2026年考研数学高等数学多元函数微分法与极值习题

2026年考研数学高等数学多元函数微分法与极值习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3，则lim(x→1,y→1)[f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)]/[(x-1)²+(y-1)²]的值为（）A.1/2B.1C.2D.32.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处取得极值，则该极值是（）A.极大值1B.极小值1C.极大值-1D.极小值-13.设z=x²y-y³，则∇z在点(2,1)处的方向导数沿向量i+j方向的大小为（）A.3B.4C.5D.64.函数f(x,y)=x²+2y²-4x+4y+5在区域D:x²+y²≤4内的最大值和最小值分别为（）A.最大值9，最小值1B.最大值10，最小值0C.最大值9，最小值0D.最大值10，最小值15.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上连续，且满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，若f(0,0)=1，f(1,0)=0，则f(0,1)的值为（）A.-1B.0C.1D.26.设z=f(x,y)是可微函数，且满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，若f(1,1)=1，则f(2,2)的值为（）A.1B.2C.3D.47.函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+1在点(1,-2)处的海森矩阵为（）A.[[2,0],[0,2]]B.[[2,4],[4,2]]C.[[-2,0],[0,-2]]D.[[-2,-4],[-4,-2]]8.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，∂f/∂x(0,0)=1，∂f/∂y(0,0)=-1，则lim(x→0,y→0)[f(x,y)-x+y]/[x²+y²]的值为（）A.0B.1C.-1D.不存在9.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处的驻点个数为（）A.0B.1C.2D.310.设z=f(x,y)是可微函数，且满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=0，则z在区域D:x>0,y>0内的等高线形状为（）A.圆B.抛物线C.椭圆D.直线二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=2，∂f/∂x(1,1)=1，∂f/∂y(1,1)=-1，则f(1.1,0.9)的近似值为________。2.函数f(x,y)=x²+y²-4x+4y+5在点(2,1)处的梯度向量为________。3.设z=x²y-y³，则∇²z=________。4.函数f(x,y)=x²+2y²-4x+4y+5在区域D:x²+y²≤4内的驻点为________。5.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上连续，且满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，若f(0,0)=1，f(1,0)=0，则f(0,1)的值为________。6.设z=f(x,y)是可微函数，且满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，若f(1,1)=1，则f(2,2)的值为________。7.函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+1在点(1,-2)处的海森矩阵的特征值为________。8.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，∂f/∂x(0,0)=1，∂f/∂y(0,0)=-1，则lim(x→0,y→0)[f(x,y)-x+y]/[x²+y²]的值为________。9.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的方向导数沿向量i-j方向的大小为________。10.设z=f(x,y)是可微函数，且满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=0，则z在区域D:x>0,y>0内的等高线方程为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请判断下列命题的正误，正确的填“√”，错误的填“×”。）1.若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处必连续。（）2.函数f(x,y)=x²+y²在区域D:x²+y²≤1内的最小值为0。（）3.若函数f(x,y)在点(1,1)处取得极值，且在该点处可微，则∂f/∂x(1,1)=0，∂f/∂y(1,1)=0。（）4.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处取得极值。（）5.若z=f(x,y)是可微函数，且满足方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=0，则z在区域D:x>0,y>0内必为常数。（）6.函数f(x,y)=x²+2y²-4x+4y+5在点(2,1)处取得极值。（）7.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上连续，且满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)必为常数函数。（）8.函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+1在点(1,-2)处的海森矩阵为负定矩阵。（）9.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，∂f/∂x(0,0)=1，∂f/∂y(0,0)=-1，则f(x,y)在点(0,0)处的切平面方程为x-y=0。（）10.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的方向导数沿任意方向的大小都相等。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请简要回答下列问题。）1.什么是多元函数的可微性？请举例说明。2.如何判断多元函数在一点处取得极值？请给出步骤。3.什么是梯度？梯度有什么性质？4.什么是方向导数？如何计算方向导数？5.什么是海森矩阵？海森矩阵有什么用途？6.什么是拉格朗日乘数法？请说明其适用条件。7.什么是偏导数的几何意义？请解释。8.什么是等高线？等高线有什么特点？五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请结合具体问题进行分析和计算。）1.求函数f(x,y)=x²+y²-4x+4y+5在区域D:x²+y²≤4内的最大值和最小值。2.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j方向的大小。3.求函数f(x,y)=x²+2y²-4x+4y+5在点(2,1)处的梯度向量，并说明其方向。4.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处的驻点，并判断其是否为极值点。5.求函数f(x,y)=x²+y²-4x+4y+5在区域D:x²+y²≤4内的驻点，并判断其是否为极值点。6.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的海森矩阵，并判断其正定性。7.求函数f(x,y)=x²+y²-4x+4y+5在点(2,1)处的切平面方程。8.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处的切平面方程。六、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分。请结合具体问题进行深入分析和论述。）1.论述多元函数可微性的定义及其与连续性、偏导数存在性之间的关系。2.论述多元函数极值判定的方法，包括必要条件和充分条件。3.论述梯度在多元函数分析中的作用，包括其方向和大小意义。4.论述方向导数的定义和计算方法，并说明其与梯度之间的关系。5.论述海森矩阵在多元函数极值判定中的作用，包括其特征值的意义。6.论述拉格朗日乘数法在条件极值问题中的应用，并举例说明。7.论述偏导数的几何意义及其在多元函数分析中的作用。8.论述等高线的定义和性质，并说明其在多元函数可视化中的作用。9.论述多元函数微分法在优化问题中的应用，包括无约束优化和约束优化。10.论述多元函数微分法在几何问题中的应用，包括切平面、法线等。11.论述多元函数微分法在物理问题中的应用，如梯度场、势场等。标准答案及解析一、单项选择题1.A解析：根据可微性定义，lim(x→1,y→1)[f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)]/[(x-1)²+(y-1)²]=0，因此该极限值为1/2。2.B解析：f(x,y)在点(1,1)处取得极值，计算得f(1,1)=1，且Hessian矩阵在(1,1)处为负定，因此为极小值。3.C解析：∇z=(2x,xy-3y²)，在点(2,1)处为(4,-1)，向量i+j的方向向量为(1,1)，其单位向量为(1/√2,1/√2)，方向导数为(4,-1)•(1/√2,1/√2)=3。4.A解析：驻点为(2,1)，边界点为(±2,0)和(0,±2)，计算得最大值为9，最小值为1。5.A解析：由拉普拉斯方程和边界条件，利用极坐标变换可得f(r,θ)=1-r²，因此f(0,1)=0，f(1,0)=0，f(0,1)=-1。6.A解析：由方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，令x=y=t，得t∂z/∂t=z，解得z=Ct，由f(1,1)=1，得C=1，因此f(2,2)=1。7.B解析：海森矩阵为[[2,4],[4,2]]，特征值为6和-2。8.A解析：由可微性定义，lim(x→0,y→0)[f(x,y)-x+y]/[x²+y²]=0。9.B解析：驻点为(0,0)和(1,1)，(0,0)不是极值点，(1,1)是极小值点。10.D解析：由方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=0，得dz=0，因此z为常数，等高线为直线。二、填空题1.2-0.1+0.9=2解析：由可微性定义，f(1.1,0.9)≈f(1,1)+∂f/∂x(1,1)•0.1+∂f/∂y(1,1)•(-0.1)=2-0.1-0.1=2。2.(2,4)解析：梯度为(∂f/∂x,∂f/∂y)=(2x-4,4y+4)，在点(2,1)处为(0,8)。3.2x-6y²解析：∇²z=∂²z/∂x²+∂²z/∂y²=2-6y。4.(2,1)解析：驻点满足∂f/∂x=0,∂f/∂y=0，解得(2,1)。5.0解析：由拉普拉斯方程和边界条件，利用极坐标变换可得f(r,θ)=1-r²，因此f(0,1)=0。6.1解析：由方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，令x=y=t，得t∂z/∂t=z，解得z=Ct，由f(1,1)=1，得C=1，因此f(2,2)=1。7.6,-2解析：海森矩阵为[[2,4],[4,2]]，特征值为6和-2。8.0解析：由可微性定义，lim(x→0,y→0)[f(x,y)-x+y]/[x²+y²]=0。9.√2解析：方向导数为∇z•(1,-1)/√2=(2,-2)•(1,-1)/√2=√2。10.z=k解析：由方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=0，得dz=0，因此z为常数，等高线方程为z=k。三、判断题1.√解析：可微性必导致连续性。2.√解析：在区域边界x²+y²=1处取得最小值0。3.√解析：极值点的必要条件。4.×解析：驻点(0,0)不是极值点。5.√解析：由方程x∂z/∂x+y∂z/∂y=z，得dz=0，因此z为常数。6.√解析：驻点(2,1)处Hessian矩阵为正定，因此为极小值。7.×解析：f(x,y)可能不是常数函数，如f(x,y)=x²+y²。8.×解析：特征值为6和-2，因此不是负定矩阵。9.√解析：切平面方程为x-y=0。10.×解析：方向导数与方向有关。四、简答题1.多元函数在一点处可微是指在该点附近可以用线性函数近似。例如f(x,y)=x²+y²在点(0,0)处可微。2.判断多元函数极值的步骤：①求驻点；②计算Hessian矩阵；③判断Hessian矩阵正定性或负定性。3.梯度是函数变化最快的方向，其大小为函数在该方向的变化率。梯度垂直于等高线。4.方向导数是函数沿某一方向的变化率，计算方法为梯度与方向向量的点积。5.海森矩阵是二阶偏导数组成的矩阵，用于判断极值点的正定性或负定性。6.拉格朗日乘数法用于求解条件极值问题，适用条件为约束方程可微且梯度线性无关。7.偏导数的几何意义是函数在该方向的变化率，例如∂f/∂x是切平面上y不变时z的变化率。8.等高线是函数值相等的点的集合，特点是与梯度垂直，形状与函数形状有关。五、应用题1.最大值为9，最小值为1。驻点(2,1)处取得最大值9，边界点(±2,0)和(0,±2)处取得最小值1。2.√2。∇z=(2x,xy-3y²)，在点(1,1)处为(2,-2)，向量i+j的方向向量为(1,1)，其单位向量为(1/√2,1/√2)，方向导数为(2,-2)•(1/√2,1/√2)=√2。3.(0,8)，方向为梯度方向。梯度为(2x-4,4y+4)，在点(2,1)处为(0,8)，方向为梯度方向。4.驻点(0,0)不是极值点，驻点(1,1)是极小值点。Hessian矩阵在(1,1)处为负定。5.驻点(2,1)处取得最大值9，边界点(±2,0)和(0,±2)处取得最小值1。6.[[2,-6],[-6,6]]，特征值为12和-4，因此不是正定矩阵。7.z-3x+5y=0。梯度为(2,4)，在点(2,1)处为(0,8)，切平面方程为x-y=0。8.z=0。梯度为(0,0)，切平面方程为z=0。六、论述题