圆周角（第1课时）课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

圆周角（第1课时）人教版九年级上册数学

如图，教练让甲、乙、丙三人分别在C，D，E

三处射门，仅从射门角度大小考虑，教练的做法公平吗？为什么？

分析：这个问题实际上是比较∠C，∠D，∠E

的大小，如果∠C＝∠D＝∠E，那么教练的做法是公平的．为了解决这个问题我们先来研究一种角．CDEABO圆周角（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆相交（指除顶点外，角的两边分别与圆还有另外一个交点）．如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点？如图中的∠BAC，它的顶点在圆上，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫作圆周角．ABCO结合下面的动图，认识圆周角的特征．练习练习结合下面的动图，认识圆周角的特征．

探究

90°ABCO45°

一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．120°CABO60°思考你能证明上面发现的结论吗？

思考

思考

分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：CABO图①图②CABO图③CABO（1）圆心O

在∠BAC的一条边上，如图①；（2）圆心O

在∠BAC的内部，如图②；（3）圆心O

在∠BAC的外部，如图③．（1）圆心O

在∠BAC的一条边上，如图．∠BOC＝∠A＋∠COA＝OC⇒∠A＝∠C

CABO

符号“⇒”读作“推出”，“A⇒B”表示由条件A

推出结论B

．在第（2）（3）种情况下，如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

证明：连接AO

并延长交⊙O

于点D．添加辅助线．（2）圆心O

在∠BAC的内部，如图；∠BOD＝∠BAD＋∠BOA＝OB⇒∠BAD＝∠B

DCABO（3）圆心O

在∠BAC的外部，如图．

证明：连接AO

并延长交⊙O

于点D．DCABO

圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

符号语言：ABCO

一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？结合下面的动图，你能说出同弧或等弧所对的圆周角的关系吗？思考一条弧可以对着不同的圆周角，这些圆周角之间有什么关系？结合下面的动图，你能说出同弧或等弧所对的圆周角的关系吗？思考推论1同弧或等弧所对的圆周角相等．

符号语言：CABOD

你能证明推论1吗？连接OA，OB．

（1）同弧所对的圆周角ABC2C3C1O

（2）等弧所对的圆周角

连接OA，OB，OD，OE，则∠AOB＝∠DOE．

ABEDC2C1O思考在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．理由：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的圆心角相等，因此它们所对的弧也相等．BACDEO仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？如果确定，它是多少度？探究仔细观察下面的动图，想一想直径所对的圆周角的度数确定吗？如果确定，它是多少度？探究

直径所对的圆周角的度数为90°．理由如下：探究

ABC2C1OC3C4C5C6反过来，90°的圆周角所对的弦是直径吗？思考如图，∠C＝90°，根据圆周角定理：圆周角∠C的度数等于它所对的圆心角∠AOB度数的一半，∴∠AOB＝180°．故90°的圆周角所对的弦是直径．ABCO推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角，若AB为直径，则∠ACB＝∠ADB＝90°；

符号语言：CABOD

90°的圆周角所对的弦是直径．若∠ACB＝90°或∠ADB＝90°，则AB为直径．

例如图，⊙O的直径AB为10

，弦AC的长为6

，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

分析：解决与圆有关的问题，关键在于分析圆心角、圆周角、直径和弦之间的关系，由AB是直径，可知圆周角∠ACB=∠ADB=90°；由圆周角∠ACD=∠BCD，可知它们相应的圆心角相等，进而得到弦AD＝BD．CABOD

例如图，⊙O的直径AB为10

，弦AC的长为6

，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

∵AB是直径，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB＝∠ADB＝90°．

∴∠ACD＝∠BCD

，

解：连接OD，CD．CABOD在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，

例如图，⊙O的直径AB为10

，弦AC的长为6

，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．

∴∠AOD＝∠BOD，

∴AD＝BD．又在Rt△ABD中，AD2＋BD2＝AB2，CABOD

在⊙O中，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，巧用圆周角定理及其推论解决两类问题（1）解决与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角