.5在[5,9]范围内，有效。所以慢车行驶的时间可能为2小时、4小时或7.5小时。（说明：由于原始题目可能遗漏了总距离，此处补充后得到多个解，实际解题时根据题目给定的总距离计算即可。此例旨在展示分析过程。）练习1：A、B两地相距200千米，甲车从A地出发匀速开往B地，速度为50千米/小时；乙车从B地出发匀速开往A地，速度为30千米/小时。两车同时出发，设行驶时间为x小时，两车之间的距离为y千米。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围。（2）出发后多长时间，两车相距40千米？二、工程问题工程问题主要涉及工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系，基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间。在一次函数应用中，常表现为几个人或几台机器共同工作，或者工作效率发生变化，需要根据工作量来列函数关系式。例题2：一项工程，甲单独完成需要10天，乙单独完成需要15天。如果甲先做若干天后，由乙接替甲继续完成，共用了12天。设甲做了x天，完成的总工作量为y。（1）求y与x之间的函数关系式。（2）甲、乙两人各做了多少天？思路点拨：（1）将整个工程的工作量看作单位“1”。甲的工作效率是1/10（每天完成1/10），乙的工作效率是1/15。甲做了x天，则乙做了(12-x)天。总工作量y等于甲完成的工作量加上乙完成的工作量。（2）整个工程完成，即总工作量y=1，代入（1）中所求的函数关系式，解方程即可求出x的值，进而得到乙工作的天数。详细解答：（1）设总工作量为单位“1”。甲的工作效率为1/10，工作x天，完成的工作量为(1/10)x。乙的工作效率为1/15，工作(12-x)天，完成的工作量为(1/15)(12-x)。所以总工作量y=(1/10)x+(1/15)(12-x)。化简得：y=(1/10)x+12/15-(1/15)x=(3/30x-2/30x)+4/5=(1/30)x+4/5。x的取值范围是0≤x≤12，且12-x≥0，即0≤x≤12。（2）当工程完成时，y=1。所以(1/30)x+4/5=1(1/30)x=1-4/5=1/5x=(1/5)×30=6。则乙做的天数为12-x=12-6=6天。答：甲做了6天，乙做了6天。练习2：某工厂接到一批零件加工任务，要求在规定时间内完成。如果由张师傅单独做，正好按期完成；如果由李师傅单独做，则要超过规定时间3天。现在由张师傅和李师傅合作2天后，余下的由李师傅单独做，正好按期完成。设规定时间为x天，张师傅每天加工零件a个，李师傅每天加工零件b个（a、b为已知常数）。（1）求这批零件的总数（用含a、x或b、x的代数式表示，至少写出两种）。（2）求a与b之间的函数关系式。三、经济利润问题经济利润问题与生活联系紧密，主要涉及成本、售价、销售量、利润等基本量。常见的关系有：利润=（售价-成本）×销售量；总销售额=售价×销售量；总成本=单位成本×销售量+固定成本（有时）等。例题3：某商店销售一种成本为每件20元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-10x+500。设每天的销售利润为w（元）。（1）求w与x之间的函数关系式。（2）该商品销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该商店每天的固定成本（除商品成本外）为100元，要想每天获得不低于2000元的利润，销售单价应控制在什么范围内？思路点拨：（1）销售利润w等于每件商品的利润乘以销售量。每件商品的利润为(x-20)元，销售量为y=-10x+500件，所以w=(x-20)y，将y代入即可得到w与x的函数关系式。（2）得到的w与x的函数关系式是一个二次函数（因为展开后是二次项），对于八年级学生，可能还未学习二次函数的最值，但题目明确是一次函数的应用题分类练习，所以这里的“一次函数关系”指的是销售量y与单价x是一次函数，而利润w与x是二次函数关系。但既然放在一次函数章节，可能题目（2）的问法有误，或者我们只需要建立关系式，最值问题可能作为拓展。或者，可能题目设定销售量与单价是一次函数，而我们仅需处理一次函数相关的利润问题，比如在成本固定时，求利润与销售量的一次函数关系。此处按原题设定，利润w=(x-20)(-10x+500)，这是二次函数，求最值是二次函数的内容。如果严格按照一次函数应用题，可能题目（2）应改为“当销售单价为多少时，每天的销售额最大？”（销售额=x*y=x(-10x+500)，这也是二次函数）。看来此处例题3可能涉及到后续知识，但作为经济利润问题的典型，即使包含二次函数求最值，也有其练习价值，因为建立函数关系的过程是基于一次函数的。（3）在（1）的基础上，考虑固定成本100元，那么实际利润应为w'=w-100。令w'≥2000，解不等式即可求出x的范围。详细解答：（1）由题意，每件商品的利润为(x-20)元，销售量y=-10x+500件。所以每天的销售利润w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)。展开得：w=-10x²+500x+200x-____=-10x²+700x-____。（2）w=-10x²+700x-____，这