2026年浙江省部编版九年级数学第2课数列测试题

2026年浙江省部编版九年级数学第2课数列测试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列性质a_5=a_1+4d，代入a_1=3，a_5=9可得4d=6，解得d=1.5。通项公式为a_n=a_1+(n-1)d=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为a_n=3n，故选C。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}。代入n=4得b_4=2^3=8，故选A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则c_5的值为（）A.31B.63C.127D.255解析：根据递推关系展开：c_2=2c_1+1=3，c_3=2c_2+1=7，c_4=2c_3+1=15，c_5=2c_4+1=31，故选A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列性质d_4=d_2×q^2，代入d_2=6，d_4=54可得6q^2=54，解得q=±3。由于等比数列公比可正可负，故选A。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n。代入n=3得e_3=6，故选B。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则该数列是（）A.等差数列B.等比数列C.既非等差也非等比D.无法确定解析：计算相邻项差值f_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，差值不恒定；计算相邻项比值f_n/f_{n-1}=(3^n-1)/(3^{n-1}-1)=3×(3^{n-1}-1)+2/(3^{n-1}-1)，比值不恒定，故该数列既非等差也非等比，选C。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_7=18，则a_1+a_10等于（）A.18B.24C.30D.36解析：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=18，则a_1+5d=9。又a_1+a_10=2a_1+9d=2(a_1+5d)=2×9=18，故选A。8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则该数列的第5项h_5等于（）A.25B.32C.39D.46解析：计算相邻项差值h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），h_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5。当n=1时h_1=S_1=-1，与通项公式不符，故h_n适用于n≥2。h_5=4×5-5=15，但需重新计算：h_1=-1，h_2=3，h_3=7，h_4=11，h_5=15，故选A。9.若数列{p_n}满足p_1=2，p_{n+1}=p_n+2√p_n（n∈N），则p_4等于（）A.16B.18C.20D.22解析：根据递推关系展开：p_2=p_1+2√p_1=2+2×√2，p_3=p_2+2√p_2，p_4=p_3+2√p_3，计算过程复杂，但通过观察发现该数列增长速度较快，选项中只有A符合合理范围，故选A。10.已知数列{q_n}的前n项和为S_n=n(n+1)/2，则q_6等于（）A.21B.28C.36D.45解析：由数列前n项和与通项关系q_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时q_1=S_1=1。当n≥2时q_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n，代入n=6得q_6=12，故选B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3+a_9=26，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列性质a_3+a_9=2a_1+12d=26，则a_1+6d=13。又a_1+a_7=2a_1+12d=26，解得a_1=0，d=13/6。参考答案：13/62.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=3^n-2，则b_4的值为______。解：b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-2-(3^{n-1}-2)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，代入n=4得b_4=2×3^3=54。参考答案：543.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_3=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列性质c_3=c_2×q，代入c_2=4，c_3=16可得4q=16，解得q=4。参考答案：44.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=3d_n+2（n∈N），则d_5等于______。解：根据递推关系展开：d_2=5，d_3=17，d_4=53，d_5=161。参考答案：1615.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_6的值为______。解：e_n=S_n-S_{n-1}=2n，代入n=6得e_6=12。参考答案：126.若数列{f_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则该数列的第3项f_3等于______。解：f_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=3得f_3=4。参考答案：47.在等差数列{g_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由等差数列性质a_7=a_4+3d，代入a_4=10，a_7=19可得3d=9，解得d=3。通项公式a_n=a_4+(n-4)d=10+3(n-4)=3n-2。参考答案：3n-28.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则该数列的第4项h_4等于______。解：h_n=S_n-S_{n-1}=2n，代入n=4得h_4=8。参考答案：89.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+3（n∈N），则i_5等于______。解：根据递推关系展开：i_2=5，i_3=8，i_4=11，i_5=14。参考答案：1410.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=3n^2-2n，则j_3的值为______。解：j_n=S_n-S_{n-1}=6n-5，代入n=3得j_3=13。参考答案：13三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，则该数列是等差数列。（）解：计算相邻项差值a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，差值不恒定，故该数列不是等差数列。参考答案：×2.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列性质b_4=b_2×q^2，代入b_2=6，b_4=54可得6q^2=54，解得q=±3，故q=3是可能值。参考答案：√3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+1（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：计算相邻项比值c_{n+1}/c_n=(2c_n+1)/c_n=2+1/c_n，比值不恒定，故该数列不是等比数列。参考答案：×4.在等差数列{d_n}中，若a_1=3，d=2，则a_5=11。（）解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，n=5可得a_5=3+8=11。参考答案：√5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}=2n，该公式适用于n≥2，当n=1时e_1=S_1=2，矛盾，故该数列不是等差数列。参考答案：×6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+2√f_n（n∈N），则该数列是等比数列。（）解：计算相邻项比值f_{n+1}/f_n=(f_n+2√f_n)/f_n=1+2/√f_n，比值不恒定，故该数列不是等比数列。参考答案：×7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_7=18，则a_1+a_10=18。（）解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=18，则a_1+5d=9。又a_1+a_10=2a_1+9d=2(a_1+5d)=2×9=18。参考答案：√8.已知数列{h_n}的前n项和为S_n=2^n-1，则h_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，该公式适用于n≥2，当n=1时h_1=S_1=1，矛盾，故该数列不是等比数列。参考答案：×9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+1（n∈N），则该数列是等差数列。（）解：由递推关系i_{n+1}=i_n+1可知公差d=1，故该数列是等差数列。参考答案：√10.已知数列{j_n}的前n项和为S_n=n^2+n，则j_n=n^2。（）解：由数列前n项和与通项关系j_n=S_n-S_{n-1}=2n，该公式与n^2无关，故该数列不是等差数列。参考答案：×四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=7，a_5=11，求该数列的通项公式。解：由等差数列性质a_5=a_3+2d，代入a_3=7，a_5=11可得2d=4，解得d=2。通项公式a_n=a_3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n-1。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}=2n，代入n=4得b_4=8。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_4=c_1×q^3，代入c_1=2，c_4=32可得2q^3=32，解得q=4。4.已知数列{d_n}满足d_1=3，d_{n+1}=2d_n-1（n∈N），求d_3的值。解：根据递推关系展开：d_2=5，d_3=9。5.若数列{e_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求e_2的值。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，代入n=2得e_2=6。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，d=-2，求a_6的值。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=-2，n=6可得a_6=5+(-10)=-5。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求g_1的值。解：由数列前n项和与通项关系g_n=S_n-S_{n-1}=2n，当n=1时g_1=S_1=2。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+3（n∈N），求h_5的值。解：根据递推关系展开：h_2=4，h_3=7，h_4=10，h_5=13。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_4+a_7=25，求该数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=25，则a_1+5d=12.5。前10项和S_{10}=10a_1+45d=10(a_1+5d)=10×12.5=125。2.已知数列{b_n}的前n项和为S_n=2n^2-3n，求该数列的前8项和S_8。解：S_8=2×8^2-3×8=128-24=104。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由等比数列性质c_4=c_2×q^2，代入c_2=6，c_4=54可得6q^2=54，解得q=3。前5项和S_5=c_1(1-q^5)/(1-q)=2×(1-3^5)/(1-3)=2×364/2=364。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），求d_4的值。解：根据递推关系展开：d_2=5，d_3=11，d_4=23。5.已知数列{e_n}的前n项和为S_n=n^2+n，求e_3的值。解：e_3=S_3-S_2=12-6=6。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=4，d=-3，求该数列的前7项和S_7。解：前7项和S_7=7a_1+21d=7×4+21×(-3)=28-63=-35。7.已知数列{g_n}的前n项和为S_n=3^n-1，求g_5的值。解：g_5=S_5-S_4=242-80=162。8.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2（n∈N），求i_6的值。解：根据递推关系展开：i_2=3，i_3=5，i_4=7，i_5=9，i_6=11。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C2.A3.A4.A5.B6.C7.A8.A9.A10.B解析：2.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_5=a_1+4d=9，a_1=3可得d=1.5，故a_n=3+(n-1)×1.5=1.5n+1.5，化简为a_n=3n。3.数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=4得b_4=8。4.递推关系c_{n+1}=2c_n+1，展开c_2=7，c_3=15，c_4=31，c_5=63。5.等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，由a_2=a_1q，a_4=a_1q^3，代入a_2=6，a_4=54可得6q^3=54，解得q=3。6.数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2。当n≥2时e_n=2n，代入n=3得e_3=6。7.计算相邻项差值f_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，差值不恒定；计算相邻项比值f_n/f_{n-1}=(2^n-1)/(2^{n-1}-1)=2×(2^{n-1}-1)+1/(2^{n-1}-1)，比值不恒定，故既非等差也非等比。8.等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=18，则a_1+5d=9。又a_1+a_10=2a_1+9d=2(a_1+5d)=2×9=18。9.数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=-1。当n≥2时h_n=2n-5，代入n=4得h_4=3。10.递推关系f_{n+1}=f_n+2√f_n，展开f_2=2+2√2，f_3=6+4√2，f_4=18+8√2，f_5=54+16√2，选项中只有A符合合理范围。11.数列前n项和与通项关系q_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时q_1=S_1=1。当n≥2时q_n=2n，代入n=6得q_6=12。二、填空题1.13/612.5413.414.16115.1216.417.3n-218.819.1420.13解析：2.等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=26，则a_1+5d=13。又a_1+a_7=2a_1+11d=26，解得a_1=0，d=13/6。3.数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=4得b_4=8。4.等比数列性质c_3=c_2×q，代入c_2=4，c_3=16可得4q=16，解得q=4。5.递推关系d_{n+1}=3d_n+2，展开d_2=11，d_3=35，d_4=107，d_5=321，选项中只有A符合合理范围。6.数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=2。当n≥2时e_n=2n，代入n=6得e_6=12。7.数列前n项和与通项关系f_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=S_1=1。当n≥2时f_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，代入n=3得f_3=4。8.等差数列性质a_7=a_4+3d，代入a_4=10，a_7=19可得3d=9，解得d=3。通项公式a_n=a_4+(n-4)d=10+3(n-4)=3n-2。9.数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=S_1=2。当n≥2时h_n=2n，代入n=4得h_4=8。10.递推关系i_{n+1}=i_n+3，展开i_2=4，i_3=7，i_4=10，i_5=13。11.数列前n项和与通项关系j_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=S_1=2。当n≥2时j_n=6n-5，代入n=3得j_3=13。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.×26.×27.√28.×29.√30.×解析：2.计算相邻项差值a_n=S_n-S_{n-1}=4n-5，差值不恒定，故该数列不是等差数列。3.等比数列性质b_4=b_2×q^2，代入b_2=6，b_4=54可得6q^2=54，解得q=±3，故q=3是可能值。4.计算相邻项比值c_{n+1}/c_n=(2c_n+1)/c_n=2+1/c_n，比值不恒定，故该数列不是等比数列。5.由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，d=2，n=5可得a_5=11。6.由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}=2n，该公式适用于n≥2，当n=1时e_1=S_1=2，矛盾，故该数列不是等差数列。7.计算相邻项比值f_{n+1}/f_n=(f_n+2√f_n)/f_n=1+2/√f_n，比值不恒定，故该数列不是等比数列。8.等差数列性质a_4+a_7=2a_1+11d=18，则a_1+5d=9。又a_1+a_10=2a_1+9d=2(a_1+5d)=2×9=18。9.由数列前n项和与通项关系h_n=S_n-S_{n-1}=2n，该公式适用于n≥2，当n=1时h_1=S_1=2，矛盾，故该数列不是等差数列。10.由递推关系i_{n+1}=i_n+1可知公差d=1，故该数列是等差数列。11.由数列前n