2026-2027学年高二数学选择性必修第一册 第一章 数列 单元测试卷 含答案

2026-2027学年高二数学选择性必修第一册数列单元检测卷第I卷（选择题部分，共48分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列满足，，则（

）A． B．1 C．2 D．42．数列满足，且，则等于（

）A．19 B．20 C．21 D．223．已知等差数列的前n项和为，，，则使不等式成立的最大的的值为（）A．13 B．14 C．15 D．164．已知是等差数列的前n项和，且，，则（

）A． B．的最小值为 C．数列为递减数列 D．5．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（

）A．55 B．45 C． D．6．已知数列的前项和为，其中，，则（

）A． B． C． D．7．用数学归纳法证明不等式（且）时，在证明从到时，左边增加的项数是（

）A． B． C． D．8．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列，则数列的前2020项的和为（

）A．1346 B．673 C．1347 D．1348二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知正项数列满足，的前n项和为，则下列结论一定正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若， D．，则的值有2种情况10．已知数列的前项和为，且满足，则（

）A． B．C．为递减数列 D．11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（

）A． B．是等比数列C． D．第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若单调递增数列满足，，则的取值范围是．13．已知数列满足，则．14．已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）在无穷数列中，均为正整数，且，记的前项和为.(1)若，求的值；(2)若，求的值.16．（15分）已知数列满足．(1)设，求数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且，求的值．17．（15分）已知在上有定义，且满足x、时，有．(1)证明：在上为奇函数；(2)证明：等式，n为正整数．18．（17分）已知数列的前n项和为，且.(1)求出，并求出与的递推关系；(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；(3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值.19．（17分）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由；(3)记，证明：．参考答案单选题C2.B3.C4.B5.C6.C7.A8.C多选题AC10.AD11.AC填空题13.14.解答题15.（1）在无穷数列中，均为正整数，且，当时，则，，，，，，，，所以.（6分）（2）①若是奇数，则是偶数，，由，得，解得，满足题意；（9分）②若是偶数，不妨设，则.若是偶数，则，由，得，此方程无整数解；若是奇数，则，由，得，此方程无整数解.综上，（13分）16.（1）由①，当时，②，①②则，又满足上式，所以．（7分）（2）由（1），知，则，故（8分）所以，且（9分）若为偶数，，则（11分）若为奇数，，则（13分）故（14分）解得或．（15分）17.（1）由已知在上有定义，令，有，故.令，有，得.故在上为奇函数.（7分）（2）①时，左边右边.（9分）②假设当时，有（11分）则当时，左边.所以当时等式也成立.由①②，对一切正整数等式成立.（15分）18.（1）当时，，而，所以，解得9（2分）当时，，，得：，整理得：，经检验，，满足上式（4分）所以；（5分）（2）由得，又，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（10分）（3）由题意（12分）由（2）可知：，所以，所以，令（14分）则，而，所以，即数列单调递减，（15分）故，所以，所以的最小值为.（17分）（1）因为，所以当时，，两式相减得，即．累乘得．经检验也符合上式，所以．（5分）（2）因为，所以，所以，假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即，（7分）显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18，当