反比例函数的的图象和性质（第2课时）课件2026-2027学年人教版九年级上册数学

反比例函数的的图象和性质（第2课时）人教版九年级上册数学（1）反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线．（2）当k＞0

时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而减小；当k＜0

时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y

随x

的增大而增大．

1．反比例函数的图象特征和性质如下：的图象是中心对称图形，对称中心是原点．的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝±x．

2．反比例函数(k≠0)的图象的对称性：问题已知反比例函数的图象经过点

A(－2，4)．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随

x的增大如何变化？（2）点

B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个函数的图象上？已知反比例函数图象经过点

A(－2，4)，结合题目思考下列问题：（1）点

A在哪个象限？据此能否判断反比例函数图象分布在哪两个象限？函数增减性如何？（2）除上述方法外，还有什么途径判断图象所在象限？（3）如何检验点

B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个反比例函数图象上？问题已知反比例函数的图象经过点

A(－2，4)．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随

x的增大如何变化？（2）点

B(1，－8)，C，D(2，4)是否在这个函数的图象上？

解：（1）反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限．因为点

A(－2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限．在每一个象限内，y随

x的增大而增大．

因为点

A(－2，4)在其图象上，所以点

A的坐标满足

，即

，解得

k＝－8．因此，这个反比例函数的解析式为

．

所以点

B，C在函数

的图象上，点

D不在这个函数的图象上．

因为点

B，C的坐标都满足

，点

D的坐标不满足

，

（2）设这个反比例函数的解析式为

，刚才我们将坐标代入解析式进行验证，大家观察解析式

，能不能找到更加快捷的验证办法？

解析式变形可得

xy＝－8，只需检验点的横、纵坐标乘积是否等于

k．判断点是否在反比例函数的图象上的两种方法

：

方法1：代入横坐标求出函数值，对比与点的纵坐标是否相等；

方法2：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数

k．归纳问题图中的曲线是反比例函数

图象的一支．根据图象，回答下列问题：（1）图象的另一支位于哪个象限？常数

m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点

A(x1，y1)和点

B(x2，y2)．如果

x1＞x2，那么

y1和

y2有怎样的大小关系？探究思考：（1）反比例函数双曲线的两支具有对称性，由第一象限这一支，你能推出另一支所在象限吗？（2）结合图象所在象限，思考k＝m－5需要满足怎样的不等关系；（3）“在图象的某一支上”意味着两点在同一个象限，结合性质判断

y1，y2

的大小；（4）如果删掉“某一支上”这个条件，还能够直接比较两点函数值大小吗？

解：（1）因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限．

因为这个函数的图象位于第一、第三象限，

所以

m－5＞0，解得

m＞5．

（2）因为

m－5＞0，

所以在这个函数图象的任意一支上，y都随

x的增大而减小，

因此当

x1＞x2时，y1＜y2．巧记口诀：

反比例函数图象是双曲线，

k为正，图象在第一、第三象限，

k为负，图象在第二、第四象限；

图象在第一、第三象限函数减，

图象在第二、第四象限正相反．归纳归纳

核心易错提醒：利用增减性比较函数值，两点必须在双曲线同一分支（同一象限）．探究思考：（1）如何利用已知点坐标快速求出

k的值？（2）判断点在不在双曲线上，有没有简便方法，一定要先写出解析式吗？

例1

若点(2，－4)在反比例函数

的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）．

A．(2，4)

B．(－1，－8)

C．(－2，－4)

D．(4，－2)

例1

若点(2，－4)在反比例函数

的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）．

A．(2，4)

B．(－1，－8)

C．(－2，－4)

D．(4，－2)D

解析：因为点(2，－4)在反比例函数

的图象上，

所以

k＝2×(－4)＝－8．

选项

A中，2×4＝8；

选项

B中，－1×(－8)＝8；

选项

C中，－2×(－4)＝8；

选项

D中，4×(－2)＝－8．

所以点(4，－2)在此反比例函数的图象上．归纳本题优先使用：计算点横、纵坐标的乘积，判断乘积是否等于常数

k．

例2

若点

A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数

的图象上，则

y1，y2，y3的大小关系是（）．

A．y1＜y3＜y2

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3探究思考：（1）A，B，C三个点是否在双曲线同一分支上？（2）使用性质法比较大小要注意什么前提？（3）除了利用性质，还有哪些可靠的比较方法？

例2

若点

A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数

的图象上，则

y1，y2，y3的大小关系是（）．

A．y1＜y3＜y2

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3

解析：方法

1（性质法）:由反比例函数的性质，得反比例函数

的图象在第一、第三象限，且在每个象限内，y随

x的增大而减小．因为(－5，y1)，(－3，y2)两点在第三象限，且－5＜－3，所以

y2＜y1＜0；又因为

2＞0，所以点(2，y3)在第一象限，所以

y3＞0，所以

y2＜y1＜y3．方法2（直接代入法）:把

x＝－5，x＝－3，x＝2分别代入

，

得

y1＝

，y2＝－1，y3＝

，所以

y2＜y1＜y3．方法3（图象法）:

因为

k＝3＞0，

所以反比例函数

的图象在第一、第三象限，

如图，在平面直角坐标系中描出符合条件的三个点，

由图象易知

y2＜y1＜y3．

例2

若点

A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数

的图象上，则

y1，y2，y3的大小关系是（）．

A．y1＜y3＜y2

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3D比较反比例函数值大小的三种常用方法（1）直接代入法：代入横坐标，求出纵坐标，直接比较函数值大小，通用无限制．（2）性质法：仅限同一分支上的点，跨象限点不能直接使用增减性质．（3）图象法：描点作图，直观观察纵坐标高低．归纳

例3

如图，点

P是反比例函数

图象上的一点，PA⊥y轴，垂足为

A，PB⊥x轴，垂足为

B．若矩形

PBOA的面积为

6，则

k的值是_______．探究思考：（1）设点

P的坐标为(x，y)，矩形的边长可以怎么表示？矩形面积如何用

x，y表示？（2）面积是正数，k一定是正数吗？观察图象，结合象限思考符号问题．

例3

如图，点

P是反比例函数

图象上的一点，PA⊥y轴，垂足为

A，PB⊥x轴，垂足为

B．若矩形

PBOA的面积为

6，则

k的值是_______．－6

解析：设点

P(x，y)，则

PB＝|x|，PA＝|y|，所以矩形

PBOA的面积

S＝|x|·|y|＝|xy|＝|k|．因为点

P(x，y)是反比例函数

图象上的一点，且反比例函数

图象

的一支在第二象限，所以

k＜0．因为PA⊥y轴，PB⊥x轴，矩形

PBOA的面积为

6，所以

k＝－6．归纳反比例函数